Theorem qqhval2lem 34380

Description: Lemma for qqhval2 34381. (Contributed by Thierry Arnoux, 29-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
qqhval2.0	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1	⊢ / = (/r‘𝑅)
qqhval2.2	⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
qqhval2lem	⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))

Proof of Theorem qqhval2lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		drngring 20845	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ Ring)
2		qqhval2.2	. . . . . 6 ⊢ 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
3	2	zrhrhm 21672	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
4	1, 3	syl 18	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
5	4	ad2antrr 738	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
6		simpr1 1212	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℤ)
7		simpr2 1213	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ∈ ℤ)
8	6, 7	gcdcld 16572	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℕ0)
9	8	nn0zd 12622	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ)
10		simpr3 1214	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ≠ 0)
11		gcdeq0 16581	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 0 ↔ (𝑋 = 0 ∧ 𝑌 = 0)))
12	11	simplbda 504	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) = 0) → 𝑌 = 0)
13	12	ex 417	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) = 0 → 𝑌 = 0))
14	13	necon3d 2978	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → (𝑌 ≠ 0 → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0))
15	14	imp 411	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
16	6, 7, 10, 15	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
17		gcddvds 16567	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌))
18	6, 7, 17	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌))
19	18	simpld 499	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋)
20		dvdsval2 16319	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋 ↔ (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ))
21	20	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑋 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑋) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
22	9, 16, 6, 19, 21	syl31anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
23	18	simprd 500	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌)
24		dvdsval2 16319	. . . . 5 ⊢ (((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌 ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ))
25	24	biimpa 481	. . . 4 ⊢ ((((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0 ∧ 𝑌 ∈ ℤ) ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∥ 𝑌) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
26	9, 16, 7, 23, 25	syl31anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
27		zringbas 21614	. . . . . . 7 ⊢ ℤ = (Base‘ℤring)
28		qqhval2.0	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑅)
29	27, 28	rhmf 20574	. . . . . 6 ⊢ (𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
30	5, 29	syl 18	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿:ℤ⟶𝐵)
31	30, 26	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵)
32	30	ffnd 6706	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝐿 Fn ℤ)
33	7	zcnd 12707	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑌 ∈ ℂ)
34	9	zcnd 12707	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℂ)
35	33, 34, 10, 16	divne0d 12013	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ≠ 0)
36		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ V
37	36	elsn 4603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0} ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = 0)
38	37	necon3bbii 3004	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0} ↔ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ≠ 0)
39	35, 38	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {0})
40	1	ad2antrr 738	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑅 ∈ Ring)
41		simplr 780	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (chr‘𝑅) = 0)
42		eqid 2762	. . . . . . . . 9 ⊢ (0g‘𝑅) = (0g‘𝑅)
43	28, 2, 42	zrhker 34374	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((chr‘𝑅) = 0 ↔ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0}))
44	43	biimpa 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
45	40, 41, 44	syl2anc 595	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) = {0})
46	39, 45	neleqtrrd 2885	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
47		elpreima 7053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)})))
48	47	baibd 548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)}))
49	48	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
50	49	con3dimp 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)})
51		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ V
52	51	elsn 4603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (0g‘𝑅))
53	52	necon3bbii 3004	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
54	50, 53	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
55	32, 26, 46, 54	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))
56		eqid 2762	. . . . . 6 ⊢ (Unit‘𝑅) = (Unit‘𝑅)
57	28, 56, 42	drngunit 20843	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))))
58	57	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ≠ (0g‘𝑅))))
59	31, 55, 58	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅))
60	30, 9	ffvelcdmd 7080	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵)
61		ovex 7445	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ V
62	61	elsn 4603	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd 𝑌) = 0)
