Theorem gru0eld 42921

Description: A nonempty Grothendieck universe contains the empty set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gru0eld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
gru0eld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gru0eld	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)

Proof of Theorem gru0eld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gru0eld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		gru0eld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
3		0ss 4395	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐴)
5		gruss 10787	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ∅ ∈ 𝐺)
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3947  ∅c0 4321  Univcgru 10781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5298

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-tr 5265  df-iota 6492  df-fv 6548  df-ov 7407  df-gru 10782

This theorem is referenced by:  grur1cld  42924  grucollcld  42952