Theorem elpwiuncl 30777

Description: Closure of indexed union with regard to elementhood to a power set. (Contributed by Thierry Arnoux, 27-May-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
elpwiuncl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
elpwiuncl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶)

Assertion

Ref	Expression
elpwiuncl	⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶)

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝐶,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem elpwiuncl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpwiuncl.2	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶)
2	1	elpwid 4541	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ⊆ 𝐶)
3	2	ralrimiva 3107	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
4		iunss 4971	. . 3 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
5	3, 4	sylibr 233	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
6		elpwiuncl.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
7	1	ralrimiva 3107	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶)
8	6, 7	jca 511	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶))
9		iunexg 7779	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶) → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
10		elpwg 4533	. . 3 ⊢ (∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶))
11	8, 9, 10	3syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶 ↔ ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶))
12	5, 11	mpbird 256	1 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝒫 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  ∪ ciun 4921

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347  ax-un 7566

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426

This theorem is referenced by:  carsggect  32185  carsgclctunlem2  32186