63	62	necon3bbii 3004	. . . . . . 7 ⊢ (¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0} ↔ (𝑋 gcd 𝑌) ≠ 0)
64	16, 63	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ {0})
65	64, 45	neleqtrrd 2885	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}))
66		elpreima 7053	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐿 Fn ℤ → ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)})))
67	66	baibd 548	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) → ((𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)}) ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)}))
68	67	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} → (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})))
69	68	con3dimp 413	. . . . . 6 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → ¬ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)})
70		fvex 6894	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ V
71	70	elsn 4603	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) = (0g‘𝑅))
72	71	necon3bbii 3004	. . . . . 6 ⊢ (¬ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ {(0g‘𝑅)} ↔ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
73	69, 72	sylib 221	. . . . 5 ⊢ (((𝐿 Fn ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ¬ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ (◡𝐿 “ {(0g‘𝑅)})) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
74	32, 9, 65, 73	syl21anc 850	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))
75	28, 56, 42	drngunit 20843	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ DivRing → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))))
76	75	ad2antrr 738	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅) ↔ ((𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ 𝐵 ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ≠ (0g‘𝑅))))
77	60, 74, 76	mpbir2and 725	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))
78		qqhval2.1	. . . 4 ⊢ / = (/r‘𝑅)
79		zringmulr 21618	. . . 4 ⊢ · = (.r‘ℤring)
80	56, 27, 78, 79	rhmdvd 33653	. . 3 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑋 gcd 𝑌) ∈ ℤ) ∧ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝐿‘(𝑋 gcd 𝑌)) ∈ (Unit‘𝑅))) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))))
81	5, 22, 26, 9, 59, 77, 80	syl132anc 1414	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))))
82		divnumden 16813	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
83	6, 82	sylan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
84	83	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (numer‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
85	84	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) = (numer‘(𝑋 / 𝑌)))
86	85	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))))
87	83	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
88	87	eqcomd 2768	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = (denom‘(𝑋 / 𝑌)))
89	88	fveq2d 6885	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌))))
90	86, 89	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ 𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
91	22	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
92	91	zcnd 12707	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℂ)
93	92	mulm1d 11672	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
94		neg1cn 12209	. . . . . . . . 9 ⊢ -1 ∈ ℂ
95	94	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℂ)
96	95, 92	mulcomd 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
97	93, 96	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) = ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
98	97	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)))
99	26	adantr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ)
100	99	zcnd 12707	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℂ)
101	100	mulm1d 11672	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
102	95, 100	mulcomd 11236	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (-1 · (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
103	101, 102	eqtr3d 2799	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) = ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))
104	103	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)))
105	98, 104	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
106	6	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝑋 ∈ ℤ)
107	7	adantr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝑌 ∈ ℤ)
108		simpr 489	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -𝑌 ∈ ℕ)
109		divnumden2 33171	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
110	106, 107, 108, 109	syl3anc 1397	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∧ (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
111	110	simpld 499	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (numer‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)))
112	111	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) = (𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))))
113	110	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (denom‘(𝑋 / 𝑌)) = -(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))
114	113	fveq2d 6885	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌))) = (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))))
115	112, 114	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘-(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘-(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))))
116	5	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅))
117		1zzd 12631	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → 1 ∈ ℤ)
118	117	znegcld 12708	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ ℤ)
119	59	adantr 485	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅))
