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Theorem carsgclctunlem2 32959
Description: Lemma for carsgclctun 32961. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
carsgsiga.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
carsgclctunlem2.1 (πœ‘ β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
carsgclctunlem2.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
carsgclctunlem2.3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
carsgclctunlem2.4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦,π‘˜   π‘˜,𝐸   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑂   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑦,π‘˜)

Proof of Theorem carsgclctunlem2
Dummy variables 𝑒 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunin2 5036 . . . . 5 βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) = (𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
21fveq2i 6850 . . . 4 (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))
3 iccssxr 13354 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
4 carsgval.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
5 nnex 12166 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
7 carsgclctunlem2.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
87adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
98elpwincl1 31495 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
106, 9elpwiuncl 31497 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
114, 10ffvelcdmd 7041 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
123, 11sselid 3947 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
132, 12eqeltrrid 2843 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*)
144, 7ffvelcdmd 7041 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ (0[,]+∞))
153, 14sselid 3947 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*)
167elpwdifcl 31496 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
174, 16ffvelcdmd 7041 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
183, 17sselid 3947 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*)
1918xnegcld 13226 . . . 4 (πœ‘ β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*)
2015, 19xaddcld 13227 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ∈ ℝ*)
214adantr 482 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
2221, 9ffvelcdmd 7041 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
2322ralrimiva 3144 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
24 nfcv 2908 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β„•
2524esumcl 32669 . . . . . . 7 ((β„• ∈ V ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
266, 23, 25syl2anc 585 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
273, 26sselid 3947 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
289ralrimiva 3144 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
29 dfiun3g 5924 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)))
3130fveq2d 6851 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))))
32 nnct 13893 . . . . . . . . . 10 β„• β‰Ό Ο‰
33 mptct 10481 . . . . . . . . . 10 (β„• β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰)
34 rnct 10468 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰ β†’ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰)
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . . . . . 9 ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰)
37 eqid 2737 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))
3837rnmptss 7075 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 β†’ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂)
3928, 38syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂)
40 mptexg 7176 . . . . . . . . . 10 (β„• ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ V)
41 rnexg 7846 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ V β†’ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ V)
425, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . 9 ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ V
43 breq1 5113 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰))
44 sseq1 3974 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂 ↔ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂))
4543, 443anbi23d 1440 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) ↔ (πœ‘ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂)))
46 unieq 4881 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)))
4746fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))))
48 esumeq1 32673 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦))
4947, 48breq12d 5123 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦) ↔ (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦)))
5045, 49imbi12d 345 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦)) ↔ ((πœ‘ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦))))
51 carsgsiga.2 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
5250, 51vtoclg 3528 . . . . . . . . 9 (ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ V β†’ ((πœ‘ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦)))
5342, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦))
5436, 39, 53mpd3an23 1464 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦))
5531, 54eqbrtrd 5132 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦))
56 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐸 ∩ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
57 simpr 486 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…)
5857fveq2d 6851 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
59 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
6059ad2antrr 725 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
6158, 60eqtrd 2777 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) = 0)
62 carsgclctunlem2.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
63 disjin 31546 . . . . . . . . 9 (Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴 β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸))
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸))
65 incom 4166 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ 𝐴)
6665rgenw 3069 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ 𝐴)
67 disjeq2 5079 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ 𝐴) β†’ (Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸) ↔ Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8 (Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸) ↔ Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴))
6964, 68sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴))
7056, 6, 22, 9, 61, 69esumrnmpt2 32707 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦) = Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
7155, 70breqtrd 5136 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
72 carsgval.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
73 difssd 4097 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴) βŠ† 𝐸)
74 carsgsiga.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
7572, 4, 73, 7, 74carsgmon 32954 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
7614, 17, 75xrge0subcld 31710 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ∈ (0[,]+∞))
774adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
787adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
