Theorem gru0eld 41736

Description: A nonempty Grothendieck universe contains the empty set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gru0eld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
gru0eld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gru0eld	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)

Proof of Theorem gru0eld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gru0eld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		gru0eld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
3		0ss 4327	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐴)
5		gruss 10483	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ∅ ∈ 𝐺)
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1369	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253  Univcgru 10477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-tr 5188  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-gru 10478

This theorem is referenced by:  grur1cld  41739  grucollcld  41767