MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  eqoprab2bw Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem eqoprab2bw 7520
Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Version of eqoprab2b 7521 with a disjoint variable condition, which does not require ax-13 2380. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) Avoid ax-13 2380. (Revised by GG, 26-Jan-2024.)
Assertion
Ref Expression
eqoprab2bw ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem eqoprab2bw
StepHypRef Expression
1 nfoprab1 7511 . . . . . 6 𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
2 nfoprab1 7511 . . . . . 6 𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
31, 2nfss 4001 . . . . 5 𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
4 nfoprab2 7512 . . . . . . 7 𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
5 nfoprab2 7512 . . . . . . 7 𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
64, 5nfss 4001 . . . . . 6 𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
7 nfoprab3 7513 . . . . . . . 8 𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
8 nfoprab3 7513 . . . . . . . 8 𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
97, 8nfss 4001 . . . . . . 7 𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
10 ssel 4002 . . . . . . . 8 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}))
11 oprabidw 7479 . . . . . . . 8 (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
12 oprabidw 7479 . . . . . . . 8 (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ 𝜓)
1310, 11, 123imtr3g 295 . . . . . . 7 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → (𝜑𝜓))
149, 13alrimi 2214 . . . . . 6 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑧(𝜑𝜓))
156, 14alrimi 2214 . . . . 5 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑦𝑧(𝜑𝜓))
163, 15alrimi 2214 . . . 4 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
17 ssoprab2 7518 . . . 4 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓})
1816, 17impbii 209 . . 3 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
192, 1nfss 4001 . . . . 5 𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
205, 4nfss 4001 . . . . . 6 𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
218, 7nfss 4001 . . . . . . 7 𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
22 ssel 4002 . . . . . . . 8 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}))
2322, 12, 113imtr3g 295 . . . . . . 7 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → (𝜓𝜑))
2421, 23alrimi 2214 . . . . . 6 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → ∀𝑧(𝜓𝜑))
2520, 24alrimi 2214 . . . . 5 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑))
2619, 25alrimi 2214 . . . 4 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑))
27 ssoprab2 7518 . . . 4 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
2826, 27impbii 209 . . 3 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑))
2918, 28anbi12i 627 . 2 (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
30 eqss 4024 . 2 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}))
31 2albiim 1889 . . . 4 (∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ (∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
3231albii 1817 . . 3 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ ∀𝑥(∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
33 19.26 1869 . . 3 (∀𝑥(∀𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑦𝑧(𝜓𝜑)) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
3432, 33bitri 275 . 2 (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ↔ (∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓) ∧ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜓𝜑)))
3529, 30, 343bitr4i 303 1 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥𝑦𝑧(𝜑𝜓))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  wal 1535   = wceq 1537  wcel 2108  wss 3976  cop 4654  {coprab 7449
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pr 5447
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ral 3068  df-rab 3444  df-v 3490  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-oprab 7452
This theorem is referenced by:  mpo2eqb  7582
  Copyright terms: Public domain W3C validator