7978elpwincl1 31495 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
8077, 79ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
813, 80sselid 3947 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ*)
82 xrge0neqmnf 13376 . . . . . . . . . . 11 ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ (0[,]+∞) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)
8380, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)
8478elpwdifcl 31496 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
8577, 84ffvelcdmd 7041 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
863, 85sselid 3947 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ*)
87 xrge0neqmnf 13376 . . . . . . . . . . 11 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ (0[,]+∞) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)
8885, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)
8986xnegcld 13226 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ*)
90 xnegneg 13140 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
9186, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
9291adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
93 xnegeq 13133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞ β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -𝑒-∞)
9493adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -𝑒-∞)
95 xnegmnf 13136 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑒-∞ = +∞
9694, 95eqtrdi 2793 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = +∞)
9792, 96eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = +∞)
9897oveq2d 7378 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 +∞))
99 simpll 766 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ πœ‘)
100 fz1ssnn 13479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1...𝑛) βŠ† β„•
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) βŠ† β„•)
102101sselda 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
103 carsgclctunlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
10499, 102, 103syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
105104ralrimiva 3144 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
106 dfiun3g 5924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴))
10872adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
10959adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
110513adant1r 1178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
111 fzfi 13884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...𝑛) ∈ Fin
112 mptfi 9302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1...𝑛) ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ Fin)
113 rnfi 9286 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ Fin β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ Fin)
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ Fin
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ Fin)
116 eqid 2737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)
117116rnmptss 7075 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
118105, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
119108, 77, 109, 110, 115, 118fiunelcarsg 32956 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
120107, 119eqeltrd 2838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
121108, 77elcarsg 32945 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))))
122120, 121mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’)))
123122simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))
124 ineq1 4170 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝐸 β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))
125124fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
126 difeq1 4080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝐸 β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))
127126fveq2d 6851 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
128125, 127oveq12d 7380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = 𝐸 β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))))
129 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘€β€˜π‘’) = (π‘€β€˜πΈ))
130128, 129eqeq12d 2753 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝐸 β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’) ↔ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ)))
131130rspcv 3580 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ 𝒫 𝑂 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ)))
13278, 123, 131sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
133132adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
134 xaddpnf1 13152 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 +∞) = +∞)
13581, 83, 134syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 +∞) = +∞)
136135adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 +∞) = +∞)
13798, 133, 1363eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ (π‘€β€˜πΈ) = +∞)
138 carsgclctunlem2.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞)
139138ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞)
140139neneqd 2949 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ Β¬ (π‘€β€˜πΈ) = +∞)
141137, 140pm2.65da 816 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞)
142141neqned 2951 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)
143 xaddass 13175 . . . . . . . . . 10 ((((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞) ∧ ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞) ∧ (-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))))
14481, 83, 86, 88, 89, 142, 143syl222anc 1387 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))))
145 xnegid 13164 . . . . . . . . . . 11 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = 0)
14686, 145syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = 0)
147146oveq2d 7378 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 0))
148 xaddid1 13167 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 0) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
14981, 148syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 0) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
150144, 147, 1493eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
151132oveq1d 7377 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))))
152107ineq2d 4177 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝐸 ∩ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)))
153152fveq2d 6851 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴))))
154 mptss 6001 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴))
155 rnss 5899 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴))
156100, 154, 155mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴)
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴))
158 disjrnmpt 31545 . . . . . . . . . . . . 13 (Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴 β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴)𝑦)
15962, 158syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴)𝑦)
160159adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴)𝑦)
161 disjss1 5081 . . . . . . . . . . 11 (ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴) β†’ (Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴)𝑦 β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)𝑦))
162157, 160, 161sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)𝑦)
