Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  qqhval2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem qqhval2 33944
Description: Value of the canonical homormorphism from the rational number when the target ring is a division ring. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
qqhval2.0 𝐵 = (Base‘𝑅)
qqhval2.1 / = (/r𝑅)
qqhval2.2 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
Assertion
Ref Expression
qqhval2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
Distinct variable groups:   / ,𝑞   𝐵,𝑞   𝐿,𝑞   𝑅,𝑞

Proof of Theorem qqhval2
Dummy variables 𝑒 𝑠 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3498 . . . 4 (𝑅 ∈ DivRing → 𝑅 ∈ V)
21adantr 480 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → 𝑅 ∈ V)
3 qqhval2.1 . . . 4 / = (/r𝑅)
4 eqid 2734 . . . 4 (1r𝑅) = (1r𝑅)
5 qqhval2.2 . . . 4 𝐿 = (ℤRHom‘𝑅)
63, 4, 5qqhval 33934 . . 3 (𝑅 ∈ V → (ℚHom‘𝑅) = ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
72, 6syl 17 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
8 eqid 2734 . . . 4 ℤ = ℤ
9 qqhval2.0 . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝑅)
10 eqid 2734 . . . . 5 (0g𝑅) = (0g𝑅)
119, 5, 10zrhunitpreima 33938 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0}))
12 mpoeq12 7505 . . . 4 ((ℤ = ℤ ∧ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) = (ℤ ∖ {0})) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
138, 11, 12sylancr 587 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
1413rneqd 5951 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (𝐿 “ (Unit‘𝑅)) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
15 nfv 1911 . . . 4 𝑒(𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0)
16 nfab1 2904 . . . 4 𝑒{𝑒 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩}
17 nfcv 2902 . . . 4 𝑒{⟨𝑞, 𝑠⟩ ∣ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))}
18 simpr 484 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
19 zssq 12995 . . . . . . . . . . . 12 ℤ ⊆ ℚ
20 simplrl 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑥 ∈ ℤ)
2119, 20sselid 3992 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑥 ∈ ℚ)
22 simplrr 778 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))
2322eldifad 3974 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑦 ∈ ℤ)
2419, 23sselid 3992 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑦 ∈ ℚ)
2522eldifbd 3975 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → ¬ 𝑦 ∈ {0})
26 velsn 4646 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ {0} ↔ 𝑦 = 0)
2726necon3bbii 2985 . . . . . . . . . . . 12 𝑦 ∈ {0} ↔ 𝑦 ≠ 0)
2825, 27sylib 218 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑦 ≠ 0)
29 qdivcl 13009 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ∈ ℚ ∧ 𝑦 ≠ 0) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
3021, 24, 28, 29syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ)
31 simplll 775 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → 𝑅 ∈ DivRing)
32 simpllr 776 . . . . . . . . . . 11 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → (chr‘𝑅) = 0)
339, 3, 5qqhval2lem 33943 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))) = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)))
3433eqcomd 2740 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ≠ 0)) → ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))))
3531, 32, 20, 23, 28, 34syl23anc 1376 . . . . . . . . . 10 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))))
36 ovex 7463 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 / 𝑦) ∈ V
37 ovex 7463 . . . . . . . . . . 11 ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) ∈ V
38 opeq12 4879 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → ⟨𝑞, 𝑠⟩ = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
3938eqeq2d 2745 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ↔ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩))
40 simpl 482 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → 𝑞 = (𝑥 / 𝑦))
4140eleq1d 2823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (𝑞 ∈ ℚ ↔ (𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ))
42 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)))
4340fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (numer‘𝑞) = (numer‘(𝑥 / 𝑦)))
4443fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (𝐿‘(numer‘𝑞)) = (𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))))
4540fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (denom‘𝑞) = (denom‘(𝑥 / 𝑦)))
4645fveq2d 6910 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (𝐿‘(denom‘𝑞)) = (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦))))
