Theorem eqoprab2b 6978

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Compare eqopab2b 5233. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.)

Assertion

Ref	Expression
eqoprab2b	⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 ↔ 𝜓))

Proof of Theorem eqoprab2b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssoprab2b 6977	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓))
2		ssoprab2b 6977	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑))
3	1, 2	anbi12i 620	. 2 ⊢ (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)))
4		eqss 3842	. 2 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}))
5		2albiim 1992	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧(𝜑 ↔ 𝜓) ↔ (∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)))
6	5	albii 1918	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 ↔ 𝜓) ↔ ∀𝑥(∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)))
7		19.26 1972	. . 3 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)) ↔ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)))
8	6, 7	bitri 267	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 ↔ 𝜓) ↔ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)))
9	3, 4, 8	3bitr4i 295	1 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 ↔ 𝜓))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 386  ∀wal 1654   = wceq 1656   ⊆ wss 3798  {coprab 6911

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pr 5129

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ral 3122  df-rab 3126  df-v 3416  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-oprab 6914

This theorem is referenced by:  mpt22eqb  7034  oprabbi  34509