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Theorem funressnfv 46563
Description: A restriction to a singleton with a function value is a function under certain conditions. (Contributed by Alexander van der Vekens, 25-Jul-2017.) (Proof shortened by Peter Mazsa, 2-Oct-2022.)
Assertion
Ref Expression
funressnfv (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → Fun (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}))

Proof of Theorem funressnfv
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 relres 6011 . . 3 Rel (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})
21a1i 11 . 2 (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → Rel (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}))
3 dmfco 6993 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐺𝑋 ∈ dom 𝐺) → (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ↔ (𝐺𝑋) ∈ dom 𝐹))
43biimpd 228 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐺𝑋 ∈ dom 𝐺) → (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → (𝐺𝑋) ∈ dom 𝐹))
54funfni 6661 . . . . . . 7 ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → (𝐺𝑋) ∈ dom 𝐹))
6 dmressnsn 6028 . . . . . . . 8 ((𝐺𝑋) ∈ dom 𝐹 → dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) = {(𝐺𝑋)})
7 eleq2 2814 . . . . . . . . . 10 (dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) = {(𝐺𝑋)} → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) ↔ 𝑥 ∈ {(𝐺𝑋)}))
8 velsn 4646 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ {(𝐺𝑋)} ↔ 𝑥 = (𝐺𝑋))
9 dmressnsn 6028 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋})
10 dffun7 6581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) ↔ (Rel ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) ∧ ∀𝑥 ∈ dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})∃*𝑦 𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦))
11 snidg 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → 𝑋 ∈ {𝑋})
1211adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺)) → 𝑋 ∈ {𝑋})
13 eleq2 2814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ({𝑋} = dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) → (𝑋 ∈ {𝑋} ↔ 𝑋 ∈ dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})))
1413eqcoms 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} → (𝑋 ∈ {𝑋} ↔ 𝑋 ∈ dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})))
1514adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ((dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺)) → (𝑋 ∈ {𝑋} ↔ 𝑋 ∈ dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})))
1612, 15mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺)) → 𝑋 ∈ dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}))
17 fvex 6909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝐺𝑋) ∈ V
1817isseti 3477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 𝑧 𝑧 = (𝐺𝑋)
19 eqcom 2732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 (𝑧 = (𝐺𝑋) ↔ (𝐺𝑋) = 𝑧)
20 fnbrfvb 6949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → ((𝐺𝑋) = 𝑧𝑋𝐺𝑧))
2119, 20bitrid 282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → (𝑧 = (𝐺𝑋) ↔ 𝑋𝐺𝑧))
2221biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → (𝑧 = (𝐺𝑋) → 𝑋𝐺𝑧))
23 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 ((𝐺𝑋) = 𝑧 → ((𝐺𝑋)𝐹𝑦𝑧𝐹𝑦))
2423eqcoms 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 (𝑧 = (𝐺𝑋) → ((𝐺𝑋)𝐹𝑦𝑧𝐹𝑦))
2524biimpcd 248 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 ((𝐺𝑋)𝐹𝑦 → (𝑧 = (𝐺𝑋) → 𝑧𝐹𝑦))
2622, 25anim12ii 616 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦) → (𝑧 = (𝐺𝑋) → (𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
2726eximdv 1912 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦) → (∃𝑧 𝑧 = (𝐺𝑋) → ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
2818, 27mpi 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦) → ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦))
29 simpr 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → 𝑋𝐴)
30 vex 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 𝑦 ∈ V
31 brcog 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 ((𝑋𝐴𝑦 ∈ V) → (𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
3229, 30, 31sylancl 584 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → (𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
3332adantr 479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦) → (𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ ∃𝑧(𝑋𝐺𝑧𝑧𝐹𝑦)))
3428, 33mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦) → 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)
3530brresi 5994 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑋((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦 ↔ (𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑋(𝐹𝐺)𝑦))
36 snidg 4664 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 (𝑋𝐴𝑋 ∈ {𝑋})
3736biantrurd 531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 (𝑋𝐴 → (𝑋(𝐹𝐺)𝑦 ↔ (𝑋 ∈ {𝑋} ∧ 𝑋(𝐹𝐺)𝑦)))
3835, 37bitr4id 289 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 (𝑋𝐴 → (𝑋((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦𝑋(𝐹𝐺)𝑦))
3938ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 (((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦) → (𝑋((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦𝑋(𝐹𝐺)𝑦))
4034, 39mpbird 256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦) → 𝑋((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦)
4140ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → ((𝐺𝑋)𝐹𝑦𝑋((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦))
4241adantl 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺)) ∧ 𝑥 = 𝑋) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → ((𝐺𝑋)𝐹𝑦𝑋((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦))
43 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 (𝑋 = 𝑥 → (𝑋((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦))
4443eqcoms 2733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 (𝑥 = 𝑋 → (𝑋((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦))
4544ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ((((dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺)) ∧ 𝑥 = 𝑋) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → (𝑋((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦))
4642, 45sylibd 238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ((((dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺)) ∧ 𝑥 = 𝑋) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → ((𝐺𝑋)𝐹𝑦𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦))
4746moimdv 2534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((((dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺)) ∧ 𝑥 = 𝑋) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → (∃*𝑦 𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦 → ∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦))
4847ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → (∃*𝑦 𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦 → ∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦)))
4948com23 86 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (((dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺)) ∧ 𝑥 = 𝑋) → (∃*𝑦 𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦 → ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → ∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦)))
