Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elpwiuncl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elpwiuncl 30290
Description: Closure of indexed union with regard to elementhood to a power set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
elpwiuncl.1 (𝜑𝐴𝑉)
elpwiuncl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶)
Assertion
Ref Expression
elpwiuncl (𝜑 𝑘𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶)
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem elpwiuncl
StepHypRef Expression
1 elpwiuncl.2 . . . . 5 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶)
21elpwid 4552 . . . 4 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵𝐶)
32ralrimiva 3184 . . 3 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵𝐶)
4 iunss 4971 . . 3 ( 𝑘𝐴 𝐵𝐶 ↔ ∀𝑘𝐴 𝐵𝐶)
53, 4sylibr 236 . 2 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵𝐶)
6 elpwiuncl.1 . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
71ralrimiva 3184 . . . 4 (𝜑 → ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶)
86, 7jca 514 . . 3 (𝜑 → (𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶))
9 iunexg 7666 . . 3 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑘𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶) → 𝑘𝐴 𝐵 ∈ V)
10 elpwg 4544 . . 3 ( 𝑘𝐴 𝐵 ∈ V → ( 𝑘𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶 𝑘𝐴 𝐵𝐶))
118, 9, 103syl 18 . 2 (𝜑 → ( 𝑘𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶 𝑘𝐴 𝐵𝐶))
125, 11mpbird 259 1 (𝜑 𝑘𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  wcel 2114  wral 3140  Vcvv 3496  wss 3938  𝒫 cpw 4541   ciun 4921
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pr 5332  ax-un 7463
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365
This theorem is referenced by:  carsggect  31578  carsgclctunlem2  31579
  Copyright terms: Public domain W3C validator