Theorem iunexg 7701

Description: The existence of an indexed union. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)

Assertion

Ref	Expression
iunexg	⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunexg

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfiun2g 4927	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
2	1	adantl 485	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 = ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵})
3		abrexexg 7699	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
4	3	uniexd 7498	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑉 → ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
5	4	adantr 484	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ {𝑦 ∣ ∃𝑥 ∈ 𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
6	2, 5	eqeltrd 2834	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝑉 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ 𝑊) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {cab 2717  ∀wral 3054  ∃wrex 3055  Vcvv 3400  ∪ cuni 4806  ∪ ciun 4891

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pr 5306  ax-un 7491

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6307  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357

This theorem is referenced by:  abrexex2g  7702  opabex3d  7703  opabex3rd  7704  opabex3  7705  iunex  7706  xpexgALT  7719  mpoexxg  7811  ixpexg  8544  ixpssmapg  8550  iundom  10054  iunctb  10086  wrdexg  13977  cshwsex  16549  imasplusg  16905  imasmulr  16906  imasvsca  16908  imasip  16909  gsum2d2  19225  gsumcom2  19226  dprd2da  19295  ptcls  22379  ptcmplem2  22816  elpwiuncl  30462  aciunf1lem  30586  gsumpart  30904  esum2dlem  31642  esum2d  31643  esumiun  31644  omssubadd  31849  eulerpartlemgs2  31929  bnj535  32453  bnj546  32459  bnj893  32491  bnj1136  32560  bnj1413  32598  trpredtr  33386  trpredmintr  33387  trpredrec  33394  eliunov2  40873  fvmptiunrelexplb0d  40878  fvmptiunrelexplb1d  40880  iunrelexp0  40896  collexd  41457  unirnmapsn  42332  iunmapss  42333  ssmapsn  42334  iunmapsn  42335  sge0iunmptlemfi  43533  sge0iunmpt  43538  smflimlem1  43885  smfliminflem  43942  mpoexxg2  45254