120		neg1z 12636	. . . . . . . 8 ⊢ -1 ∈ ℤ
121		ax-1cn 11164	. . . . . . . . . 10 ⊢ 1 ∈ ℂ
122	121	absnegi 15459	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘-1) = (abs‘1)
123		abs1 15355	. . . . . . . . 9 ⊢ (abs‘1) = 1
124	122, 123	eqtri 2785	. . . . . . . 8 ⊢ (abs‘-1) = 1
125		zringunit 21627	. . . . . . . 8 ⊢ (-1 ∈ (Unit‘ℤring) ↔ (-1 ∈ ℤ ∧ (abs‘-1) = 1))
126	120, 124, 125	mpbir2an 723	. . . . . . 7 ⊢ -1 ∈ (Unit‘ℤring)
127	126	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → -1 ∈ (Unit‘ℤring))
128		elrhmunit 20618	. . . . . 6 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ -1 ∈ (Unit‘ℤring)) → (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))
129	116, 127, 128	syl2anc 595	. . . . 5 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))
130	56, 27, 78, 79	rhmdvd 33653	. . . . 5 ⊢ ((𝐿 ∈ (ℤring RingHom 𝑅) ∧ ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ (𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) ∈ ℤ ∧ -1 ∈ ℤ) ∧ ((𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌))) ∈ (Unit‘𝑅) ∧ (𝐿‘-1) ∈ (Unit‘𝑅))) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
131	116, 91, 99, 118, 119, 129, 130	syl132anc 1414	. . . 4 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1)) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · -1))))
132	105, 115, 131	3eqtr4rd 2808	. . 3 ⊢ ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) ∧ -𝑌 ∈ ℕ) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
133		simp3 1155	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ≠ 0)
134	133	neneqd 2962	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → ¬ 𝑌 = 0)
135		simp2 1154	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → 𝑌 ∈ ℤ)
136		elz 12599	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑌 ∈ ℤ ↔ (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
137	135, 136	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 ∈ ℝ ∧ (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
138	137	simprd 500	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
139		3orass 1105	. . . . . 6 ⊢ ((𝑌 = 0 ∨ 𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ) ↔ (𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
140	138, 139	sylib 221	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
141		orel1 901	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑌 = 0 → ((𝑌 = 0 ∨ (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ)))
142	134, 140, 141	sylc 66	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
143	142	adantl 486	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝑌 ∈ ℕ ∨ -𝑌 ∈ ℕ))
144	90, 132, 143	mpjaodan 972	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘(𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))))
145	6	zcnd 12707	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → 𝑋 ∈ ℂ)
146	145, 34, 16	divcan1d 11998	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)) = 𝑋)
147	146	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘𝑋))
148	33, 34, 16	divcan1d 11998	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)) = 𝑌)
149	148	fveq2d 6885	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) = (𝐿‘𝑌))
150	147, 149	oveq12d 7430	. 2 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘((𝑋 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌))) / (𝐿‘((𝑌 / (𝑋 gcd 𝑌)) · (𝑋 gcd 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))
151	81, 144, 150	3eqtr3d 2805	1 ⊢ (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑋 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ∈ ℤ ∧ 𝑌 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑋 / 𝑌))) / (𝐿‘(denom‘(𝑋 / 𝑌)))) = ((𝐿‘𝑋) / (𝐿‘𝑌)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∨ w3o 1101   ∧ w3a 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957  {csn 4588   class class class wbr 5108  ^◡ccnv 5659   “ cima 5663   Fn wfn 6531  ⟶wf 6532  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  ℂcc 11104  ℝcr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111  -cneg 11448   / cdiv 11877  ℕcn 12239  ℤcz 12597  abscabs 15292   ∥ cdvds 16316   gcd cgcd 16558  numercnumer 16798  denomcdenom 16799  Basecbs 17275  0_gc0g 17498  Ringcrg 20321  Unitcui 20444  /_rcdvr 20489   RingHom crh 20558  DivRingcdr 20838  ℤ_ringczring 21607  ℤRHomczrh 21660  chrcchr 21662

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-1st 7984  df-2nd 7985  df-tpos 8220  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-1o 8451  df-er 8692  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-sup 9400  df-inf 9401  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-div 11878  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-9 12316  df-n0 12511  df-z 12598  df-dec 12718  df-uz 12869  df-q 12979  df-rp 13023  df-fz 13542  df-fl 13832  df-mod 13910  df-seq 14045  df-exp 14105  df-cj 15157  df-re 15158  df-im 15159  df-sqrt 15293  df-abs 15294  df-dvds 16317  df-gcd 16559  df-numer 16800  df-denom 16801  df-gz 16996  df-struct 17213  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-ress 17297  df-plusg 17329  df-mulr 17330  df-starv 17331  df-tset 17335  df-ple 17336  df-ds 17338  df-unif 17339  df-0g 17500  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799  df-mhm 18847  df-grp 19009  df-minusg 19010  df-sbg 19011  df-mulg 19140  df-subg 19195  df-ghm 19290  df-od 19604  df-cmn 19858  df-abl 19859  df-mgp 20223  df-rng 20237  df-ur 20270  df-ring 20323  df-cring 20324  df-oppr 20426  df-dvdsr 20446  df-unit 20447  df-invr 20477  df-dvr 20490  df-rhm 20561  df-subrng 20656  df-subrg 20680  df-drng 20840  df-cnfld 21534  df-zring 21608  df-zrh 21664  df-chr 21666

This theorem is used by:  qqhval2  34381  qqhvq  34386