Theorem eqoprab2bw 7500

Description: Equivalence of ordered pair abstraction subclass and biconditional. Version of eqoprab2b 7501 with a disjoint variable condition, which does not require ax-13 2404. (Contributed by Mario Carneiro, 4-Jan-2017.) Avoid ax-13 2404. (Revised by GG, 26-Jan-2024.)

Assertion

Ref	Expression
eqoprab2bw	⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 ↔ 𝜓))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧)   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧)

Proof of Theorem eqoprab2bw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nfoprab1 7491	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
2		nfoprab1 7491	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
3	1, 2	nfss 3906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
4		nfoprab2 7492	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
5		nfoprab2 7492	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
6	4, 5	nfss 3906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
7		nfoprab3 7493	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
8		nfoprab3 7493	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
9	7, 8	nfss 3906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}
10		ssel 3907	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓}))
11		oprabidw 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ 𝜑)
12		oprabidw 7461	. . . . . . . 8 ⊢ (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ 𝜓)
13	10, 11, 12	3imtr3g 298	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → (𝜑 → 𝜓))
14	9, 13	alrimi 2252	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑧(𝜑 → 𝜓))
15	6, 14	alrimi 2252	. . . . 5 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓))
16	3, 15	alrimi 2252	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓))
17		ssoprab2 7498	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓})
18	16, 17	impbii 212	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓))
19	2, 1	nfss 3906	. . . . 5 ⊢ Ⅎ𝑥{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
20	5, 4	nfss 3906	. . . . . 6 ⊢ Ⅎ𝑦{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
21	8, 7	nfss 3906	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑧{⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}
22		ssel 3907	. . . . . . . 8 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → (⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} → ⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∈ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}))
23	22, 12, 11	3imtr3g 298	. . . . . . 7 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → (𝜓 → 𝜑))
24	21, 23	alrimi 2252	. . . . . 6 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → ∀𝑧(𝜓 → 𝜑))
25	20, 24	alrimi 2252	. . . . 5 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → ∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑))
26	19, 25	alrimi 2252	. . . 4 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} → ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑))
27		ssoprab2 7498	. . . 4 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑})
28	26, 27	impbii 212	. . 3 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑))
29	18, 28	anbi12i 640	. 2 ⊢ (({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}) ↔ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)))
30		eqss 3928	. 2 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ∧ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ⊆ {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑}))
31		2albiim 1924	. . . 4 ⊢ (∀𝑦∀𝑧(𝜑 ↔ 𝜓) ↔ (∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)))
32	31	albii 1851	. . 3 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 ↔ 𝜓) ↔ ∀𝑥(∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)))
33		19.26 1902	. . 3 ⊢ (∀𝑥(∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)) ↔ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)))
34	32, 33	bitri 278	. 2 ⊢ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 ↔ 𝜓) ↔ (∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 → 𝜓) ∧ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜓 → 𝜑)))
35	29, 30, 34	3bitr4i 306	1 ⊢ ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜑} = {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ 𝜓} ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧(𝜑 ↔ 𝜓))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1567   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3900  ⟨cop 4838  {coprab 7431

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-oprab 7434

This theorem is used by:  mpo2eqb  7562