Theorem erbr3b 33280

Description: Biconditional for equivalent elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
erbr3b	⊢ ((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem erbr3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝑅 Er 𝑋)
2		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐵)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)
4	1, 2, 3	ertr3d 8761	. 2 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝐵𝑅𝐶)
5		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝑅 Er 𝑋)
6		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐵)
7		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐵𝑅𝐶)
8	5, 6, 7	ertrd 8759	. 2 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)
9	4, 8	impbida 813	1 ⊢ ((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   class class class wbr 5106   Er wer 8739

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pr 5395

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2102  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-br 5107  df-opab 5171  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-er 8742

This theorem is used by: (None)