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Theorem carsgclctunlem2 33617
Description: Lemma for carsgclctun 33619. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-May-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
carsgval.1 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
carsgval.2 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
carsgsiga.1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
carsgsiga.2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
carsgsiga.3 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
carsgclctunlem2.1 (πœ‘ β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
carsgclctunlem2.2 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
carsgclctunlem2.3 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
carsgclctunlem2.4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞)
Assertion
Ref Expression
carsgclctunlem2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦   π‘₯,𝐸,𝑦   π‘₯,𝑀,𝑦   π‘₯,𝑂,𝑦   πœ‘,π‘₯,𝑦,π‘˜   π‘˜,𝐸   π‘˜,𝑀   π‘˜,𝑂   πœ‘,π‘˜
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘˜)   𝑉(π‘₯,𝑦,π‘˜)

Proof of Theorem carsgclctunlem2
Dummy variables 𝑒 𝑛 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iunin2 5074 . . . . 5 βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) = (𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
21fveq2i 6894 . . . 4 (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))
3 iccssxr 13412 . . . . 5 (0[,]+∞) βŠ† ℝ*
4 carsgval.2 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
5 nnex 12223 . . . . . . . 8 β„• ∈ V
65a1i 11 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β„• ∈ V)
7 carsgclctunlem2.3 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
87adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
98elpwincl1 32031 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
106, 9elpwiuncl 32033 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
114, 10ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
123, 11sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
132, 12eqeltrrid 2837 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*)
144, 7ffvelcdmd 7087 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ (0[,]+∞))
153, 14sselid 3980 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*)
167elpwdifcl 32032 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
174, 16ffvelcdmd 7087 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
183, 17sselid 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*)
1918xnegcld 13284 . . . 4 (πœ‘ β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*)
2015, 19xaddcld 13285 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ∈ ℝ*)
214adantr 480 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
2221, 9ffvelcdmd 7087 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
2322ralrimiva 3145 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
24 nfcv 2902 . . . . . . . 8 β„²π‘˜β„•
2524esumcl 33327 . . . . . . 7 ((β„• ∈ V ∧ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞)) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
266, 23, 25syl2anc 583 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
273, 26sselid 3980 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ ℝ*)
289ralrimiva 3145 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
29 dfiun3g 5963 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)))
3028, 29syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)))
3130fveq2d 6895 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))))
32 nnct 13951 . . . . . . . . . 10 β„• β‰Ό Ο‰
33 mptct 10537 . . . . . . . . . 10 (β„• β‰Ό Ο‰ β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰)
34 rnct 10524 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰ β†’ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰)
3532, 33, 34mp2b 10 . . . . . . . . 9 ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰
3635a1i 11 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰)
37 eqid 2731 . . . . . . . . . 10 (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) = (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))
3837rnmptss 7124 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴) ∈ 𝒫 𝑂 β†’ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂)
3928, 38syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂)
40 mptexg 7225 . . . . . . . . . 10 (β„• ∈ V β†’ (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ V)
41 rnexg 7899 . . . . . . . . . 10 ((π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ V β†’ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ V)
425, 40, 41mp2b 10 . . . . . . . . 9 ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ V
43 breq1 5151 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ β‰Ό Ο‰ ↔ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰))
44 sseq1 4007 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂 ↔ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂))
4543, 443anbi23d 1438 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) ↔ (πœ‘ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂)))
46 unieq 4919 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ βˆͺ π‘₯ = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)))
4746fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) = (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))))
48 esumeq1 33331 . . . . . . . . . . . 12 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦) = Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦))
