Theorem eltrans 36623

Description: Membership in the class of all transitive sets. (Contributed by Scott Fenton, 31-Mar-2012.)

Hypothesis

Ref	Expression
eltrans.1	⊢ 𝐴 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
eltrans	⊢ (𝐴 ∈ Trans ↔ Tr 𝐴)

Proof of Theorem eltrans

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-trans 36589	. . 3 ⊢ Trans = (V ∖ ran (( E ∘ E ) ∖ E ))
2	1	eleq2i 2853	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Trans ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ ran (( E ∘ E ) ∖ E )))
3		eltrans.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	3	dftr6 36485	. 2 ⊢ (Tr 𝐴 ↔ 𝐴 ∈ (V ∖ ran (( E ∘ E ) ∖ E )))
5	2, 4	bitr4i 281	1 ⊢ (𝐴 ∈ Trans ↔ Tr 𝐴)

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145  Vcvv 3451   ∖ cdif 3896  Tr wtr 5212   E cep 5550  ran crn 5652   ∘ ccom 5655   Trans ctrans 36565

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-rab 3414  df-v 3453  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-tr 5213  df-eprel 5551  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-trans 36589

This theorem is used by:  dfon3  36624