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Theorem qqhval2lem 33491
Description: Lemma for qqhval2 33492. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
qqhval2.1 / = (/rβ€˜π‘…)
qqhval2.2 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
qqhval2lem (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜π‘‹) / (πΏβ€˜π‘Œ)))
Proof of Theorem qqhval2lem
StepHypRef Expression
1 drngring 20594 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝑅 ∈ Ring)
2 qqhval2.2 . . . . . 6 𝐿 = (β„€RHomβ€˜π‘…)
32zrhrhm 21398 . . . . 5 (𝑅 ∈ Ring β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
41, 3syl 17 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
54ad2antrr 723 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
6 simpr1 1191 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
7 simpr2 1192 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
86, 7gcdcld 16456 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„•0)
98nn0zd 12588 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€)
10 simpr3 1193 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ π‘Œ β‰  0)
11 gcdeq0 16465 . . . . . . . . 9 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∧ π‘Œ = 0)))
1211simplbda 499 . . . . . . . 8 (((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) = 0) β†’ π‘Œ = 0)
1312ex 412 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) = 0 β†’ π‘Œ = 0))
1413necon3d 2955 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ (π‘Œ β‰  0 β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0))
1514imp 406 . . . . 5 (((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0)
166, 7, 10, 15syl21anc 835 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0)
17 gcddvds 16451 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ π‘Œ))
186, 7, 17syl2anc 583 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ π‘Œ))
1918simpld 494 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ 𝑋)
20 dvdsval2 16207 . . . . 5 (((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0 ∧ 𝑋 ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ 𝑋 ↔ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€))
2120biimpa 476 . . . 4 ((((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0 ∧ 𝑋 ∈ β„€) ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ 𝑋) β†’ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
229, 16, 6, 19, 21syl31anc 1370 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
2318simprd 495 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ π‘Œ)
24 dvdsval2 16207 . . . . 5 (((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ π‘Œ ↔ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€))
2524biimpa 476 . . . 4 ((((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0 ∧ π‘Œ ∈ β„€) ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) βˆ₯ π‘Œ) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
269, 16, 7, 23, 25syl31anc 1370 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
27 zringbas 21340 . . . . . . 7 β„€ = (Baseβ€˜β„€ring)
28 qqhval2.0 . . . . . . 7 𝐡 = (Baseβ€˜π‘…)
2927, 28rhmf 20387 . . . . . 6 (𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
305, 29syl 17 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝐿:β„€βŸΆπ΅)
3130, 26ffvelcdmd 7081 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ 𝐡)
3230ffnd 6712 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝐿 Fn β„€)
337zcnd 12671 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
349zcnd 12671 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„‚)
3533, 34, 10, 16divne0d 12010 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  0)
36 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ V
3736elsn 4638 . . . . . . . 8 ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {0} ↔ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) = 0)
3837necon3bbii 2982 . . . . . . 7 (Β¬ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {0} ↔ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  0)
3935, 38sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ Β¬ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {0})
401ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝑅 ∈ Ring)
41 simplr 766 . . . . . . 7 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (chrβ€˜π‘…) = 0)
42 eqid 2726 . . . . . . . . 9 (0gβ€˜π‘…) = (0gβ€˜π‘…)
4328, 2, 42zrhker 33487 . . . . . . . 8 (𝑅 ∈ Ring β†’ ((chrβ€˜π‘…) = 0 ↔ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {0}))
4443biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) β†’ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {0})
4540, 41, 44syl2anc 583 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) = {0})
4639, 45neleqtrrd 2850 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ Β¬ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}))
47 elpreima 7053 . . . . . . . . 9 (𝐿 Fn β„€ β†’ ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})))
4847baibd 539 . . . . . . . 8 ((𝐿 Fn β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€) β†’ ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)}))
4948biimprd 247 . . . . . . 7 ((𝐿 Fn β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})))
5049con3dimp 408 . . . . . 6 (((𝐿 Fn β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€) ∧ Β¬ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ Β¬ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})
51 fvex 6898 . . . . . . . 8 (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ V
5251elsn 4638 . . . . . . 7 ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} ↔ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) = (0gβ€˜π‘…))
5352necon3bbii 2982 . . . . . 6 (Β¬ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} ↔ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
5450, 53sylib 217 . . . . 5 (((𝐿 Fn β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€) ∧ Β¬ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
5532, 26, 46, 54syl21anc 835 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))
56 eqid 2726 . . . . . 6 (Unitβ€˜π‘…) = (Unitβ€˜π‘…)
5728, 56, 42drngunit 20592 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ 𝐡 ∧ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
5857ad2antrr 723 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ 𝐡 ∧ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
5931, 55, 58mpbir2and 710 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
6030, 9ffvelcdmd 7081 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ 𝐡)
61 ovex 7438 . . . . . . . . 9 (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ V