4947, 48breq12d 5161 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ ((π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦) ↔ (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦)))
5045, 49imbi12d 344 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β†’ (((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦)) ↔ ((πœ‘ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦))))
51 carsgsiga.2 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
5250, 51vtoclg 3542 . . . . . . . . 9 (ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ V β†’ ((πœ‘ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦)))
5342, 52ax-mp 5 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) β‰Ό Ο‰ ∧ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴)) βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦))
5436, 39, 53mpd3an23 1462 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦))
5531, 54eqbrtrd 5170 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦))
56 fveq2 6891 . . . . . . 7 (𝑦 = (𝐸 ∩ 𝐴) β†’ (π‘€β€˜π‘¦) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
57 simpr 484 . . . . . . . . 9 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…)
5857fveq2d 6895 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
59 carsgsiga.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
6059ad2antrr 723 . . . . . . . 8 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
6158, 60eqtrd 2771 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) ∧ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) = 0)
62 carsgclctunlem2.1 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
63 disjin 32085 . . . . . . . . 9 (Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴 β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸))
6462, 63syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸))
65 incom 4201 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ 𝐴)
6665rgenw 3064 . . . . . . . . 9 βˆ€π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ 𝐴)
67 disjeq2 5117 . . . . . . . . 9 (βˆ€π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸) = (𝐸 ∩ 𝐴) β†’ (Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸) ↔ Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)))
6866, 67ax-mp 5 . . . . . . . 8 (Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐴 ∩ 𝐸) ↔ Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴))
6964, 68sylib 217 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴))
7056, 6, 22, 9, 61, 69esumrnmpt2 33365 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ (𝐸 ∩ 𝐴))(π‘€β€˜π‘¦) = Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
7155, 70breqtrd 5174 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
72 carsgval.1 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
73 difssd 4132 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴) βŠ† 𝐸)
74 carsgsiga.3 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
7572, 4, 73, 7, 74carsgmon 33612 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
7614, 17, 75xrge0subcld 32244 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ∈ (0[,]+∞))
774adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑀:𝒫 π‘‚βŸΆ(0[,]+∞))
787adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝐸 ∈ 𝒫 𝑂)
7978elpwincl1 32031 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
8077, 79ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
813, 80sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ*)
82 xrge0neqmnf 13434 . . . . . . . . . . 11 ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ (0[,]+∞) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)
8380, 82syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)
8478elpwdifcl 32032 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴) ∈ 𝒫 𝑂)
8577, 84ffvelcdmd 7087 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
863, 85sselid 3980 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ*)
87 xrge0neqmnf 13434 . . . . . . . . . . 11 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ (0[,]+∞) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)
8885, 87syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)
8986xnegcld 13284 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ*)
90 xnegneg 13198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
9186, 90syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
9291adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
93 xnegeq 13191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞ β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -𝑒-∞)
9493adantl 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -𝑒-∞)
95 xnegmnf 13194 . . . . . . . . . . . . . . . 16 -𝑒-∞ = +∞
9694, 95eqtrdi 2787 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ -𝑒-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = +∞)
9792, 96eqtr3d 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = +∞)
9897oveq2d 7428 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 +∞))
99 simpll 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ πœ‘)
100 fz1ssnn 13537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (1...𝑛) βŠ† β„•
101100a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) βŠ† β„•)
102101sselda 3982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ π‘˜ ∈ β„•)
103 carsgclctunlem2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ β„•) β†’ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
10499, 102, 103syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ 𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
105104ralrimiva 3145 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
