Theorem elzdif0 33993

Description: Lemma for qqhval2 33995. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elzdif0	⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))

Proof of Theorem elzdif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsnneq 4740	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ¬ 𝑀 = 0)
2		eldifi 4078	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		elz 12470	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
4	2, 3	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
5	4	simprd 495	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))
6		3orass 1089	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ) ↔ (𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
7	5, 6	sylib 218	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
8		orel1 888	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → ((𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
9	1, 7, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∨ w3o 1085   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3894  {csn 4573  ℝcr 11005  0cc0 11006  -cneg 11345  ℕcn 12125  ℤcz 12468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ne 2929  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-neg 11347  df-z 12469

This theorem is referenced by: (None)