Theorem elzrhunit 32959

Description: Condition for the image by ℤRHom to be a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhker.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
elzrhunit	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))

Proof of Theorem elzrhunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drngring 20364	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		zrhker.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
4	3	zrhrhm 21061	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5		zringbas 21023	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
6		zrhker.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	5, 6	rhmf 20263	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
8		ffn 6718	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → 𝐿 Fn ℤ)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
10	1, 2, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝐿 Fn ℤ)
11		simprl 770	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		elsng 4643	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 = 0))
13	12	necon3bbid 2979	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 ≠ 0))
14	13	biimpar 479	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ¬ 𝑀 ∈ {0})
15	14	adantl 483	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑀 ∈ {0})
16	11, 15	eldifd 3960	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}))
17		zrhker.2	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	6, 3, 17	zrhunitpreima 32958	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
19	18	adantr 482	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
20	16, 19	eleqtrrd 2837	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)))
21		elpreima 7060	. . 3 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (𝑀 ∈ (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))))
22	21	simplbda 501	. 2 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑀 ∈ (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅))) → (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
23	10, 20, 22	syl2anc 585	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3946  {csn 4629  ^◡ccnv 5676   “ cima 5680   Fn wfn 6539  ⟶wf 6540  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110  ℤcz 12558  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  Ringcrg 20056  Unitcui 20169   RingHom crh 20248  DivRingcdr 20357  ℤ_ringczring 21017  ℤRHomczrh 21049  chrcchr 21051

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188  ax-addf 11189  ax-mulf 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-7 12280  df-8 12281  df-9 12282  df-n0 12473  df-z 12559  df-dec 12678  df-uz 12823  df-rp 12975  df-fz 13485  df-fl 13757  df-mod 13835  df-seq 13967  df-exp 14028  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-dvds 16198  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-starv 17212  df-tset 17216  df-ple 17217  df-ds 17219  df-unif 17220  df-0g 17387  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-mhm 18671  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-mulg 18951  df-subg 19003  df-ghm 19090  df-od 19396  df-cmn 19650  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-cring 20059  df-rnghom 20251  df-subrg 20317  df-drng 20359  df-cnfld 20945  df-zring 21018  df-zrh 21053  df-chr 21055

This theorem is referenced by:  qqhghm  32968  qqhrhm  32969  qqhnm  32970