Theorem qqhval2lem 31643

Description: Lemma for qqhval2 31644. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhval2lem	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))

Proof of Theorem qqhval2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 19774	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		qqhval2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhm 20478	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
4	1, 3	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5	4	ad2antrr 726	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
6		simpr1 1196	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
7		simpr2 1197	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ∈ ℤ)
8	6, 7	gcdcld 16067	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12280	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ)
10		simpr3 1198	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ≠ 0)
11		gcdeq0 16076	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)))
12	11	simplbda 503	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) = 0) → 𝑌 = 0)
13	12	ex 416	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0))
14	13	necon3d 2961	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑌 ≠ 0 → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0))
15	14	imp 410	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
16	6, 7, 10, 15	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
17		gcddvds 16062	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌))
18	6, 7, 17	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌))
19	18	simpld 498	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋)
20		dvdsval2 15818	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ))
21	20	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
22	9, 16, 6, 19, 21	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
23	18	simprd 499	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌)
24		dvdsval2 15818	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌 ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ))
25	24	biimpa 480	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
26	9, 16, 7, 23, 25	syl31anc 1375	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
27		zringbas 20441	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
28		qqhval2.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
29	27, 28	rhmf 19746	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
30	5, 29	syl 17	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
31	30, 26	ffvelrnd 6905	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵)
32	30	ffnd 6546	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿 Fn ℤ)
33	7	zcnd 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
34	9	zcnd 12283	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℂ)
35	33, 34, 10, 16	divne0d 11624	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ≠ 0)
36		ovex 7246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ V
37	36	elsn 4556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0} ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = 0)
38	37	necon3bbii 2988	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0} ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ≠ 0)
39	35, 38	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0})
40	1	ad2antrr 726	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ Ring)
41		simplr 769	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (chr‘𝑅) = 0)
42		eqid 2737	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	28, 2, 42	zrhker 31639	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
44	43	biimpa 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
45	40, 41, 44	syl2anc 587	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
46	39, 45	neleqtrrd 2860	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
47		elpreima 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)})))
48	47	baibd 543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)}))
49	48	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
50	49	con3dimp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)})
51		fvex 6730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ V
52	51	elsn 4556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (0g‘𝑅))
53	52	necon3bbii 2988	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
54	50, 53	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
55	32, 26, 46, 54	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
56		eqid 2737	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
57	28, 56, 42	drngunit 19772	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))))
58	57	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))))
59	31, 55, 58	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅))
60	30, 9	ffvelrnd 6905	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵)
61		ovex 7246	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ V
62	61	elsn 4556	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd 𝑌) = 0)
63	62	necon3bbii 2988	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
64	16, 63	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0})
65	64, 45	neleqtrrd 2860	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
66		elpreima 6878	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
67	66	baibd 543	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)}))
68	67	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
69	68	con3dimp 412	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)})
70		fvex 6730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ V
71	70	elsn 4556	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) = (0g‘𝑅))
72	71	necon3bbii 2988	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
73	69, 72	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
74	32, 9, 65, 73	syl21anc 838	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
75	28, 56, 42	drngunit 19772	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))))
76	75	ad2antrr 726	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))))
77	60, 74, 76	mpbir2and 713	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
78		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
79		zringmulr 20444	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℤring)
80	56, 27, 78, 79	rhmdvd 31239	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))))
81	5, 22, 26, 9, 59, 77, 80	syl132anc 1390	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))))
82		divnumden 16304	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
83	6, 82	sylan 583	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
84	83	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
85	84	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) = (numer‘(𝑋 / 𝑌)))
86	85	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))))
87	83	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
88	87	eqcomd 2743	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = (denom‘(𝑋 / 𝑌)))
89	88	fveq2d 6721	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌))))
90	86, 89	oveq12d 7231	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
91	22	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
92	91	zcnd 12283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℂ)
93	92	mulm1d 11284	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
94		neg1cn 11944	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
96	95, 92	mulcomd 10854	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
97	93, 96	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) = ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
98	97	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)))
99	26	adantr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
100	99	zcnd 12283	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℂ)
101	100	mulm1d 11284	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
102	95, 100	mulcomd 10854	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
103	101, 102	eqtr3d 2779	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
104	103	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)))
105	98, 104	oveq12d 7231	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
106	6	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
107	7	adantr 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℤ)
108		simpr 488	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -𝑌 ∈ ℕ)
109		divnumden2 30852	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
110	106, 107, 108, 109	syl3anc 1373	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
111	110	simpld 498	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
112	111	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) = (𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))))
113	110	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
114	113	fveq2d 6721	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌))) = (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
115	112, 114	oveq12d 7231	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))))
116	5	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
117		1zzd 12208	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
118	117	znegcld 12284	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℤ)
119	59	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅))
120		neg1z 12213	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
121		ax-1cn 10787	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
122	121	absnegi 14964	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
123		abs1 14861	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
124	122, 123	eqtri 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
125		zringunit 20453	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ (abs‘-1) = 1))
126	120, 124, 125	mpbir2an 711	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ (Unit‘ℤring)
127	126	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ (Unit‘ℤring))
128		elrhmunit 31238	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ -1 ∈ (Unit‘ℤring)) → (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))
129	116, 127, 128	syl2anc 587	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))
130	56, 27, 78, 79	rhmdvd 31239	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
131	116, 91, 99, 118, 119, 129, 130	syl132anc 1390	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
132	105, 115, 131	3eqtr4rd 2788	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
133		simp3 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ≠ 0)
134	133	neneqd 2945	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ¬ 𝑌 = 0)
135		simp2 1139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℤ)
136		elz 12178	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
137	135, 136	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
138	137	simprd 499	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
139		3orass 1092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ) ↔ (𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
140	138, 139	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
141		orel1 889	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑌 = 0 → ((𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
142	134, 140, 141	sylc 65	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
143	142	adantl 485	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
144	90, 132, 143	mpjaodan 959	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
145	6	zcnd 12283	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℂ)
146	145, 34, 16	divcan1d 11609	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)) = 𝑋)
147	146	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘𝑋))
148	33, 34, 16	divcan1d 11609	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)) = 𝑌)
149	148	fveq2d 6721	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘𝑌))
150	147, 149	oveq12d 7231	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))
151	81, 144, 150	3eqtr3d 2785	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 847   ∨ w3o 1088   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2940  {csn 4541   class class class wbr 5053  ^◡ccnv 5550   “ cima 5554   Fn wfn 6375  ⟶wf 6376  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℂcc 10727  ℝcr 10728  0cc0 10729  1c1 10730   · cmul 10734  -cneg 11063   / cdiv 11489  ℕcn 11830  ℤcz 12176  abscabs 14797   ∥ cdvds 15815   gcd cgcd 16053  numercnumer 16289  denomcdenom 16290  Basecbs 16760  0_gc0g 16944  Ringcrg 19562  Unitcui 19657  /_rcdvr 19700   RingHom crh 19732  DivRingcdr 19767  ℤ_ringzring 20435  ℤRHomczrh 20466  chrcchr 20468

