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Theorem qqhval2lem 32949
Description: Lemma for qqhval2 32950. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
qqhval2.1 / = (/rβ€˜π‘…)
qqhval2.2 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
qqhval2lem (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜π‘‹) / (πΏβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem qqhval2lem
StepHypRef Expression
1 drngring 20314 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 qqhval2.2 . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
32zrhrhm 21052 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
54ad2antrr 724 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
6 simpr1 1194 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
7 simpr2 1195 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
86, 7gcdcld 16445 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„•0)
98nn0zd 12580 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€)
10 simpr3 1196 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ π‘Œ β‰  0)
11 gcdeq0 16454 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∧ π‘Œ = 0)))
1211simplbda 500 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) = 0) β†’ π‘Œ = 0)
1312ex 413 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) = 0 β†’ π‘Œ = 0))
1413necon3d 2961 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (π‘Œ β‰  0 β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0))
1514imp 407 . . . . 5 (((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0)
166, 7, 10, 15syl21anc 836 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0)
17 gcddvds 16440 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ π‘Œ))
186, 7, 17syl2anc 584 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ π‘Œ))
1918simpld 495 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ 𝑋)
20 dvdsval2 16196 . . . . 5 (((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0 ∧ 𝑋 ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ 𝑋 ↔ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€))
2120biimpa 477 . . . 4 ((((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0 ∧ 𝑋 ∈ β„€) ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ 𝑋) β†’ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
229, 16, 6, 19, 21syl31anc 1373 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
2318simprd 496 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ π‘Œ)
24 dvdsval2 16196 . . . . 5 (((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ π‘Œ ↔ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€))
2524biimpa 477 . . . 4 ((((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ π‘Œ) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
269, 16, 7, 23, 25syl31anc 1373 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
27 zringbas 21015 . . . . . . 7 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
28 qqhval2.0 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2927, 28rhmf 20255 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
305, 29syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
3130, 26ffvelcdmd 7084 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ 𝐡)
3230ffnd 6715 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝐿 Fn β„€)
337zcnd 12663 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
349zcnd 12663 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„‚)
3533, 34, 10, 16divne0d 12002 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  0)
36 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ V
3736elsn 4642 . . . . . . . 8 ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {0} ↔ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) = 0)
3837necon3bbii 2988 . . . . . . 7 (Β¬ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {0} ↔ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  0)
3935, 38sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ Β¬ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {0})
401ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
41 simplr 767 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (chrβ€˜π‘…) = 0)
42 eqid 2732 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
4328, 2, 42zrhker 32945 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ↔ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {0}))
4443biimpa 477 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {0})
4540, 41, 44syl2anc 584 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {0})
4639, 45neleqtrrd 2856 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ Β¬ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}))
47 elpreima 7056 . . . . . . . . 9 (𝐿 Fn β„€ β†’ ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})))
4847baibd 540 . . . . . . . 8 ((𝐿 Fn β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€) β†’ ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)}))
4948biimprd 247 . . . . . . 7 ((𝐿 Fn β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})))
5049con3dimp 409 . . . . . 6 (((𝐿 Fn β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€) ∧ Β¬ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ Β¬ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})
51 fvex 6901 . . . . . . . 8 (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ V
5251elsn 4642 . . . . . . 7 ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} ↔ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) = (0gβ€˜π‘…))
5352necon3bbii 2988 . . . . . 6 (Β¬ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} ↔ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
5450, 53sylib 217 . . . . 5 (((𝐿 Fn β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€) ∧ Β¬ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
5532, 26, 46, 54syl21anc 836 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
56 eqid 2732 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
5728, 56, 42drngunit 20312 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ 𝐡 ∧ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
5857ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ 𝐡 ∧ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
5931, 55, 58mpbir2and 711 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
6030, 9ffvelcdmd 7084 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ 𝐡)
61 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ V
6261elsn 4642 . . . . . . . 8 ((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd π‘Œ) = 0)
6362necon3bbii 2988 . . . . . . 7 (Β¬ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0)
6416, 63sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ Β¬ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ {0})
6564, 45neleqtrrd 2856 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ Β¬ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}))
66 elpreima 7056 . . . . . . . . 9 (𝐿 Fn β„€ β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ ((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})))
6766baibd 540 . . . . . . . 8 ((𝐿 Fn β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)}))
6867biimprd 247 . . . . . . 7 ((𝐿 Fn β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})))
6968con3dimp 409 . . . . . 6 (((𝐿 Fn β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ Β¬ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})
70 fvex 6901 . . . . . . . 8 (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ V
7170elsn 4642 . . . . . . 7 ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} ↔ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘…))
7271necon3bbii 2988 . . . . . 6 (Β¬ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} ↔ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
7369, 72sylib 217 . . . . 5 (((𝐿 Fn β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
7432, 9, 65, 73syl21anc 836 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
7528, 56, 42drngunit 20312 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
7675ad2antrr 724 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
7760, 74, 76mpbir2and 711 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
78 qqhval2.1 . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
79 zringmulr 21018 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
8056, 27, 78, 79rhmdvd 32424 . . 3 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€) ∧ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ)))))
815, 22, 26, 9, 59, 77, 80syl132anc 1388 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ)))))
82 divnumden 16680 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∧ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))))
836, 82sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∧ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))))
8483simpld 495 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)))