106 dfiun3g 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴))
107105, 106syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 = βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴))
10872adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ 𝑂 ∈ 𝑉)
10959adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
110513adant1r 1176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ β‰Ό Ο‰ ∧ π‘₯ βŠ† 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘₯) ≀ Ξ£*𝑦 ∈ π‘₯(π‘€β€˜π‘¦))
111 fzfi 13942 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (1...𝑛) ∈ Fin
112 mptfi 9355 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((1...𝑛) ∈ Fin β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ Fin)
113 rnfi 9339 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ((π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ Fin β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ Fin)
114111, 112, 113mp2b 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ Fin
115114a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ Fin)
116 eqid 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) = (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)
117116rnmptss 7124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (βˆ€π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
118105, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† (toCaraSigaβ€˜π‘€))
119108, 77, 109, 110, 115, 118fiunelcarsg 33614 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
120107, 119eqeltrd 2832 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€))
121108, 77elcarsg 33603 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 ∈ (toCaraSigaβ€˜π‘€) ↔ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))))
122120, 121mpbid 231 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 βŠ† 𝑂 ∧ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’)))
123122simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’))
124 ineq1 4205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝐸 β†’ (𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))
125124fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
126 difeq1 4115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑒 = 𝐸 β†’ (𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))
127126fveq2d 6895 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
128125, 127oveq12d 7430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = 𝐸 β†’ ((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))))
129 fveq2 6891 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑒 = 𝐸 β†’ (π‘€β€˜π‘’) = (π‘€β€˜πΈ))
130128, 129eqeq12d 2747 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑒 = 𝐸 β†’ (((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’) ↔ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ)))
131130rspcv 3608 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∈ 𝒫 𝑂 β†’ (βˆ€π‘’ ∈ 𝒫 𝑂((π‘€β€˜(𝑒 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝑒 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜π‘’) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ)))
13278, 123, 131sylc 65 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
133132adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
134 xaddpnf1 13210 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 +∞) = +∞)
13581, 83, 134syl2anc 583 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 +∞) = +∞)
136135adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 +∞) = +∞)
13798, 133, 1363eqtr3d 2779 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ (π‘€β€˜πΈ) = +∞)
138 carsgclctunlem2.4 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞)
139138ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ (π‘€β€˜πΈ) β‰  +∞)
140139neneqd 2944 . . . . . . . . . . . 12 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞) β†’ Β¬ (π‘€β€˜πΈ) = +∞)
141137, 140pm2.65da 814 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Β¬ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = -∞)
142141neqned 2946 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)
143 xaddass 13233 . . . . . . . . . 10 ((((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞) ∧ ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞) ∧ (-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) β‰  -∞)) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))))
14481, 83, 86, 88, 89, 142, 143syl222anc 1385 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))))
145 xnegid 13222 . . . . . . . . . . 11 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = 0)
14686, 145syl 17 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = 0)
147146oveq2d 7428 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))) = ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 0))
148 xaddrid 13225 . . . . . . . . . 10 ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 0) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
14981, 148syl 17 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 0) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
150144, 147, 1493eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
151132oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) = ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))))
152107ineq2d 4212 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴) = (𝐸 ∩ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)))
153152fveq2d 6895 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴))))
154 mptss 6042 . . . . . . . . . . . . 13 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴))
