Theorem elz 12143

Description: Membership in the set of integers. (Contributed by NM, 8-Jan-2002.)

Assertion

Ref	Expression
elz	⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))

Proof of Theorem elz

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqeq1 2740	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 = 0 ↔ 𝑁 = 0))
2		eleq1 2818	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (𝑥 ∈ ℕ ↔ 𝑁 ∈ ℕ))
3		negeq 11035	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → -𝑥 = -𝑁)
4	3	eleq1d 2815	. . 3 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → (-𝑥 ∈ ℕ ↔ -𝑁 ∈ ℕ))
5	1, 2, 4	3orbi123d 1437	. 2 ⊢ (𝑥 = 𝑁 → ((𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ) ↔ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))
6		df-z 12142	. 2 ⊢ ℤ = {𝑥 ∈ ℝ ∣ (𝑥 = 0 ∨ 𝑥 ∈ ℕ ∨ -𝑥 ∈ ℕ)}
7	5, 6	elrab2 3594	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℤ ↔ (𝑁 ∈ ℝ ∧ (𝑁 = 0 ∨ 𝑁 ∈ ℕ ∨ -𝑁 ∈ ℕ)))

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ w3o 1088   = wceq 1543   ∈ wcel 2112  ℝcr 10693  0cc0 10694  -cneg 11028  ℕcn 11795  ℤcz 12141

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-ext 2708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2073  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-rab 3060  df-v 3400  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4224  df-if 4426  df-sn 4528  df-pr 4530  df-op 4534  df-uni 4806  df-br 5040  df-iota 6316  df-fv 6366  df-ov 7194  df-neg 11030  df-z 12142

This theorem is referenced by:  nnnegz  12144  zre  12145  elnnz  12151  0z  12152  elznn0nn  12155  elznn0  12156  elznn  12157  nnssz  12162  znegcl  12177  zeo  12228  addmodlteq  13484  zabsle1  26131  ostthlem1  26462  ostth3  26473  elzdif0  31596  qqhval2lem  31597  exp11d  39974