Theorem gru0eld 45303

Description: A nonempty Grothendieck universe contains the empty set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gru0eld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
gru0eld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gru0eld	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)

Proof of Theorem gru0eld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gru0eld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		gru0eld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
3		0ss 4349	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐴)
5		gruss 10882	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ∅ ∈ 𝐺)
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ∅c0 4278  Univcgru 10876

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-ext 2732  ax-sep 5248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-sb 2099  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-tr 5212  df-iota 6494  df-fv 6546  df-ov 7423  df-gru 10877

This theorem is used by:  grur1cld  45306  grucollcld  45320