Theorem grur1cld 42180

Description: Grothendieck universes are closed under the cumulative hierarchy function. (Contributed by Rohan Ridenour, 8-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grur1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grur1cld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grur1cld	⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grur1cld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grur1cld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
2	1	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝐺)
3		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ ∅ ∈ 𝐺))
4		fveq2 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘∅))
5	4	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺))
6	3, 5	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (∅ ∈ 𝐺 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)))
7		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
8		fveq2 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘𝑦))
9	8	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
10	7, 9	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)))
11		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ suc 𝑦 ∈ 𝐺))
12		fveq2 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
13	12	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺))
14	11, 13	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (suc 𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)))
15		eleq1 2824	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ 𝐴 ∈ 𝐺))
16		fveq2 6825	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘𝐴))
17	16	eleq1d 2821	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺))
18	15, 17	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (𝐴 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)))
19		r10 9625	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
20		grur1cld.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
21	20, 1	gru0eld 42177	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)
22	19, 21	eqeltrid 2841	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)
23	22	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)
24	23	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐺 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺))
25		simpl1 1190	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On))
26		simpl2 1191	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝑦 ∈ On)
27	20	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐺 ∈ Univ)
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
29		simpr 485	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → suc 𝑦 ∈ 𝐺)
30		sssucid 6381	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ suc 𝑦
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝑦 ⊆ suc 𝑦)
32		gruss 10653	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐺)
33	28, 29, 31, 32	syl3anc 1370	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝑦 ∈ 𝐺)
34		simpl3 1192	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
35	33, 34	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
36		r1suc 9627	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1‘𝑦))
37	36	3ad2ant2 1133	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1‘𝑦))
38	27	3ad2ant1 1132	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
39		simp3 1137	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
40		grupw 10652	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
41	38, 39, 40	syl2anc 584	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
42	37, 41	eqeltrd 2837	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)
43	25, 26, 35, 42	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)
44	43	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) → (suc 𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺))
45		simpr 485	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝐺)
46		simpl2 1191	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → Lim 𝑥)
47		r1lim 9629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐺 ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
48	45, 46, 47	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
49		simpl1 1190	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → (𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On))
50	49, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
51		simpl3 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
52		simpl1l 1223	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → 𝜑)
53		simpl1 1190	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝜑)
54	53, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐺 ∈ Univ)
55		simpl3 1192	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐺)
56		simpl2 1191	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → Lim 𝑥)
57		limord 6361	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → Ord 𝑥)
59		simpr 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
60		ordelss 6318	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
61	58, 59, 60	syl2anc 584	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
62		gruss 10653	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐺)
63	54, 55, 61, 62	syl3anc 1370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐺)
64	63	ralrimiva 3139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐺)
65	52, 46, 45, 64	syl3anc 1370	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐺)
66		ralim 3085	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐺 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
67	51, 65, 66	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
68		gruiun 10656	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
69	50, 45, 67, 68	syl3anc 1370	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
70	48, 69	eqeltrd 2837	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺)
71	70	ex 413	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺))
72		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
73	6, 10, 14, 18, 24, 44, 71, 72	tfindsd 42153	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺))
74	2, 73	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)
75		r1fnon 9624	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅1 Fn On
76	75	fndmi 6589	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅1 = On
77	76	eleq2i 2828	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
78		ndmfv 6860	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
79	77, 78	sylnbir 330	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
80	79	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
81	21	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐺)
82	80, 81	eqeltrd 2837	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)
83	74, 82	pm2.61dan 810	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3061   ⊆ wss 3898  ∅c0 4269  𝒫 cpw 4547  ∪ ciun 4941  dom cdm 5620  Ord word 6301  Oncon0 6302  Lim wlim 6303  suc csuc 6304  ‘cfv 6479  𝑅₁cr1 9619  Univcgru 10647

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4853  df-iun 4943  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-om 7781  df-2nd 7900  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-map 8688  df-r1 9621  df-gru 10648

This theorem is referenced by:  grurankrcld  42182