4744, 46oveq12d 7448 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))))
4842, 47eqeq12d 2750 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → (𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))) ↔ ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦))))))
4941, 48anbi12d 632 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → ((𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))) ↔ ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))))))
5039, 49anbi12d 632 . . . . . . . . . . 11 ((𝑞 = (𝑥 / 𝑦) ∧ 𝑠 = ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))) → ((𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))) ↔ (𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ ∧ ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦))))))))
5136, 37, 50spc2ev 3606 . . . . . . . . . 10 ((𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ ∧ ((𝑥 / 𝑦) ∈ ℚ ∧ ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘(𝑥 / 𝑦))) / (𝐿‘(denom‘(𝑥 / 𝑦)))))) → ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))))
5218, 30, 35, 51syl12anc 837 . . . . . . . . 9 ((((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) ∧ 𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))))
5352ex 412 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑥 ∈ ℤ ∧ 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}))) → (𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ → ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))))
5453rexlimdvva 3210 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ → ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))))
5554imp 406 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) → ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))))
56 19.42vv 1954 . . . . . . 7 (∃𝑞𝑠((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) ↔ ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))))
57 simprrl 781 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → 𝑞 ∈ ℚ)
58 qnumcl 16773 . . . . . . . . . 10 (𝑞 ∈ ℚ → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → (numer‘𝑞) ∈ ℤ)
60 qdencl 16774 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ℚ → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
6157, 60syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → (denom‘𝑞) ∈ ℕ)
6261nnzd 12637 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → (denom‘𝑞) ∈ ℤ)
63 nnne0 12297 . . . . . . . . . . 11 ((denom‘𝑞) ∈ ℕ → (denom‘𝑞) ≠ 0)
64 nelsn 4670 . . . . . . . . . . 11 ((denom‘𝑞) ≠ 0 → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
6561, 63, 643syl 18 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → ¬ (denom‘𝑞) ∈ {0})
6662, 65eldifd 3973 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → (denom‘𝑞) ∈ (ℤ ∖ {0}))
67 simprl 771 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → 𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩)
68 qeqnumdivden 16779 . . . . . . . . . . . 12 (𝑞 ∈ ℚ → 𝑞 = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
6957, 68syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → 𝑞 = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
70 simprrr 782 . . . . . . . . . . 11 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))
7169, 70opeq12d 4885 . . . . . . . . . 10 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → ⟨𝑞, 𝑠⟩ = ⟨((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))⟩)
7267, 71eqtrd 2774 . . . . . . . . 9 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → 𝑒 = ⟨((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))⟩)
73 oveq1 7437 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (numer‘𝑞) → (𝑥 / 𝑦) = ((numer‘𝑞) / 𝑦))
74 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = (numer‘𝑞) → (𝐿𝑥) = (𝐿‘(numer‘𝑞)))
7574oveq1d 7445 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = (numer‘𝑞) → ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦)))
7673, 75opeq12d 4885 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = (numer‘𝑞) → ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ = ⟨((numer‘𝑞) / 𝑦), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦))⟩)
7776eqeq2d 2745 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = (numer‘𝑞) → (𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ ↔ 𝑒 = ⟨((numer‘𝑞) / 𝑦), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦))⟩))
78 oveq2 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (denom‘𝑞) → ((numer‘𝑞) / 𝑦) = ((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)))
79 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = (denom‘𝑞) → (𝐿𝑦) = (𝐿‘(denom‘𝑞)))
