Theorem eltrans 34242

Description: Membership in the class of all transitive sets. (Contributed by Scott Fenton, 31-Mar-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltrans.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eltrans	⊢ (𝐴 ∈ Trans ↔ Tr 𝐴)

Proof of Theorem eltrans

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trans 34208	. . 3 ⊢ Trans = (V ∖ ran (( E ∘ E ) ∖ E ))
2	1	eleq2i 2828	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Trans ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ ran (( E ∘ E ) ∖ E )))
3		eltrans.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	3	dftr6 33767	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ ran (( E ∘ E ) ∖ E )))
5	2, 4	bitr4i 278	1 ⊢ (𝐴 ∈ Trans ↔ Tr 𝐴)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∈ wcel 2104  Vcvv 3437   ∖ cdif 3889  Tr wtr 5198   E cep 5505  ran crn 5601   ∘ ccom 5604   Trans ctrans 34184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pr 5361

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ne 2942  df-rab 3306  df-v 3439  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-tr 5199  df-eprel 5506  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-trans 34208

This theorem is referenced by:  dfon3  34243