Theorem qqhval2lem 31217

Description: Lemma for qqhval2 31218. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhval2lem	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))

Proof of Theorem qqhval2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 19503	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		qqhval2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhm 20653	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5	4	ad2antrr 724	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
6		simpr1 1190	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
7		simpr2 1191	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ∈ ℤ)
8	6, 7	gcdcld 15851	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12079	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ)
10		simpr3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ≠ 0)
11		gcdeq0 15859	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)))
12	11	simplbda 502	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) = 0) → 𝑌 = 0)
13	12	ex 415	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0))
14	13	necon3d 3037	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑌 ≠ 0 → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0))
15	14	imp 409	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
16	6, 7, 10, 15	syl21anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
17		gcddvds 15846	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌))
18	6, 7, 17	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌))
19	18	simpld 497	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋)
20		dvdsval2 15604	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ))
21	20	biimpa 479	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
22	9, 16, 6, 19, 21	syl31anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
23	18	simprd 498	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌)
24		dvdsval2 15604	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌 ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ))
25	24	biimpa 479	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
26	9, 16, 7, 23, 25	syl31anc 1369	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
27		zringbas 20617	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
28		qqhval2.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
29	27, 28	rhmf 19472	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
30	5, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
31	30, 26	ffvelrnd 6846	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵)
32	30	ffnd 6509	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿 Fn ℤ)
33	7	zcnd 12082	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
34	9	zcnd 12082	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℂ)
35	33, 34, 10, 16	divne0d 11426	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ≠ 0)
36		ovex 7183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ V
37	36	elsn 4575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0} ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = 0)
38	37	necon3bbii 3063	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0} ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ≠ 0)
39	35, 38	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0})
40	1	ad2antrr 724	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ Ring)
41		simplr 767	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (chr‘𝑅) = 0)
42		eqid 2821	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	28, 2, 42	zrhker 31213	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
44	43	biimpa 479	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
45	40, 41, 44	syl2anc 586	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
46	39, 45	neleqtrrd 2935	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
47		elpreima 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)})))
48	47	baibd 542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)}))
49	48	biimprd 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
50	49	con3dimp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)})
51		fvex 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ V
52	51	elsn 4575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (0g‘𝑅))
53	52	necon3bbii 3063	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
54	50, 53	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
55	32, 26, 46, 54	syl21anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
56		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
57	28, 56, 42	drngunit 19501	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))))
58	57	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))))
59	31, 55, 58	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅))
60	30, 9	ffvelrnd 6846	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵)
61		ovex 7183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ V
62	61	elsn 4575	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd 𝑌) = 0)
63	62	necon3bbii 3063	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
64	16, 63	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0})
65	64, 45	neleqtrrd 2935	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
66		elpreima 6822	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
67	66	baibd 542	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)}))
68	67	biimprd 250	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
69	68	con3dimp 411	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)})
70		fvex 6677	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ V
71	70	elsn 4575	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) = (0g‘𝑅))
72	71	necon3bbii 3063	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
73	69, 72	sylib 220	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
74	32, 9, 65, 73	syl21anc 835	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
75	28, 56, 42	drngunit 19501	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))))
76	75	ad2antrr 724	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))))
77	60, 74, 76	mpbir2and 711	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
78		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
79		zringmulr 20620	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℤring)
80	56, 27, 78, 79	rhmdvd 30889	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))))
81	5, 22, 26, 9, 59, 77, 80	syl132anc 1384	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))))
82		divnumden 16082	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
83	6, 82	sylan 582	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
84	83	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
85	84	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) = (numer‘(𝑋 / 𝑌)))
86	85	fveq2d 6668	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))))
87	83	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
88	87	eqcomd 2827	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = (denom‘(𝑋 / 𝑌)))
