Theorem gru0eld 44225

Description: A nonempty Grothendieck universe contains the empty set. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
gru0eld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
gru0eld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
gru0eld	⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)

Proof of Theorem gru0eld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gru0eld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
2		gru0eld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
3		0ss 4406	. . 3 ⊢ ∅ ⊆ 𝐴
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → ∅ ⊆ 𝐴)
5		gruss 10834	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ∅ ⊆ 𝐴) → ∅ ∈ 𝐺)
6	1, 2, 4, 5	syl3anc 1370	1 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2106   ⊆ wss 3963  ∅c0 4339  Univcgru 10828

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-tr 5266  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434  df-gru 10829

This theorem is referenced by:  grur1cld  44228  grucollcld  44256