Theorem erbr3b 30858

Description: Biconditional for equivalent elements. (Contributed by Thierry Arnoux, 6-Jan-2020.)

Assertion

Ref	Expression
erbr3b	⊢ ((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))

Proof of Theorem erbr3b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 763	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝑅 Er 𝑋)
2		simplr 765	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐵)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)
4	1, 2, 3	ertr3d 8474	. 2 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐴𝑅𝐶) → 𝐵𝑅𝐶)
5		simpll 763	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝑅 Er 𝑋)
6		simplr 765	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐵)
7		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐵𝑅𝐶)
8	5, 6, 7	ertrd 8472	. 2 ⊢ (((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) ∧ 𝐵𝑅𝐶) → 𝐴𝑅𝐶)
9	4, 8	impbida 797	1 ⊢ ((𝑅 Er 𝑋 ∧ 𝐴𝑅𝐵) → (𝐴𝑅𝐶 ↔ 𝐵𝑅𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   class class class wbr 5070   Er wer 8453

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-br 5071  df-opab 5133  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-er 8456

This theorem is referenced by: (None)