MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunexg 7656
Description: The existence of an indexed union. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iunexg ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunexg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 4946 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑊 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
21adantl 484 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
3 abrexexg 7654 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
43uniexd 7460 . . 3 (𝐴𝑉 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
54adantr 483 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
62, 5eqeltrd 2911 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 398   = wceq 1530  wcel 2107  {cab 2797  wral 3136  wrex 3137  Vcvv 3493   cuni 4830   ciun 4910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2791  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7453
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2616  df-eu 2648  df-clab 2798  df-cleq 2812  df-clel 2891  df-nfc 2961  df-ne 3015  df-ral 3141  df-rex 3142  df-reu 3143  df-rab 3145  df-v 3495  df-sbc 3771  df-csb 3882  df-dif 3937  df-un 3939  df-in 3941  df-ss 3950  df-nul 4290  df-if 4466  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  abrexex2g  7657  opabex3d  7658  opabex3rd  7659  opabex3  7660  iunex  7661  xpexgALT  7674  mpoexxg  7765  ixpexg  8478  ixpssmapg  8484  iundom  9956  iunctb  9988  wrdexg  13863  cshwsex  16426  imasplusg  16782  imasmulr  16783  imasvsca  16785  imasip  16786  gsum2d2  19086  gsumcom2  19087  dprd2da  19156  ptcls  22216  ptcmplem2  22653  elpwiuncl  30280  aciunf1lem  30399  esum2dlem  31339  esum2d  31340  esumiun  31341  omssubadd  31546  eulerpartlemgs2  31626  bnj535  32150  bnj546  32156  bnj893  32188  bnj1136  32257  bnj1413  32295  trpredtr  33057  trpredmintr  33058  trpredrec  33065  eliunov2  40009  fvmptiunrelexplb0d  40014  fvmptiunrelexplb1d  40016  iunrelexp0  40032  collexd  40578  unirnmapsn  41461  iunmapss  41462  ssmapsn  41463  iunmapsn  41464  sge0iunmptlemfi  42680  sge0iunmpt  42685  smflimlem1  43032  smfliminflem  43089  mpoexxg2  44371
  Copyright terms: Public domain W3C validator