Theorem elzdif0 34016

Description: Lemma for qqhval2 34018. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elzdif0	⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))

Proof of Theorem elzdif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsnneq 4772	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ¬ 𝑀 = 0)
2		eldifi 4111	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		elz 12595	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
4	2, 3	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
5	4	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))
6		3orass 1089	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ) ↔ (𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
7	5, 6	sylib 218	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
8		orel1 888	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → ((𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
9	1, 7, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3928  {csn 4606  ℝcr 11133  0cc0 11134  -cneg 11472  ℕcn 12245  ℤcz 12593

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-ne 2934  df-rab 3421  df-v 3466  df-dif 3934  df-un 3936  df-ss 3948  df-nul 4314  df-if 4506  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-br 5125  df-iota 6489  df-fv 6544  df-ov 7413  df-neg 11474  df-z 12594

This theorem is referenced by: (None)