5016, 49rspcimdv 3596 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} ∧ 𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺)) → (∀𝑥 ∈ dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})∃*𝑦 𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦 → ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → ∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦)))
5150ex 411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} → (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → (∀𝑥 ∈ dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})∃*𝑦 𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦 → ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → ∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦))))
5251com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (∀𝑥 ∈ dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})∃*𝑦 𝑥((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})𝑦 → (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → (dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} → ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → ∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦))))
5310, 52simplbiim 503 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) → (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → (dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} → ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → ∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦))))
5453com13 88 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (dom ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) = {𝑋} → (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → (Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) → ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → ∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦))))
559, 54mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → (Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) → ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → ∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦)))
5655imp31 416 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → ∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦)
5717snid 4666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝐺𝑋) ∈ {(𝐺𝑋)}
5857biantrur 529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝐺𝑋)𝐹𝑦 ↔ ((𝐺𝑋) ∈ {(𝐺𝑋)} ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦))
5958a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → ((𝐺𝑋)𝐹𝑦 ↔ ((𝐺𝑋) ∈ {(𝐺𝑋)} ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦)))
6059mobidv 2537 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → (∃*𝑦(𝐺𝑋)𝐹𝑦 ↔ ∃*𝑦((𝐺𝑋) ∈ {(𝐺𝑋)} ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦)))
6156, 60mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → ∃*𝑦((𝐺𝑋) ∈ {(𝐺𝑋)} ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦))
6261adantl 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝐺𝑋) ∧ ((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴))) → ∃*𝑦((𝐺𝑋) ∈ {(𝐺𝑋)} ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦))
63 breq1 5152 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = (𝐺𝑋) → (𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦 ↔ (𝐺𝑋)(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦))
6430brresi 5994 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐺𝑋)(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦 ↔ ((𝐺𝑋) ∈ {(𝐺𝑋)} ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦))
6563, 64bitr2di 287 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = (𝐺𝑋) → (((𝐺𝑋) ∈ {(𝐺𝑋)} ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦) ↔ 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦))
6665adantr 479 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 = (𝐺𝑋) ∧ ((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴))) → (((𝐺𝑋) ∈ {(𝐺𝑋)} ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦) ↔ 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦))
6766mobidv 2537 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 = (𝐺𝑋) ∧ ((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴))) → (∃*𝑦((𝐺𝑋) ∈ {(𝐺𝑋)} ∧ (𝐺𝑋)𝐹𝑦) ↔ ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦))
6862, 67mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 = (𝐺𝑋) ∧ ((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴))) → ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦)
6968ex 411 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (𝐺𝑋) → (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦))
708, 69sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ {(𝐺𝑋)} → (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦))
717, 70biimtrdi 252 . . . . . . . . 9 (dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) = {(𝐺𝑋)} → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) → (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦)))
7271com23 86 . . . . . . . 8 (dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) = {(𝐺𝑋)} → (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) → ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦)))
736, 72syl 17 . . . . . . 7 ((𝐺𝑋) ∈ dom 𝐹 → (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) → ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦)))
745, 73syl6com 37 . . . . . 6 (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) → ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦))))
7574a1d 25 . . . . 5 (𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) → (Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋}) → ((𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴) → (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) → ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦)))))
7675imp31 416 . . . 4 (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) → ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦)))
7776pm2.43i 52 . . 3 (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → (𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) → ∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦))
7877ralrimiv 3134 . 2 (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → ∀𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦)
79 dffun7 6581 . 2 (Fun (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) ↔ (Rel (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}) ∧ ∀𝑥 ∈ dom (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})∃*𝑦 𝑥(𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)})𝑦))
802, 78, 79sylanbrc 581 1 (((𝑋 ∈ dom (𝐹𝐺) ∧ Fun ((𝐹𝐺) ↾ {𝑋})) ∧ (𝐺 Fn 𝐴𝑋𝐴)) → Fun (𝐹 ↾ {(𝐺𝑋)}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  ∃*wmo 2526  wral 3050  Vcvv 3461  {csn 4630   class class class wbr 5149  dom cdm 5678  cres 5680  ccom 5682  Rel wrel 5683  Fun wfun 6543   Fn wfn 6544  cfv 6549
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-res 5690  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-fv 6557
This theorem is referenced by:  afvco2  46694
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