Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elzrhunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elzrhunit 32600
Description: Condition for the image by β„€RHom to be a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
zrhker.1 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
zrhker.2 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
elzrhunit (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))

Proof of Theorem elzrhunit
StepHypRef Expression
1 simpll 766 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝑅 ∈ DivRing)
2 drngring 20206 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
3 zrhker.1 . . . . 5 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
43zrhrhm 20928 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
5 zringbas 20891 . . . . 5 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
6 zrhker.0 . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
75, 6rhmf 20167 . . . 4 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
8 ffn 6673 . . . 4 (𝐿:β„€βŸΆπ΅ β†’ 𝐿 Fn β„€)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐿 Fn β„€)
101, 2, 93syl 18 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝐿 Fn β„€)
11 simprl 770 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ β„€)
12 elsng 4605 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 = 0))
1312necon3bbid 2982 . . . . . 6 (𝑀 ∈ β„€ β†’ (Β¬ 𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 β‰  0))
1413biimpar 479 . . . . 5 ((𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ {0})
1514adantl 483 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ Β¬ 𝑀 ∈ {0})
1611, 15eldifd 3926 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ (β„€ βˆ– {0}))
17 zrhker.2 . . . . 5 0 = (0gβ€˜π‘…)
186, 3, 17zrhunitpreima 32599 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)) = (β„€ βˆ– {0}))
1918adantr 482 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)) = (β„€ βˆ– {0}))
2016, 19eleqtrrd 2841 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ 𝑀 ∈ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)))
21 elpreima 7013 . . 3 (𝐿 Fn β„€ β†’ (𝑀 ∈ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…)) ↔ (𝑀 ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))))
2221simplbda 501 . 2 ((𝐿 Fn β„€ ∧ 𝑀 ∈ (◑𝐿 β€œ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ (πΏβ€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
2310, 20, 22syl2anc 585 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑀 ∈ β„€ ∧ 𝑀 β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜π‘€) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912  {csn 4591  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362  0cc0 11058  β„€cz 12506  Basecbs 17090  0gc0g 17328  Ringcrg 19971  Unitcui 20075   RingHom crh 20152  DivRingcdr 20199  β„€ringczring 20885  β„€RHomczrh 20916  chrcchr 20918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136  ax-addf 11137  ax-mulf 11138
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4871  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-5 12226  df-6 12227  df-7 12228  df-8 12229  df-9 12230  df-n0 12421  df-z 12507  df-dec 12626  df-uz 12771  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-dvds 16144  df-struct 17026  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-ress 17120  df-plusg 17153  df-mulr 17154  df-starv 17155  df-tset 17159  df-ple 17160  df-ds 17162  df-unif 17163  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-mhm 18608  df-grp 18758  df-minusg 18759  df-sbg 18760  df-mulg 18880  df-subg 18932  df-ghm 19013  df-od 19317  df-cmn 19571  df-mgp 19904  df-ur 19921  df-ring 19973  df-cring 19974  df-rnghom 20155  df-drng 20201  df-subrg 20236  df-cnfld 20813  df-zring 20886  df-zrh 20920  df-chr 20922
This theorem is referenced by:  qqhghm  32609  qqhrhm  32610  qqhnm  32611
  Copyright terms: Public domain W3C validator