Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elzrhunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elzrhunit 33028
Description: Condition for the image by β„€RHom to be a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
zrhker.1 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
zrhker.2 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
elzrhunit (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))

Proof of Theorem elzrhunit
StepHypRef Expression
1 simpll 765 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 drngring 20368 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 zrhker.1 . . . . 5 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
43zrhrhm 21067 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
5 zringbas 21029 . . . . 5 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
6 zrhker.0 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
75, 6rhmf 20267 . . . 4 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
8 ffn 6717 . . . 4 (𝐿:β„€βŸΆπ΅ β†’ 𝐿 Fn β„€)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐿 Fn β„€)
101, 2, 93syl 18 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝐿 Fn β„€)
11 simprl 769 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12 elsng 4642 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 = 0))
1312necon3bbid 2978 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (Β¬ 𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 β‰  0))
1413biimpar 478 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ {0})
1514adantl 482 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ {0})
1611, 15eldifd 3959 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€ βˆ– {0}))
17 zrhker.2 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
186, 3, 17zrhunitpreima 33027 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)) = (β„€ βˆ– {0}))
1918adantr 481 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)) = (β„€ βˆ– {0}))
2016, 19eleqtrrd 2836 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)))
21 elpreima 7059 . . 3 (𝐿 Fn β„€ β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)) ↔ (𝑀 ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
2221simplbda 500 . 2 ((𝐿 Fn β„€ ∧ 𝑀 ∈ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (πΏβ€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2310, 20, 22syl2anc 584 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945  {csn 4628  β—‘ccnv 5675   β€œ cima 5679   Fn wfn 6538  βŸΆwf 6539  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„€cz 12560  Basecbs 17146  0gc0g 17387  Ringcrg 20058  Unitcui 20173   RingHom crh 20252  DivRingcdr 20361  β„€ringczring 21023  β„€RHomczrh 21055  chrcchr 21057
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-div 11874  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-7 12282  df-8 12283  df-9 12284  df-n0 12475  df-z 12561  df-dec 12680  df-uz 12825  df-rp 12977  df-fz 13487  df-fl 13759  df-mod 13837  df-seq 13969  df-exp 14030  df-cj 15048  df-re 15049  df-im 15050  df-sqrt 15184  df-abs 15185  df-dvds 16200  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-starv 17214  df-tset 17218  df-ple 17219  df-ds 17221  df-unif 17222  df-0g 17389  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-mhm 18673  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-mulg 18953  df-subg 19005  df-ghm 19092  df-od 19398  df-cmn 19652  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-cring 20061  df-rnghom 20255  df-subrg 20321  df-drng 20363  df-cnfld 20951  df-zring 21024  df-zrh 21059  df-chr 21061
This theorem is referenced by:  qqhghm  33037  qqhrhm  33038  qqhnm  33039
  Copyright terms: Public domain W3C validator