6261elsn 4638 . . . . . . . 8 ((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd π‘Œ) = 0)
6362necon3bbii 2982 . . . . . . 7 (Β¬ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd π‘Œ) β‰  0)
6416, 63sylibr 233 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ Β¬ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ {0})
6564, 45neleqtrrd 2850 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ Β¬ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}))
66 elpreima 7053 . . . . . . . . 9 (𝐿 Fn β„€ β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ ((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€ ∧ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})))
6766baibd 539 . . . . . . . 8 ((𝐿 Fn β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€) β†’ ((𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)}) ↔ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)}))
6867biimprd 247 . . . . . . 7 ((𝐿 Fn β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} β†’ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})))
6968con3dimp 408 . . . . . 6 (((𝐿 Fn β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ Β¬ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)})
70 fvex 6898 . . . . . . . 8 (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ V
7170elsn 4638 . . . . . . 7 ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} ↔ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) = (0gβ€˜π‘…))
7271necon3bbii 2982 . . . . . 6 (Β¬ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ {(0gβ€˜π‘…)} ↔ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
7369, 72sylib 217 . . . . 5 (((𝐿 Fn β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€) ∧ Β¬ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ (◑𝐿 β€œ {(0gβ€˜π‘…)})) β†’ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
7432, 9, 65, 73syl21anc 835 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))
7528, 56, 42drngunit 20592 . . . . 5 (𝑅 ∈ DivRing β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
7675ad2antrr 723 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ↔ ((πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ 𝐡 ∧ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) β‰  (0gβ€˜π‘…))))
7760, 74, 76mpbir2and 710 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
78 qqhval2.1 . . . 4 / = (/rβ€˜π‘…)
79 zringmulr 21344 . . . 4 Β· = (.rβ€˜β„€ring)
8056, 27, 78, 79rhmdvd 32939 . . 3 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ (𝑋 gcd π‘Œ) ∈ β„€) ∧ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (πΏβ€˜(𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ)))))
815, 22, 26, 9, 59, 77, 80syl132anc 1385 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ)))))
82 divnumden 16693 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∧ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))))
836, 82sylan 579 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∧ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))))
8483simpld 494 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)))
8584eqcomd 2732 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) = (numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))
8685fveq2d 6889 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))))
8783simprd 495 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))
8887eqcomd 2732 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) = (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))
8988fveq2d 6889 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ))))
9086, 89oveq12d 7423 . . 3 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))))
9122adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
9291zcnd 12671 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„‚)
9392mulm1d 11670 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (-1 Β· (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) = -(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)))
94 neg1cn 12330 . . . . . . . . 9 -1 ∈ β„‚
9594a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -1 ∈ β„‚)
9695, 92mulcomd 11239 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (-1 Β· (𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) = ((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))
9793, 96eqtr3d 2768 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) = ((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))
9897fveq2d 6889 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜-(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1)))
9926adantr 480 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€)
10099zcnd 12671 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„‚)
101100mulm1d 11670 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (-1 Β· (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) = -(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))
10295, 100mulcomd 11239 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (-1 Β· (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) = ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))
103101, 102eqtr3d 2768 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) = ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))
104103fveq2d 6889 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜-(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1)))
10598, 104oveq12d 7423 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜-(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜-(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1)) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))))
1066adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ 𝑋 ∈ β„€)
1077adantr 480 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
108 simpr 484 . . . . . . . 8 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -π‘Œ ∈ β„•)
109 divnumden2 32529 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∧ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))))
110106, 107, 108, 109syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∧ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))))
111110simpld 494 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)))
112111fveq2d 6889 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) = (πΏβ€˜-(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))))
113110simprd 495 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)) = -(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))
114113fveq2d 6889 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) = (πΏβ€˜-(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))))
