Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhval2 31919
Description: Value of the canonical homormorphism from the rational number when the target ring is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqhval2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
Distinct variable groups:   / ,𝑞   𝐵,𝑞   𝐿,𝑞   𝑅,𝑞

Proof of Theorem qqhval2
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3449 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ V)
21adantr 481 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ V)
3 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
4 eqid 2738 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
63, 4, 5qqhval 31911 . . 3 (𝑅 ∈ V → (ℚHom‘𝑅) = ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
72, 6syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
8 eqidd 2739 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ℤ = ℤ)
9 qqhval2.0 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 eqid 2738 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
119, 5, 10zrhunitpreima 31915 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
12 mpoeq12 7340 . . . 4 ((ℤ = ℤ ∧ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
138, 11, 12syl2anc 584 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
1413rneqd 5842 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
15 nfv 1917 . . . 4 𝑒(𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0)
16 nfab1 2909 . . . 4 𝑒{𝑒 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩}
17 nfcv 2907 . . . 4 𝑒{⟨𝑞, 𝑠⟩ ∣ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))}
18 simpr 485 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
19 zssq 12685 . . . . . . . . . . . 12 ℤ ⊆ ℚ
20 simplrl 774 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑥 ∈ ℤ)
2119, 20sselid 3920 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑥 ∈ ℚ)
22 simplrr 775 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))
2322eldifad 3900 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑦 ∈ ℤ)
2419, 23sselid 3920 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑦 ∈ ℚ)
2522eldifbd 3901 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → ¬ 𝑦 ∈ {0})
26 velsn 4579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {0} ↔ 𝑦 = 0)
2726necon3bbii 2991 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ {0} ↔ 𝑦 ≠ 0)
2825, 27sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑦 ≠ 0)
29 qdivcl 12699 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
3021, 24, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
31 simplll 772 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑅 ∈ DivRing)
32 simpllr 773 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → (chr‘𝑅) = 0)
339, 3, 5qqhval2lem 31918 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))) = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)))
3433eqcomd 2744 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))))
3531, 32, 20, 23, 28, 34syl23anc 1376 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))))
36 ovex 7302 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 / 𝑦) ∈ V
37 ovex 7302 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) ∈ V
38 opeq12 4808 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → ⟨𝑞, 𝑠⟩ = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
3938eqeq2d 2749 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ↔ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
40 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → 𝑞 = (𝑥 / 𝑦))
4140eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (𝑞 ∈ ℚ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
42 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)))
4340fveq2d 6772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (numer‘𝑞) = (numer‘(𝑥 / 𝑦)))
4443fveq2d 6772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) = (𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))))
4540fveq2d 6772 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (denom‘𝑞) = (denom‘(𝑥 / 𝑦)))
4645fveq2d 6772 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦))))
4744, 46oveq12d 7287 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))))
4842, 47eqeq12d 2754 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ↔ ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦))))))
4941, 48anbi12d 631 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))))))
5039, 49anbi12d 631 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → ((𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))) ↔ (𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ ∧ ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦))))))))
5136, 37, 50spc2ev 3545 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ ∧ ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))))) → ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))))
5218, 30, 35, 51syl12anc 834 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))))
5352ex 413 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) → (𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ → ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))))
5453rexlimdvva 3222 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ → ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))))
5554imp 407 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))))
56 19.42vv 1961 . . . . . . 7 (∃𝑞𝑠((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))))
57 simprrl 778 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → 𝑞 ∈ ℚ)
58 qnumcl 16433 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
60 qdencl 16434 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
6261nnzd 12414 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
63 nnne0 11996 . . . . . . . . . . 11 ((denom‘𝑞) ∈ ℕ → (denom‘𝑞) ≠ 0)
64 nelsn 4603 . . . . . . . . . . 11 ((denom‘𝑞) ≠ 0 → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
6561, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
6662, 65eldifd 3899 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → (denom‘𝑞) ∈ (ℤ ∖ {0}))
67 simprl 768 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → 𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩)
68 qeqnumdivden 16439 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
6957, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → 𝑞 = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
70 simprrr 779 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))
7169, 70opeq12d 4814 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → ⟨𝑞, 𝑠⟩ = ⟨((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))⟩)