89	88	fveq2d 6668	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌))))
90	86, 89	oveq12d 7168	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
91	22	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
92	91	zcnd 12082	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℂ)
93	92	mulm1d 11086	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
94		neg1cn 11745	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
96	95, 92	mulcomd 10656	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
97	93, 96	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) = ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
98	97	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)))
99	26	adantr 483	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
100	99	zcnd 12082	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℂ)
101	100	mulm1d 11086	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
102	95, 100	mulcomd 10656	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
103	101, 102	eqtr3d 2858	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
104	103	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)))
105	98, 104	oveq12d 7168	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
106	6	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
107	7	adantr 483	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℤ)
108		simpr 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -𝑌 ∈ ℕ)
109		divnumden2 30528	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
110	106, 107, 108, 109	syl3anc 1367	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
111	110	simpld 497	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
112	111	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) = (𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))))
113	110	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
114	113	fveq2d 6668	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌))) = (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
115	112, 114	oveq12d 7168	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))))
116	5	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
117		1zzd 12007	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
118	117	znegcld 12083	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℤ)
119	59	adantr 483	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅))
120		neg1z 12012	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
121		ax-1cn 10589	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
122	121	absnegi 14754	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
123		abs1 14651	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
124	122, 123	eqtri 2844	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
125		zringunit 20629	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ (abs‘-1) = 1))
126	120, 124, 125	mpbir2an 709	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ (Unit‘ℤring)
127	126	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ (Unit‘ℤring))
128		elrhmunit 30888	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ -1 ∈ (Unit‘ℤring)) → (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))
129	116, 127, 128	syl2anc 586	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))
130	56, 27, 78, 79	rhmdvd 30889	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
131	116, 91, 99, 118, 119, 129, 130	syl132anc 1384	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
132	105, 115, 131	3eqtr4rd 2867	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
133		simp3 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ≠ 0)
134	133	neneqd 3021	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ¬ 𝑌 = 0)
135		simp2 1133	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℤ)
136		elz 11977	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
137	135, 136	sylib 220	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
138	137	simprd 498	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
139		3orass 1086	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ) ↔ (𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
140	138, 139	sylib 220	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
141		orel1 885	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑌 = 0 → ((𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
142	134, 140, 141	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
143	142	adantl 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
144	90, 132, 143	mpjaodan 955	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
145	6	zcnd 12082	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℂ)
146	145, 34, 16	divcan1d 11411	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)) = 𝑋)
147	146	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘𝑋))
148	33, 34, 16	divcan1d 11411	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)) = 𝑌)
149	148	fveq2d 6668	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘𝑌))
150	147, 149	oveq12d 7168	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))
151	81, 144, 150	3eqtr3d 2864	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ wo 843   ∨ w3o 1082   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  {csn 4560   class class class wbr 5058  ^◡ccnv 5548   “ cima 5552   Fn wfn 6344  ⟶wf 6345  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  ℂcc 10529  ℝcr 10530  0cc0 10531  1c1 10532   · cmul 10536  -cneg 10865   / cdiv 11291  ℕcn 11632  ℤcz 11975  abscabs 14587   ∥ cdvds 15601   gcd cgcd 15837  numercnumer 16067  denomcdenom 16068  Basecbs 16477  0_gc0g 16707  Ringcrg 19291  Unitcui 19383  /_rcdvr 19426   RingHom crh 19458  DivRingcdr 19496  ℤ_ringzring 20611  ℤRHomczrh 20641  chrcchr 20643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608  ax-pre-sup 10609  ax-addf 10610  ax-mulf 10611

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-tpos 7886  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-map 8402  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-sup 8900  df-inf 8901  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-div 11292  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-q 12343  df-rp 12384  df-fz 12887  df-fl 13156  df-mod 13232  df-seq 13364  df-exp 13424  df-cj 14452  df-re 14453  df-im 14454  df-sqrt 14588  df-abs 14589  df-dvds 15602  df-gcd 15838  df-numer 16069  df-denom 16070  df-gz 16260  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-starv 16574  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-unif 16582  df-0g 16709  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-mhm 17950  df-grp 18100  df-minusg 18101  df-sbg 18102  df-mulg 18219  df-subg 18270  df-ghm 18350  df-od 18650  df-cmn 18902  df-mgp 19234  df-ur 19246  df-ring 19293  df-cring 19294  df-oppr 19367  df-dvdsr 19385  df-unit 19386  df-invr 19416  df-dvr 19427  df-rnghom 19461  df-drng 19498  df-subrg 19527  df-cnfld 20540  df-zring 20612  df-zrh 20645  df-chr 20647

This theorem is referenced by:  qqhval2  31218  qqhvq  31223