155 rnss 5938 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴))
156100, 154, 155mp2b 10 . . . . . . . . . . . 12 ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴)
157156a1i 11 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴))
158 disjrnmpt 32084 . . . . . . . . . . . . 13 (Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴 β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴)𝑦)
15962, 158syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴)𝑦)
160159adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴)𝑦)
161 disjss1 5119 . . . . . . . . . . 11 (ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴) βŠ† ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴) β†’ (Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ β„• ↦ 𝐴)𝑦 β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)𝑦))
162157, 160, 161sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj 𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)𝑦)
163108, 77, 109, 110, 115, 118, 162, 78carsgclctunlem1 33615 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴))) = Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)))
164 ineq2 4206 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝐴 β†’ (𝐸 ∩ 𝑦) = (𝐸 ∩ 𝐴))
165164fveq2d 6895 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝐴 β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
166111elexi 3493 . . . . . . . . . . 11 (1...𝑛) ∈ V
167166a1i 11 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (1...𝑛) ∈ V)
16899, 102, 22syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
169 inss2 4229 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴
170 sseq2 4008 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐴 = βˆ… β†’ ((𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† 𝐴 ↔ (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† βˆ…))
171169, 170mpbii 232 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† βˆ…)
172 ss0 4398 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝐸 ∩ 𝐴) βŠ† βˆ… β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…)
173171, 172syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐴 = βˆ… β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…)
174173adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (𝐸 ∩ 𝐴) = βˆ…)
175174fveq2d 6895 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) = (π‘€β€˜βˆ…))
176109ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜βˆ…) = 0)
177175, 176eqtrd 2771 . . . . . . . . . 10 ((((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘˜ ∈ (1...𝑛)) ∧ 𝐴 = βˆ…) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) = 0)
17862adantr 480 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
179 disjss1 5119 . . . . . . . . . . 11 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ (Disj π‘˜ ∈ β„• 𝐴 β†’ Disj π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))
180101, 178, 179sylc 65 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Disj π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)
181165, 167, 168, 104, 177, 180esumrnmpt2 33365 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£*𝑦 ∈ ran (π‘˜ ∈ (1...𝑛) ↦ 𝐴)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝑦)) = Ξ£*π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
182153, 163, 1813eqtrd 2775 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) = Ξ£*π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)))
183150, 151, 1823eqtr3rd 2780 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) = ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))))
18417adantr 480 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ (0[,]+∞))
1853, 184sselid 3980 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*)
186185xnegcld 13284 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*)
18715adantr 480 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*)
188 iunss1 5011 . . . . . . . . . . . 12 ((1...𝑛) βŠ† β„• β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
189100, 188mp1i 13 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴 βŠ† βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)
190189sscond 4141 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴) βŠ† (𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))
191743adant1r 1176 . . . . . . . . . 10 (((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) ∧ π‘₯ βŠ† 𝑦 ∧ 𝑦 ∈ 𝒫 𝑂) β†’ (π‘€β€˜π‘₯) ≀ (π‘€β€˜π‘¦))
192108, 77, 190, 84, 191carsgmon 33612 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)))
193 xleneg 13202 . . . . . . . . . 10 (((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ*) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ↔ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ≀ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
194193biimpa 476 . . . . . . . . 9 ((((π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ*) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ≀ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)))
195185, 86, 192, 194syl21anc 835 . . . . . . . 8 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ≀ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)))
196 xleadd2a 13238 . . . . . . . 8 (((-𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ∈ ℝ* ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜πΈ) ∈ ℝ*) ∧ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴)) ≀ -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) β†’ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