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807  ax-addf 10808  ax-mulf 10809

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-tpos 7968  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-2 11893  df-3 11894  df-4 11895  df-5 11896  df-6 11897  df-7 11898  df-8 11899  df-9 11900  df-n0 12091  df-z 12177  df-dec 12294  df-uz 12439  df-q 12545  df-rp 12587  df-fz 13096  df-fl 13367  df-mod 13443  df-seq 13575  df-exp 13636  df-cj 14662  df-re 14663  df-im 14664  df-sqrt 14798  df-abs 14799  df-dvds 15816  df-gcd 16054  df-numer 16291  df-denom 16292  df-gz 16483  df-struct 16700  df-sets 16717  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-ress 16785  df-plusg 16815  df-mulr 16816  df-starv 16817  df-tset 16821  df-ple 16822  df-ds 16824  df-unif 16825  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-mhm 18218  df-grp 18368  df-minusg 18369  df-sbg 18370  df-mulg 18489  df-subg 18540  df-ghm 18620  df-od 18920  df-cmn 19172  df-mgp 19505  df-ur 19517  df-ring 19564  df-cring 19565  df-oppr 19641  df-dvdsr 19659  df-unit 19660  df-invr 19690  df-dvr 19701  df-rnghom 19735  df-drng 19769  df-subrg 19798  df-cnfld 20364  df-zring 20436  df-zrh 20470  df-chr 20472

This theorem is referenced by:  qqhval2  31644  qqhvq  31649