8079oveq2d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = (denom‘𝑞) → ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦)) = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))
8178, 80opeq12d 4885 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = (denom‘𝑞) → ⟨((numer‘𝑞) / 𝑦), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦))⟩ = ⟨((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))⟩)
8281eqeq2d 2745 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = (denom‘𝑞) → (𝑒 = ⟨((numer‘𝑞) / 𝑦), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿𝑦))⟩ ↔ 𝑒 = ⟨((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))⟩))
8377, 82rspc2ev 3634 . . . . . . . . 9 (((numer‘𝑞) ∈ ℤ ∧ (denom‘𝑞) ∈ (ℤ ∖ {0}) ∧ 𝑒 = ⟨((numer‘𝑞) / (denom‘𝑞)), ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))⟩) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
8459, 66, 72, 83syl3anc 1370 . . . . . . . 8 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
8584exlimivv 1929 . . . . . . 7 (∃𝑞𝑠((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ (𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
8656, 85sylbir 235 . . . . . 6 (((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) ∧ ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))) → ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
8755, 86impbida 801 . . . . 5 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩ ↔ ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))))
88 abid 2715 . . . . 5 (𝑒 ∈ {𝑒 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩} ↔ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
89 elopab 5536 . . . . 5 (𝑒 ∈ {⟨𝑞, 𝑠⟩ ∣ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))} ↔ ∃𝑞𝑠(𝑒 = ⟨𝑞, 𝑠⟩ ∧ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))))
9087, 88, 893bitr4g 314 . . . 4 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (𝑒 ∈ {𝑒 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩} ↔ 𝑒 ∈ {⟨𝑞, 𝑠⟩ ∣ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))}))
9115, 16, 17, 90eqrd 4014 . . 3 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → {𝑒 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩} = {⟨𝑞, 𝑠⟩ ∣ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))})
92 eqid 2734 . . . 4 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩)
9392rnmpo 7565 . . 3 ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = {𝑒 ∣ ∃𝑥 ∈ ℤ ∃𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0})𝑒 = ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩}
94 df-mpt 5231 . . 3 (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))) = {⟨𝑞, 𝑠⟩ ∣ (𝑞 ∈ ℚ ∧ 𝑠 = ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞))))}
9591, 93, 943eqtr4g 2799 . 2 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ (ℤ ∖ {0}) ↦ ⟨(𝑥 / 𝑦), ((𝐿𝑥) / (𝐿𝑦))⟩) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
967, 14, 953eqtrd 2778 1 ((𝑅 ∈ DivRing ∧ (chr‘𝑅) = 0) → (ℚHom‘𝑅) = (𝑞 ∈ ℚ ↦ ((𝐿‘(numer‘𝑞)) / (𝐿‘(denom‘𝑞)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wex 1775  wcel 2105  {cab 2711  wne 2937  wrex 3067  Vcvv 3477  cdif 3959  {csn 4630  cop 4636  {copab 5209  cmpt 5230  ccnv 5687  ran crn 5689  cima 5691  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  0cc0 11152   / cdiv 11917  cn 12263  cz 12610  cq 12987  numercnumer 16766  denomcdenom 16767  Basecbs 17244  0gc0g 17485  1rcur 20198  Unitcui 20371  /rcdvr 20416  DivRingcdr 20745  ℤRHomczrh 21527  chrcchr 21529  ℚHomcqqh 33932
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230  ax-addf 11231  ax-mulf 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-tpos 8249  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-map 8866  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-fz 13544  df-fl 13828  df-mod 13906  df-seq 14039  df-exp 14099  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-dvds 16287  df-gcd 16528  df-numer 16768  df-denom 16769  df-gz 16963  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-0g 17487  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-mhm 18808  df-grp 18966  df-minusg 18967  df-sbg 18968  df-mulg 19098  df-subg 19153  df-ghm 19243  df-od 19560  df-cmn 19814  df-abl 19815  df-mgp 20152  df-rng 20170  df-ur 20199  df-ring 20252  df-cring 20253  df-oppr 20350  df-dvdsr 20373  df-unit 20374  df-invr 20404  df-dvr 20417  df-rhm 20488  df-subrng 20562  df-subrg 20586  df-drng 20747  df-cnfld 21382  df-zring 21475  df-zrh 21531  df-chr 21533  df-qqh 33933
This theorem is referenced by:  qqhvval  33945  qqhf  33948
  Copyright terms: Public domain W3C validator