Theorem elzrhunit 32227

Description: Condition for the image by ℤRHom to be a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
zrhker.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
elzrhunit	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))

Proof of Theorem elzrhunit

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ DivRing)
2		drngring 20100	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3		zrhker.1	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
4	3	zrhrhm 20819	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5		zringbas 20782	. . . . 5 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
6		zrhker.0	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
7	5, 6	rhmf 20066	. . . 4 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
8		ffn 6651	. . . 4 ⊢ (𝐿:ℤ⟶𝐵 → 𝐿 Fn ℤ)
9	4, 7, 8	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
10	1, 2, 9	3syl 18	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝐿 Fn ℤ)
11		simprl 768	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
12		elsng 4587	. . . . . . 7 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 = 0))
13	12	necon3bbid 2978	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 ≠ 0))
14	13	biimpar 478	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ¬ 𝑀 ∈ {0})
15	14	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑀 ∈ {0})
16	11, 15	eldifd 3909	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}))
17		zrhker.2	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18	6, 3, 17	zrhunitpreima 32226	. . . 4 ⊢ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
19	18	adantr 481	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
20	16, 19	eleqtrrd 2840	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)))
21		elpreima 6991	. . 3 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → (𝑀 ∈ (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))))
22	21	simplbda 500	. 2 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑀 ∈ (◡𝐿 “ (Unit‘𝑅))) → (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
23	10, 20, 22	syl2anc 584	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝐿‘𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3895  {csn 4573  ^◡ccnv 5619   “ cima 5623   Fn wfn 6474  ⟶wf 6475  ‘cfv 6479  (class class class)co 7337  0cc0 10972  ℤcz 12420  Basecbs 17009  0_gc0g 17247  Ringcrg 19878  Unitcui 19976   RingHom crh 20051  DivRingcdr 20093  ℤ_ringczring 20776  ℤRHomczrh 20807  chrcchr 20809

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-pre-sup 11050  ax-addf 11051  ax-mulf 11052

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-sup 9299  df-inf 9300  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-div 11734  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-7 12142  df-8 12143  df-9 12144  df-n0 12335  df-z 12421  df-dec 12539  df-uz 12684  df-rp 12832  df-fz 13341  df-fl 13613  df-mod 13691  df-seq 13823  df-exp 13884  df-cj 14909  df-re 14910  df-im 14911  df-sqrt 15045  df-abs 15046  df-dvds 16063  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-starv 17074  df-tset 17078  df-ple 17079  df-ds 17081  df-unif 17082  df-0g 17249  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-mhm 18527  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-mulg 18797  df-subg 18848  df-ghm 18928  df-od 19232  df-cmn 19483  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-cring 19881  df-rnghom 20054  df-drng 20095  df-subrg 20127  df-cnfld 20704  df-zring 20777  df-zrh 20811  df-chr 20813

This theorem is referenced by:  qqhghm  32236  qqhrhm  32237  qqhnm  32238