Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  elzrhunit Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem elzrhunit 30567
Description: Condition for the image by ℤRHom to be a unit. (Contributed by Thierry Arnoux, 30-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
zrhker.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
zrhker.1 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
zrhker.2 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
elzrhunit (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝐿𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))

Proof of Theorem elzrhunit
StepHypRef Expression
1 simpll 785 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ DivRing)
2 drngring 19109 . . 3 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
3 zrhker.1 . . . . 5 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
43zrhrhm 20219 . . . 4 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5 zringbas 20183 . . . . 5 ℤ = (Base‘ℤring)
6 zrhker.0 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
75, 6rhmf 19081 . . . 4 (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
8 ffn 6277 . . . 4 (𝐿:ℤ⟶𝐵𝐿 Fn ℤ)
94, 7, 83syl 18 . . 3 (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 Fn ℤ)
101, 2, 93syl 18 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝐿 Fn ℤ)
11 simprl 789 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ ℤ)
12 elsng 4410 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ ℤ → (𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 = 0))
1312necon3bbid 3035 . . . . . 6 (𝑀 ∈ ℤ → (¬ 𝑀 ∈ {0} ↔ 𝑀 ≠ 0))
1413biimpar 471 . . . . 5 ((𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0) → ¬ 𝑀 ∈ {0})
1514adantl 475 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → ¬ 𝑀 ∈ {0})
1611, 15eldifd 3808 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ (ℤ ∖ {0}))
17 zrhker.2 . . . . 5 0 = (0g𝑅)
186, 3, 17zrhunitpreima 30566 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
1918adantr 474 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
2016, 19eleqtrrd 2908 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → 𝑀 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)))
21 elpreima 6585 . . 3 (𝐿 Fn ℤ → (𝑀 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↔ (𝑀 ∈ ℤ ∧ (𝐿𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))))
2221simplbda 495 . 2 ((𝐿 Fn ℤ ∧ 𝑀 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅))) → (𝐿𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
2310, 20, 22syl2anc 581 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑀 ∈ ℤ ∧ 𝑀 ≠ 0)) → (𝐿𝑀) ∈ (Unit‘𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 386   = wceq 1658  wcel 2166  wne 2998  cdif 3794  {csn 4396  ccnv 5340  cima 5344   Fn wfn 6117  wf 6118  cfv 6122  (class class class)co 6904  0cc0 10251  cz 11703  Basecbs 16221  0gc0g 16452  Ringcrg 18900  Unitcui 18992   RingHom crh 19067  DivRingcdr 19102  ringzring 20177  ℤRHomczrh 20207  chrcchr 20209
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-rep 4993  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-inf2 8814  ax-cnex 10307  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328  ax-pre-sup 10329  ax-addf 10330  ax-mulf 10331
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rmo 3124  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-pss 3813  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-tp 4401  df-op 4403  df-uni 4658  df-int 4697  df-iun 4741  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-tr 4975  df-id 5249  df-eprel 5254  df-po 5262  df-so 5263  df-fr 5300  df-we 5302  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-pred 5919  df-ord 5965  df-on 5966  df-lim 5967  df-suc 5968  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-om 7326  df-1st 7427  df-2nd 7428  df-wrecs 7671  df-recs 7733  df-rdg 7771  df-1o 7825  df-oadd 7829  df-er 8008  df-map 8123  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-fin 8225  df-sup 8616  df-inf 8617  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587  df-div 11009  df-nn 11350  df-2 11413  df-3 11414  df-4 11415  df-5 11416  df-6 11417  df-7 11418  df-8 11419  df-9 11420  df-n0 11618  df-z 11704  df-dec 11821  df-uz 11968  df-rp 12112  df-fz 12619  df-fl 12887  df-mod 12963  df-seq 13095  df-exp 13154  df-cj 14215  df-re 14216  df-im 14217  df-sqrt 14351  df-abs 14352  df-dvds 15357  df-struct 16223  df-ndx 16224  df-slot 16225  df-base 16227  df-sets 16228  df-ress 16229  df-plusg 16317  df-mulr 16318  df-starv 16319  df-tset 16323  df-ple 16324  df-ds 16326  df-unif 16327  df-0g 16454  df-mgm 17594  df-sgrp 17636  df-mnd 17647  df-mhm 17687  df-grp 17778  df-minusg 17779  df-sbg 17780  df-mulg 17894  df-subg 17941  df-ghm 18008  df-od 18298  df-cmn 18547  df-mgp 18843  df-ur 18855  df-ring 18902  df-cring 18903  df-rnghom 19070  df-drng 19104  df-subrg 19133  df-cnfld 20106  df-zring 20178  df-zrh 20211  df-chr 20213
This theorem is referenced by:  qqhghm  30576  qqhrhm  30577  qqhnm  30578
  Copyright terms: Public domain W3C validator