Theorem iunss 5049

Description: Subset theorem for an indexed union. (Contributed by NM, 13-Sep-2003.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 25-Jul-2011.)

Assertion

Ref	Expression
iunss	⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

Distinct variable group:   𝑥,𝐶

Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥)   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunss

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-iun 5000	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵}
2	1	sseq1i 4011	. 2 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵} ⊆ 𝐶)
3		abss 4058	. 2 ⊢ ({𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵} ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦(∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
4		dfss2 3969	. . . 4 ⊢ (𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
5	4	ralbii 3094	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
6		ralcom4 3284	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
7		r19.23v 3183	. . . 4 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ (∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
8	7	albii 1822	. . 3 ⊢ (∀𝑦∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ∀𝑦(∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶))
9	5, 6, 8	3bitrri 298	. 2 ⊢ (∀𝑦(∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 ∈ 𝐵 → 𝑦 ∈ 𝐶) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)
10	2, 3, 9	3bitri 297	1 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ⊆ 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205  ∀wal 1540   ∈ wcel 2107  {cab 2710  ∀wral 3062  ∃wrex 3071   ⊆ wss 3949  ∪ ciun 4998

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-tru 1545  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ral 3063  df-rex 3072  df-v 3477  df-in 3956  df-ss 3966  df-iun 5000

This theorem is referenced by:  iunss2  5053  iunssd  5054  djussxp  5846  fiun  7929  f1iun  7930  frrlem7  8277  wfrdmssOLD  8315  onfununi  8341  oawordeulem  8554  oaabslem  8646  oaabs2  8648  omabslem  8649  omabs  8650  marypha2lem1  9430  ttrclselem1  9720  trcl  9723  r1val1  9781  rankuni2b  9848  rankval4  9862  rankbnd  9863  rankbnd2  9864  rankc1  9865  cfslb2n  10263  cfsmolem  10265  hsmexlem2  10422  axdc3lem2  10446  ac6  10475  wuncval2  10742  inar1  10770  tskuni  10778  grur1a  10814  fsuppmapnn0fiublem  13955  fsuppmapnn0fiub  13956  rtrclreclem4  15008  prmreclem4  16852  prmreclem5  16853  prdsval  17401  prdsbas  17403  imasaddfnlem  17474  imasvscafn  17483  imasvscaf  17485  isacs2  17597  mreacs  17602  acsfn  17603  dmcoass  18016  isacs5  18501  dprdspan  19897  dprd2dlem1  19911  dprd2d2  19914  dmdprdsplit2lem  19915  lbsextlem2  20772  lpival  20883  iunocv  21234  tgidm  22483  iunconn  22932  comppfsc  23036  txtube  23144  txcmplem2  23146  xkococnlem  23163  xkoinjcn  23191  alexsubALTlem3  23553  cnextf  23570  imasdsf1olem  23879  metnrmlem3  24377  ovolfiniun  25018  ovoliunlem2  25020  ovoliun  25022  ovoliunnul  25024  volfiniun  25064  voliunlem1  25067  volsup  25073  uniioombllem3a  25101  uniioombllem3  25102  uniioombllem4  25103  ismbf3d  25171  limciun  25411  taylfval  25871  taylf  25873  elpwiuncl  31765  disjunsn  31825  gsumpart  32207  esum2d  33091  omssubadd  33299  eulerpartlemgh  33377  eulerpartlemgs2  33379  bnj226  33745  bnj517  33896  bnj1118  33995  bnj1137  34006  cvmlift2lem12  34305  ntruni  35212  neibastop2lem  35245  filnetlem4  35266  mblfinlem2  36526  volsupnfl  36533  cnambfre  36536  sstotbnd2  36642  equivtotbnd  36646  totbndbnd  36657  prdstotbnd  36662  heiborlem1  36679  pclfinN  38771  lcfrlem4  40416  lcfrlem16  40429  lcfr  40456  oaabsb  42044  naddgeoa  42145  naddwordnexlem4  42152  iunrelexp0  42453  iunrelexpmin1  42459  iunrelexpmin2  42463  cotrcltrcl  42476  trclimalb2  42477  cotrclrcl  42493  iunconnlem2  43696  ixpssmapc  43761  ioorrnopnlem  45020  omeiunle  45233  omeiunltfirp  45235  carageniuncl  45239  caratheodorylem1  45242  caratheodorylem2  45243  hoissrrn  45265  ovnlecvr  45274  ovnsubaddlem1  45286  ovnsubadd  45288  hoissrrn2  45294  ovnlecvr2  45326  hspmbl  45345  opnvonmbllem2  45349  vonvolmbllem  45376  vonvolmbl2  45379  vonvol2  45380  iunhoiioolem  45391  iunhoiioo  45392