Theorem erbr3b 32971

Description: Biconditional for equivalent elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
erbr3b	⊢ ((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem erbr3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝑅 Er 𝑋)
2		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐵)
3		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)
4	1, 2, 3	ertr3d 8709	. 2 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝐵𝑅𝐶)
5		simpll 778	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝑅 Er 𝑋)
6		simplr 780	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐵)
7		simpr 489	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐵𝑅𝐶)
8	5, 6, 7	ertrd 8707	. 2 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)
9	4, 8	impbida 812	1 ⊢ ((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   class class class wbr 5109   Er wer 8687

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-pr 5404

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-sb 2097  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-br 5110  df-opab 5174  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-er 8690

This theorem is used by: (None)