163108, 77, 109, 110, 115, 118, 162, 78carsgclctunlem1 32957 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴))) = Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
164 ineq2 4171 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) = (𝐸 ∩ 𝐴))
165164fveq2d 6851 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
166111elexi 3467 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑛) ∈ V
167166a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) ∈ V)
16899, 102, 22syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
169 inss2 4194 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
170 sseq2 3975 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = βˆ… β†’ ((𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴 ↔ (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† βˆ…))
171169, 170mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† βˆ…)
172 ss0 4363 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† βˆ… β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…)
174173adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…)
175174fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
176109ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
177175, 176eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) = 0)
17862adantr 482 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
179 disjss1 5081 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ (Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴 β†’ Disj π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))
180101, 178, 179sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)
181165, 167, 168, 104, 177, 180esumrnmpt2 32707 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
182153, 163, 1813eqtrd 2781 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = Ξ£*π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
183150, 151, 1823eqtr3rd 2786 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) = ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))))
18417adantr 482 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
1853, 184sselid 3947 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*)
186185xnegcld 13226 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*)
18715adantr 482 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*)
188 iunss1 4973 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
189100, 188mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
190189sscond 4106 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴) βŠ† (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))
191743adant1r 1178 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
192108, 77, 190, 84, 191carsgmon 32954 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
193 xleneg 13144 . . . . . . . . . 10 (((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ↔ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ≀ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
194193biimpa 478 . . . . . . . . 9 ((((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ*) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ≀ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)))
195185, 86, 192, 194syl21anc 837 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ≀ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)))
196 xleadd2a 13180 . . . . . . . 8 (((-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ≀ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) β†’ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
19789, 186, 187, 195, 196syl31anc 1374 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
198183, 197eqbrtrd 5132 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
19976, 22, 198esumgect 32729 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
20012, 27, 20, 71, 199xrletrd 13088 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
2012, 200eqbrtrrid 5146 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
202 xleadd1a 13179 . . 3 ((((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ≀ (((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
20313, 20, 18, 201, 202syl31anc 1374 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ≀ (((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
204 xrge0npcan 31927 . . 3 (((π‘€β€˜πΈ) ∈ (0[,]+∞) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜πΈ)) β†’ (((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
20514, 17, 75, 204syl3anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
206203, 205breqtrd 5136 1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆ€wral 3065  Vcvv 3448   βˆ– cdif 3912   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  βˆ…c0 4287  π’« cpw 4565  βˆͺ cuni 4870  βˆͺ ciun 4959  Disj wdisj 5075   class class class wbr 5110   ↦ cmpt 5193  ran crn 5639  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  Ο‰com 7807   β‰Ό cdom 8888  Fincfn 8890  0cc0 11058  1c1 11059  +∞cpnf 11193  -∞cmnf 11194  β„*cxr 11195   ≀ cle 11197  β„•cn 12160  -𝑒cxne 13037   +𝑒 cxad 13038  [,]cicc 13274  ...cfz 13431  Ξ£*cesum 32666  toCaraSigaccarsg 32941
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-ac2 10406  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-iin 4962  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-supp 8098  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-ixp 8843  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fsupp 9313  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-ac 10059  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ioc 13276  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-fac 14181  df-bc 14210  df-hash 14238  df-shft 14959  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-limsup 15360  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-ef 15957  df-sin 15959  df-cos 15960  df-pi 15962  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-sca 17156  df-vsca 17157  df-ip 17158  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-hom 17164  df-cco 17165  df-rest 17311  df-topn 17312  df-0g 17330  df-gsum 17331  df-topgen 17332  df-pt 17333  df-prds 17336  df-ordt 17390  df-xrs 17391  df-qtop 17396  df-imas 17397  df-xps 17399  df-mre 17473  df-mrc 17474  df-acs 17476  df-ps 18462  df-tsr 18463  df-plusf 18503  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-submnd 18609  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-cntz 19104  df-cmn 19571  df-abl 19572  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-subrg 20236  df-abv 20292  df-lmod 20340  df-scaf 20341  df-sra 20649  df-rgmod 20650  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-fbas 20809  df-fg 20810  df-cnfld 20813  df-top 22259  df-topon 22276  df-topsp 22298  df-bases 22312  df-cld 22386  df-ntr 22387  df-cls 22388  df-nei 22465  df-lp 22503  df-perf 22504  df-cn 22594  df-cnp 22595  df-haus 22682  df-tx 22929  df-hmeo 23122  df-fil 23213  df-fm 23305  df-flim 23306  df-flf 23307  df-tmd 23439  df-tgp 23440  df-tsms 23494  df-trg 23527  df-xms 23689  df-ms 23690  df-tms 23691  df-nm 23954  df-ngp 23955  df-nrg 23957  df-nlm 23958  df-ii 24256  df-cncf 24257  df-limc 25246  df-dv 25247  df-log 25928  df-esum 32667  df-carsg 32942
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem3  32960
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