Theorem elzdif0 31930

Description: Lemma for qqhval2 31932. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Assertion

Ref	Expression
elzdif0	⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))

Proof of Theorem elzdif0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eldifsnneq 4724	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → ¬ 𝑀 = 0)
2		eldifi 4061	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → 𝑀 ∈ ℤ)
3		elz 12321	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
4	2, 3	sylib 217	. . . 4 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℝ ∧ (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
5	4	simprd 496	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))
6		3orass 1089	. . 3 ⊢ ((𝑀 = 0 ∨ 𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ) ↔ (𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
7	5, 6	sylib 217	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
8		orel1 886	. 2 ⊢ (¬ 𝑀 = 0 → ((𝑀 = 0 ∨ (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ)))
9	1, 7, 8	sylc 65	1 ⊢ (𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}) → (𝑀 ∈ ℕ ∨ -𝑀 ∈ ℕ))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∨ wo 844   ∨ w3o 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884  {csn 4561  ℝcr 10870  0cc0 10871  -cneg 11206  ℕcn 11973  ℤcz 12319

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2709

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-sb 2068  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-ne 2944  df-rab 3073  df-v 3434  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-iota 6391  df-fv 6441  df-ov 7278  df-neg 11208  df-z 12320

This theorem is referenced by: (None)