MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunexg 7290
Description: The existence of an indexed union. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iunexg ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunexg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 4686 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑊 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
21adantl 467 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
3 abrexexg 7287 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
4 uniexg 7102 . . . 4 ({𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
53, 4syl 17 . . 3 (𝐴𝑉 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
65adantr 466 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
72, 6eqeltrd 2850 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wcel 2145  {cab 2757  wral 3061  wrex 3062  Vcvv 3351   cuni 4574   ciun 4654
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pr 5034  ax-un 7096
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 835  df-3an 1073  df-tru 1634  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-nul 4064  df-if 4226  df-sn 4317  df-pr 4319  df-op 4323  df-uni 4575  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-id 5157  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039
This theorem is referenced by:  abrexex2g  7291  opabex3d  7292  opabex3  7293  iunex  7294  xpexgALT  7308  mpt2exxg  7394  ixpexg  8086  ixpssmapg  8092  iundom  9566  iunctb  9598  cshwsex  16014  imasplusg  16385  imasmulr  16386  imasvsca  16388  imasip  16389  gsum2d2  18580  gsumcom2  18581  dprd2da  18649  ptcls  21640  ptcmplem2  22077  elpwiuncl  29697  aciunf1lem  29802  esum2dlem  30494  esum2d  30495  esumiun  30496  omssubadd  30702  eulerpartlemgs2  30782  bnj535  31298  bnj546  31304  bnj893  31336  bnj1136  31403  bnj1413  31441  trpredtr  32066  trpredmintr  32067  trpredrec  32074  eliunov2  38497  fvmptiunrelexplb0d  38502  fvmptiunrelexplb1d  38504  iunrelexp0  38520  unirnmapsn  39924  iunmapss  39925  ssmapsn  39926  iunmapsn  39927  sge0iunmptlemfi  41147  sge0iunmpt  41152  smflimlem1  41499  smfliminflem  41556  mpt2exxg2  42644
  Copyright terms: Public domain W3C validator