Theorem elzrhunit 30567

Description: Condition for the image by ℤRHom to be a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhker.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
elzrhunit	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))

Proof of Theorem elzrhunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 785	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drngring 19109	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		zrhker.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
4	3	zrhrhm 20219	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5		zringbas 20183	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
6		zrhker.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	5, 6	rhmf 19081	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
8		ffn 6277	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → 𝐿 Fn ℤ)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
10	1, 2, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝐿 Fn ℤ)
11		simprl 789	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		elsng 4410	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 = 0))
13	12	necon3bbid 3035	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 ≠ 0))
14	13	biimpar 471	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ¬ 𝑀 ∈ {0})
15	14	adantl 475	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑀 ∈ {0})
16	11, 15	eldifd 3808	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}))
17		zrhker.2	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	6, 3, 17	zrhunitpreima 30566	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
19	18	adantr 474	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
20	16, 19	eleqtrrd 2908	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)))
21		elpreima 6585	. . 3 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (𝑀 ∈ (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))))
22	21	simplbda 495	. 2 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑀 ∈ (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅))) → (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
23	10, 20, 22	syl2anc 581	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   ≠ wne 2998   ∖ cdif 3794  {csn 4396  ^◡ccnv 5340   “ cima 5344   Fn wfn 6117  ⟶wf 6118  ‘cfv 6122  (class class class)co 6904  0cc0 10251  ℤcz 11703  Basecbs 16221  0_gc0g 16452  Ringcrg 18900  Unitcui 18992   RingHom crh 19067  DivRingcdr 19102  ℤ_ringzring 20177  ℤRHomczrh 20207  chrcchr 20209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-inf 8617  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-rp 12112  df-fz 12619  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-dvds 15357  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mulg 17894  df-subg 17941  df-ghm 18008  df-od 18298  df-cmn 18547  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-cring 18903  df-rnghom 19070  df-drng 19104  df-subrg 19133  df-cnfld 20106  df-zring 20178  df-zrh 20211  df-chr 20213

This theorem is referenced by:  qqhghm  30576  qqhrhm  30577  qqhnm  30578