8584eqcomd 2738 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) = (numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))
8685fveq2d 6892 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))))
8783simprd 496 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))
8887eqcomd 2738 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) = (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))
8988fveq2d 6892 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ))))
9086, 89oveq12d 7423 . . 3 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))))
9122adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
9291zcnd 12663 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„‚)
9392mulm1d 11662 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (-1 Β· (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) = -(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)))
94 neg1cn 12322 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
9594a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -1 ∈ β„‚)
9695, 92mulcomd 11231 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (-1 Β· (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) = ((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))
9793, 96eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) = ((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))
9897fveq2d 6892 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜-(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1)))
9926adantr 481 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
10099zcnd 12663 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„‚)
101100mulm1d 11662 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (-1 Β· (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) = -(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))
10295, 100mulcomd 11231 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (-1 Β· (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) = ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))
103101, 102eqtr3d 2774 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) = ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))
104103fveq2d 6892 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜-(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1)))
10598, 104oveq12d 7423 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜-(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜-(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1)) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))))
1066adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
1077adantr 481 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
108 simpr 485 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -π‘Œ ∈ β„•)
109 divnumden2 32011 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∧ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))))
110106, 107, 108, 109syl3anc 1371 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∧ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))))
111110simpld 495 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)))
112111fveq2d 6892 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) = (πΏβ€˜-(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))))
113110simprd 496 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))
114113fveq2d 6892 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) = (πΏβ€˜-(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))))
115112, 114oveq12d 7423 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜-(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜-(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))))
1165adantr 481 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
117 1zzd 12589 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
118117znegcld 12664 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -1 ∈ β„€)
11959adantr 481 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
120 neg1z 12594 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„€
121 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
122121absnegi 15343 . . . . . . . . 9 (absβ€˜-1) = (absβ€˜1)
123 abs1 15240 . . . . . . . . 9 (absβ€˜1) = 1
124122, 123eqtri 2760 . . . . . . . 8 (absβ€˜-1) = 1
125 zringunit 21027 . . . . . . . 8 (-1 ∈ (Unitβ€˜β„€ring) ↔ (-1 ∈ β„€ ∧ (absβ€˜-1) = 1))
126120, 124, 125mpbir2an 709 . . . . . . 7 -1 ∈ (Unitβ€˜β„€ring)
127126a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -1 ∈ (Unitβ€˜β„€ring))
128 elrhmunit 20281 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) ∧ -1 ∈ (Unitβ€˜β„€ring)) β†’ (πΏβ€˜-1) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
129116, 127, 128syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜-1) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
13056, 27, 78, 79rhmdvd 32424 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) ∧ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (πΏβ€˜-1) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1)) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))))
131116, 91, 99, 118, 119, 129, 130syl132anc 1388 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1)) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))))
132105, 115, 1313eqtr4rd 2783 . . 3 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))))
133 simp3 1138 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ π‘Œ β‰  0)
134133neneqd 2945 . . . . 5 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ Β¬ π‘Œ = 0)
135 simp2 1137 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
136 elz 12556 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ β„€ ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ (π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)))
137135, 136sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ (π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)))
138137simprd 496 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•))
139 3orass 1090 . . . . . 6 ((π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•) ↔ (π‘Œ = 0 ∨ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)))
140138, 139sylib 217 . . . . 5 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (π‘Œ = 0 ∨ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)))
141 orel1 887 . . . . 5 (Β¬ π‘Œ = 0 β†’ ((π‘Œ = 0 ∨ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)) β†’ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)))
142134, 140, 141sylc 65 . . . 4 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•))
143142adantl 482 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•))
14490, 132, 143mpjaodan 957 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))))
1456zcnd 12663 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
146145, 34, 16divcan1d 11987 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ)) = 𝑋)
147146fveq2d 6892 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜π‘‹))
14833, 34, 16divcan1d 11987 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ)) = π‘Œ)
149148fveq2d 6892 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜π‘Œ))
150147, 149oveq12d 7423 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜π‘‹) / (πΏβ€˜π‘Œ)))
15181, 144, 1503eqtr3d 2780 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜π‘‹) / (πΏβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   ∨ w3o 1086   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  {csn 4627   class class class wbr 5147  β—‘ccnv 5674   β€œ cima 5678   Fn wfn 6535  βŸΆwf 6536  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  β„‚cc 11104  β„cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   Β· cmul 11111  -cneg 11441   / cdiv 11867  β„•cn 12208  β„€cz 12554  abscabs 15177   βˆ₯ cdvds 16193   gcd cgcd 16431  numercnumer 16665  denomcdenom 16666  Basecbs 17140  0gc0g 17381  Ringcrg 20049  Unitcui 20161  /rcdvr 20206   RingHom crh 20240  DivRingcdr 20307  β„€ringczring 21009  β„€RHomczrh 21040  chrcchr 21042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-tpos 8207  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-sup 9433  df-inf 9434  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-fz 13481  df-fl 13753  df-mod 13831  df-seq 13963  df-exp 14024  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-dvds 16194  df-gcd 16432  df-numer 16667  df-denom 16668  df-gz 16859  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-mhm 18667  df-grp 18818  df-minusg 18819  df-sbg 18820  df-mulg 18945  df-subg 18997  df-ghm 19084  df-od 19390  df-cmn 19644  df-mgp 19982  df-ur 19999  df-ring 20051  df-cring 20052  df-oppr 20142  df-dvdsr 20163  df-unit 20164  df-invr 20194  df-dvr 20207  df-rnghom 20243  df-drng 20309  df-subrg 20353  df-cnfld 20937  df-zring 21010  df-zrh 21044  df-chr 21046
This theorem is referenced by:  qqhval2  32950  qqhvq  32955
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