Theorem gru0eld 44321

Description: A nonempty Grothendieck universe contains the empty set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gru0eld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
gru0eld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gru0eld	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)

Proof of Theorem gru0eld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gru0eld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		gru0eld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
3		0ss 4347	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐴)
5		gruss 10687	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ∅ ∈ 𝐺)
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111   ⊆ wss 3897  ∅c0 4280  Univcgru 10681

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-ext 2703  ax-sep 5232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-tr 5197  df-iota 6437  df-fv 6489  df-ov 7349  df-gru 10682

This theorem is referenced by:  grur1cld  44324  grucollcld  44352