MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunexg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunexg 7653
Description: The existence of an indexed union. 𝑥 is normally a free-variable parameter in 𝐵. (Contributed by NM, 23-Mar-2006.)
Assertion
Ref Expression
iunexg ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hints:   𝐵(𝑥)   𝑉(𝑥)   𝑊(𝑥)

Proof of Theorem iunexg
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfiun2g 4946 . . 3 (∀𝑥𝐴 𝐵𝑊 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
21adantl 482 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 = {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵})
3 abrexexg 7651 . . . 4 (𝐴𝑉 → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
43uniexd 7457 . . 3 (𝐴𝑉 {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
54adantr 481 . 2 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → {𝑦 ∣ ∃𝑥𝐴 𝑦 = 𝐵} ∈ V)
62, 5eqeltrd 2910 1 ((𝐴𝑉 ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵𝑊) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  {cab 2796  wral 3135  wrex 3136  Vcvv 3492   cuni 4830   ciun 4910
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pr 5320  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-id 5453  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356
This theorem is referenced by:  abrexex2g  7654  opabex3d  7655  opabex3rd  7656  opabex3  7657  iunex  7658  xpexgALT  7671  mpoexxg  7762  ixpexg  8474  ixpssmapg  8480  iundom  9952  iunctb  9984  wrdexg  13859  cshwsex  16422  imasplusg  16778  imasmulr  16779  imasvsca  16781  imasip  16782  gsum2d2  19023  gsumcom2  19024  dprd2da  19093  ptcls  22152  ptcmplem2  22589  elpwiuncl  30215  aciunf1lem  30335  esum2dlem  31250  esum2d  31251  esumiun  31252  omssubadd  31457  eulerpartlemgs2  31537  bnj535  32061  bnj546  32067  bnj893  32099  bnj1136  32166  bnj1413  32204  trpredtr  32966  trpredmintr  32967  trpredrec  32974  eliunov2  39902  fvmptiunrelexplb0d  39907  fvmptiunrelexplb1d  39909  iunrelexp0  39925  collexd  40470  unirnmapsn  41353  iunmapss  41354  ssmapsn  41355  iunmapsn  41356  sge0iunmptlemfi  42572  sge0iunmpt  42577  smflimlem1  42924  smfliminflem  42981  mpoexxg2  44314
  Copyright terms: Public domain W3C validator