7267, 71eqtrd 2778 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → 𝑒 = ⟨((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))⟩)
73 oveq1 7276 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (numer‘𝑞) → (𝑥 / 𝑦) = ((numer‘𝑞) / 𝑦))
74 fveq2 6768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (numer‘𝑞) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(numer‘𝑞)))
7574oveq1d 7284 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (numer‘𝑞) → ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦)))
7673, 75opeq12d 4814 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (numer‘𝑞) → ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ = ⟨((numer‘𝑞) / 𝑦), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦))⟩)
7776eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (numer‘𝑞) → (𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ ↔ 𝑒 = ⟨((numer‘𝑞) / 𝑦), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦))⟩))
78 oveq2 7277 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (denom‘𝑞) → ((numer‘𝑞) / 𝑦) = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
79 fveq2 6768 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (denom‘𝑞) → (𝐿𝑦) = (𝐿‘(denom‘𝑞)))
8079oveq2d 7285 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (denom‘𝑞) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))
8178, 80opeq12d 4814 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (denom‘𝑞) → ⟨((numer‘𝑞) / 𝑦), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦))⟩ = ⟨((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))⟩)
8281eqeq2d 2749 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (denom‘𝑞) → (𝑒 = ⟨((numer‘𝑞) / 𝑦), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦))⟩ ↔ 𝑒 = ⟨((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))⟩))
8377, 82rspc2ev 3573 . . . . . . . . 9 (((numer‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑞) ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑒 = ⟨((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))⟩) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
8459, 66, 72, 83syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
8584exlimivv 1935 . . . . . . 7 (∃𝑞𝑠((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
8656, 85sylbir 234 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
8755, 86impbida 798 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ ↔ ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))))
88 abid 2719 . . . . 5 (𝑒 ∈ {𝑒 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩} ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
89 elopab 5439 . . . . 5 (𝑒 ∈ {⟨𝑞, 𝑠⟩ ∣ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))} ↔ ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))))
9087, 88, 893bitr4g 314 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝑒 ∈ {𝑒 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩} ↔ 𝑒 ∈ {⟨𝑞, 𝑠⟩ ∣ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))}))
9115, 16, 17, 90eqrd 3941 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → {𝑒 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩} = {⟨𝑞, 𝑠⟩ ∣ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))})
92 eqid 2738 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
9392rnmpo 7399 . . 3 ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = {𝑒 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩}
94 df-mpt 5159 . . 3 (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))) = {⟨𝑞, 𝑠⟩ ∣ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))}
9591, 93, 943eqtr4g 2803 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
967, 14, 953eqtrd 2782 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wex 1782  wcel 2106  {cab 2715  wne 2943  wrex 3065  Vcvv 3431  cdif 3885  {csn 4563  cop 4569  {copab 5137  cmpt 5158  ccnv 5585  ran crn 5587  cima 5589  cfv 6428  (class class class)co 7269  cmpo 7271  0cc0 10860   / cdiv 11621  cn 11962  cz 12308  cq 12677  numercnumer 16426  denomcdenom 16427  Basecbs 16901  0gc0g 17139  1rcur 19726  Unitcui 19870  /rcdvr 19913  DivRingcdr 19980  ℤRHomczrh 20690  chrcchr 20692  ℚHomcqqh 31909
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5210  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-cnex 10916  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-icn 10919  ax-addcl 10920  ax-addrcl 10921  ax-mulcl 10922  ax-mulrcl 10923  ax-mulcom 10924  ax-addass 10925  ax-mulass 10926  ax-distr 10927  ax-i2m1 10928  ax-1ne0 10929  ax-1rid 10930  ax-rnegex 10931  ax-rrecex 10932  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935  ax-pre-ltadd 10936  ax-pre-mulgt0 10937  ax-pre-sup 10938  ax-addf 10939  ax-mulf 10940
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-tr 5193  df-id 5486  df-eprel 5492  df-po 5500  df-so 5501  df-fr 5541  df-we 5543  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-pred 6197  df-ord 6264  df-on 6265  df-lim 6266  df-suc 6267  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-om 7705  df-1st 7822  df-2nd 7823  df-tpos 8031  df-frecs 8086  df-wrecs 8117  df-recs 8191  df-rdg 8230  df-1o 8286  df-er 8487  df-map 8606  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-fin 8726  df-sup 9190  df-inf 9191  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004  df-sub 11196  df-neg 11197  df-div 11622  df-nn 11963  df-2 12025  df-3 12026  df-4 12027  df-5 12028  df-6 12029  df-7 12030  df-8 12031  df-9 12032  df-n0 12223  df-z 12309  df-dec 12427  df-uz 12572  df-q 12678  df-rp 12720  df-fz 13229  df-fl 13501  df-mod 13579  df-seq 13711  df-exp 13772  df-cj 14799  df-re 14800  df-im 14801  df-sqrt 14935  df-abs 14936  df-dvds 15953  df-gcd 16191  df-numer 16428  df-denom 16429  df-gz 16620  df-struct 16837  df-sets 16854  df-slot 16872  df-ndx 16884  df-base 16902  df-ress 16931  df-plusg 16964  df-mulr 16965  df-starv 16966  df-tset 16970  df-ple 16971  df-ds 16973  df-unif 16974  df-0g 17141  df-mgm 18315  df-sgrp 18364  df-mnd 18375  df-mhm 18419  df-grp 18569  df-minusg 18570  df-sbg 18571  df-mulg 18690  df-subg 18741  df-ghm 18821  df-od 19125  df-cmn 19377  df-mgp 19710  df-ur 19727  df-ring 19774  df-cring 19775  df-oppr 19851  df-dvdsr 19872  df-unit 19873  df-invr 19903  df-dvr 19914  df-rnghom 19948  df-drng 19982  df-subrg 20011  df-cnfld 20587  df-zring 20660  df-zrh 20694  df-chr 20696  df-qqh 31910
This theorem is referenced by:  qqhvval  31920  qqhf  31923
  Copyright terms: Public domain W3C validator