19789, 186, 187, 195, 196syl31anc 1372 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ (1...𝑛)𝐴))) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
198183, 197eqbrtrd 5170 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ 𝑛 ∈ β„•) β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ (1...𝑛)(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
19976, 22, 198esumgect 33387 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£*π‘˜ ∈ β„•(π‘€β€˜(𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
20012, 27, 20, 71, 199xrletrd 13146 . . . 4 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜βˆͺ π‘˜ ∈ β„• (𝐸 ∩ 𝐴)) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
2012, 200eqbrtrrid 5184 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
202 xleadd1a 13237 . . 3 ((((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ* ∧ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ∈ ℝ* ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ ℝ*) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ ((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)))) β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ≀ (((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
20313, 20, 18, 201, 202syl31anc 1372 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ≀ (((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))))
204 xrge0npcan 32463 . . 3 (((π‘€β€˜πΈ) ∈ (0[,]+∞) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ∈ (0[,]+∞) ∧ (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) ≀ (π‘€β€˜πΈ)) β†’ (((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
20514, 17, 75, 204syl3anc 1370 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘€β€˜πΈ) +𝑒 -𝑒(π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) = (π‘€β€˜πΈ))
206203, 205breqtrd 5174 1 (πœ‘ β†’ ((π‘€β€˜(𝐸 ∩ βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴)) +𝑒 (π‘€β€˜(𝐸 βˆ– βˆͺ π‘˜ ∈ β„• 𝐴))) ≀ (π‘€β€˜πΈ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2939  βˆ€wral 3060  Vcvv 3473   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908  βˆͺ ciun 4997  Disj wdisj 5113   class class class wbr 5148   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7412  Ο‰com 7859   β‰Ό cdom 8941  Fincfn 8943  0cc0 11114  1c1 11115  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  β„*cxr 11252   ≀ cle 11254  β„•cn 12217  -𝑒cxne 13094   +𝑒 cxad 13095  [,]cicc 13332  ...cfz 13489  Ξ£*cesum 33324  toCaraSigaccarsg 33599
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9640  ax-ac2 10462  ax-cnex 11170  ax-resscn 11171  ax-1cn 11172  ax-icn 11173  ax-addcl 11174  ax-addrcl 11175  ax-mulcl 11176  ax-mulrcl 11177  ax-mulcom 11178  ax-addass 11179  ax-mulass 11180  ax-distr 11181  ax-i2m1 11182  ax-1ne0 11183  ax-1rid 11184  ax-rnegex 11185  ax-rrecex 11186  ax-cnre 11187  ax-pre-lttri 11188  ax-pre-lttrn 11189  ax-pre-ltadd 11190  ax-pre-mulgt0 11191  ax-pre-sup 11192  ax-addf 11193  ax-mulf 11194
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-disj 5114  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7674  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-supp 8151  df-frecs 8270  df-wrecs 8301  df-recs 8375  df-rdg 8414  df-1o 8470  df-2o 8471  df-er 8707  df-map 8826  df-pm 8827  df-ixp 8896  df-en 8944  df-dom 8945  df-sdom 8946  df-fin 8947  df-fsupp 9366  df-fi 9410  df-sup 9441  df-inf 9442  df-oi 9509  df-dju 9900  df-card 9938  df-acn 9941  df-ac 10115  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-div 11877  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-q 12938  df-rp 12980  df-xneg 13097  df-xadd 13098  df-xmul 13099  df-ioo 13333  df-ioc 13334  df-ico 13335  df-icc 13336  df-fz 13490  df-fzo 13633  df-fl 13762  df-mod 13840  df-seq 13972  df-exp 14033  df-fac 14239  df-bc 14268  df-hash 14296  df-shft 15019  df-cj 15051  df-re 15052  df-im 15053  df-sqrt 15187  df-abs 15188  df-limsup 15420  df-clim 15437  df-rlim 15438  df-sum 15638  df-ef 16016  df-sin 16018  df-cos 16019  df-pi 16021  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-starv 17217  df-sca 17218  df-vsca 17219  df-ip 17220  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-unif 17225  df-hom 17226  df-cco 17227  df-rest 17373  df-topn 17374  df-0g 17392  df-gsum 17393  df-topgen 17394  df-pt 17395  df-prds 17398  df-ordt 17452  df-xrs 17453  df-qtop 17458  df-imas 17459  df-xps 17461  df-mre 17535  df-mrc 17536  df-acs 17538  df-ps 18524  df-tsr 18525  df-plusf 18565  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-mhm 18706  df-submnd 18707  df-grp 18859  df-minusg 18860  df-sbg 18861  df-mulg 18988  df-subg 19040  df-cntz 19223  df-cmn 19692  df-abl 19693  df-mgp 20030  df-rng 20048  df-ur 20077  df-ring 20130  df-cring 20131  df-subrng 20435  df-subrg 20460  df-abv 20569  df-lmod 20617  df-scaf 20618  df-sra 20931  df-rgmod 20932  df-psmet 21137  df-xmet 21138  df-met 21139  df-bl 21140  df-mopn 21141  df-fbas 21142  df-fg 21143  df-cnfld 21146  df-top 22617  df-topon 22634  df-topsp 22656  df-bases 22670  df-cld 22744  df-ntr 22745  df-cls 22746  df-nei 22823  df-lp 22861  df-perf 22862  df-cn 22952  df-cnp 22953  df-haus 23040  df-tx 23287  df-hmeo 23480  df-fil 23571  df-fm 23663  df-flim 23664  df-flf 23665  df-tmd 23797  df-tgp 23798  df-tsms 23852  df-trg 23885  df-xms 24047  df-ms 24048  df-tms 24049  df-nm 24312  df-ngp 24313  df-nrg 24315  df-nlm 24316  df-ii 24618  df-cncf 24619  df-limc 25616  df-dv 25617  df-log 26302  df-esum 33325  df-carsg 33600
This theorem is referenced by:  carsgclctunlem3  33618
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