115112, 114oveq12d 7423 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜-(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜-(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))))
1165adantr 480 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ 𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅))
117 1zzd 12597 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ 1 ∈ β„€)
118117znegcld 12672 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -1 ∈ β„€)
11959adantr 480 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
120 neg1z 12602 . . . . . . . 8 -1 ∈ β„€
121 ax-1cn 11170 . . . . . . . . . 10 1 ∈ β„‚
122121absnegi 15353 . . . . . . . . 9 (absβ€˜-1) = (absβ€˜1)
123 abs1 15250 . . . . . . . . 9 (absβ€˜1) = 1
124122, 123eqtri 2754 . . . . . . . 8 (absβ€˜-1) = 1
125 zringunit 21353 . . . . . . . 8 (-1 ∈ (Unitβ€˜β„€ring) ↔ (-1 ∈ β„€ ∧ (absβ€˜-1) = 1))
126120, 124, 125mpbir2an 708 . . . . . . 7 -1 ∈ (Unitβ€˜β„€ring)
127126a1i 11 . . . . . 6 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ -1 ∈ (Unitβ€˜β„€ring))
128 elrhmunit 20412 . . . . . 6 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) ∧ -1 ∈ (Unitβ€˜β„€ring)) β†’ (πΏβ€˜-1) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
129116, 127, 128syl2anc 583 . . . . 5 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ (πΏβ€˜-1) ∈ (Unitβ€˜π‘…))
13056, 27, 78, 79rhmdvd 32939 . . . . 5 ((𝐿 ∈ (β„€ring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ (π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) ∈ β„€ ∧ -1 ∈ β„€) ∧ ((πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ))) ∈ (Unitβ€˜π‘…) ∧ (πΏβ€˜-1) ∈ (Unitβ€˜π‘…))) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1)) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))))
131116, 91, 99, 118, 119, 129, 130syl132anc 1385 . . . 4 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1)) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· -1))))
132105, 115, 1313eqtr4rd 2777 . . 3 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) ∧ -π‘Œ ∈ β„•) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))))
133 simp3 1135 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ π‘Œ β‰  0)
134133neneqd 2939 . . . . 5 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ Β¬ π‘Œ = 0)
135 simp2 1134 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ π‘Œ ∈ β„€)
136 elz 12564 . . . . . . . 8 (π‘Œ ∈ β„€ ↔ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ (π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)))
137135, 136sylib 217 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (π‘Œ ∈ ℝ ∧ (π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)))
138137simprd 495 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•))
139 3orass 1087 . . . . . 6 ((π‘Œ = 0 ∨ π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•) ↔ (π‘Œ = 0 ∨ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)))
140138, 139sylib 217 . . . . 5 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (π‘Œ = 0 ∨ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)))
141 orel1 885 . . . . 5 (Β¬ π‘Œ = 0 β†’ ((π‘Œ = 0 ∨ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)) β†’ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•)))
142134, 140, 141sylc 65 . . . 4 ((𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0) β†’ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•))
143142adantl 481 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (π‘Œ ∈ β„• ∨ -π‘Œ ∈ β„•))
14490, 132, 143mpjaodan 955 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜(π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))))
1456zcnd 12671 . . . . 5 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
146145, 34, 16divcan1d 11995 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ)) = 𝑋)
147146fveq2d 6889 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜π‘‹))
14833, 34, 16divcan1d 11995 . . . 4 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ)) = π‘Œ)
149148fveq2d 6889 . . 3 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ))) = (πΏβ€˜π‘Œ))
150147, 149oveq12d 7423 . 2 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜((𝑋 / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ))) / (πΏβ€˜((π‘Œ / (𝑋 gcd π‘Œ)) Β· (𝑋 gcd π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜π‘‹) / (πΏβ€˜π‘Œ)))
15181, 144, 1503eqtr3d 2774 1 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chrβ€˜π‘…) = 0) ∧ (𝑋 ∈ β„€ ∧ π‘Œ ∈ β„€ ∧ π‘Œ β‰  0)) β†’ ((πΏβ€˜(numerβ€˜(𝑋 / π‘Œ))) / (πΏβ€˜(denomβ€˜(𝑋 / π‘Œ)))) = ((πΏβ€˜π‘‹) / (πΏβ€˜π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∨ w3o 1083   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934  {csn 4623   class class class wbr 5141  β—‘ccnv 5668   β€œ cima 5672   Fn wfn 6532  βŸΆwf 6533  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  β„‚cc 11110  β„cr 11111  0cc0 11112  1c1 11113   Β· cmul 11117  -cneg 11449   / cdiv 11875  β„•cn 12216  β„€cz 12562  abscabs 15187   βˆ₯ cdvds 16204   gcd cgcd 16442  numercnumer 16678  denomcdenom 16679  Basecbs 17153  0gc0g 17394  Ringcrg 20138  Unitcui 20257  /rcdvr 20302   RingHom crh 20371  DivRingcdr 20587  β„€ringczring 21333  β„€RHomczrh 21386  chrcchr 21388
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-pre-sup 11190  ax-addf 11191  ax-mulf 11192
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-tpos 8212  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9439  df-inf 9440  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-div 11876  df-nn 12217  df-2 12279  df-3 12280  df-4 12281  df-5 12282  df-6 12283  df-7 12284  df-8 12285  df-9 12286  df-n0 12477  df-z 12563  df-dec 12682  df-uz 12827  df-q 12937  df-rp 12981  df-fz 13491  df-fl 13763  df-mod 13841  df-seq 13973  df-exp 14033  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-dvds 16205  df-gcd 16443  df-numer 16680  df-denom 16681  df-gz 16872  df-struct 17089  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-ress 17183  df-plusg 17219  df-mulr 17220  df-starv 17221  df-tset 17225  df-ple 17226  df-ds 17228  df-unif 17229  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-mhm 18713  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-sbg 18868  df-mulg 18996  df-subg 19050  df-ghm 19139  df-od 19448  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-cring 20141  df-oppr 20236  df-dvdsr 20259  df-unit 20260  df-invr 20290  df-dvr 20303  df-rhm 20374  df-subrng 20446  df-subrg 20471  df-drng 20589  df-cnfld 21241  df-zring 21334  df-zrh 21390  df-chr 21392
This theorem is referenced by:  qqhval2  33492  qqhvq  33497
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