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Theorem grur1cld 40933
Description: Grothendieck universes are closed under the cumulative hierarchy function. (Contributed by Rohan Ridenour, 8-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grur1cld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grur1cld.2 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grur1cld (𝜑 → (𝑅1𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grur1cld
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 grur1cld.2 . . . 4 (𝜑𝐴𝐺)
21adantr 484 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ On) → 𝐴𝐺)
3 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐺 ↔ ∅ ∈ 𝐺))
4 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘∅))
54eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑥 = ∅ → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺))
63, 5imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐺 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (∅ ∈ 𝐺 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)))
7 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐺𝑦𝐺))
8 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
98eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺))
107, 9imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐺 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)))
11 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥𝐺 ↔ suc 𝑦𝐺))
12 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
1312eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺))
1411, 13imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥𝐺 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (suc 𝑦𝐺 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)))
15 eleq1 2880 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥𝐺𝐴𝐺))
16 fveq2 6649 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝐴))
1716eleq1d 2877 . . . . 5 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1𝐴) ∈ 𝐺))
1815, 17imbi12d 348 . . . 4 (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥𝐺 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (𝐴𝐺 → (𝑅1𝐴) ∈ 𝐺)))
19 r10 9185 . . . . . . 7 (𝑅1‘∅) = ∅
20 grur1cld.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
2120, 1gru0eld 40930 . . . . . . 7 (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)
2219, 21eqeltrid 2897 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)
2322adantr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)
2423a1d 25 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐺 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺))
25 simpl1 1188 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦𝐺) → (𝜑𝐴 ∈ On))
26 simpl2 1189 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦𝐺) → 𝑦 ∈ On)
2720adantr 484 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝐴 ∈ On) → 𝐺 ∈ Univ)
2825, 27syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
29 simpr 488 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦𝐺) → suc 𝑦𝐺)
30 sssucid 6240 . . . . . . . . 9 𝑦 ⊆ suc 𝑦
3130a1i 11 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦𝐺) → 𝑦 ⊆ suc 𝑦)
32 gruss 10211 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐺𝑦 ⊆ suc 𝑦) → 𝑦𝐺)
3328, 29, 31, 32syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦𝐺) → 𝑦𝐺)
34 simpl3 1190 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦𝐺) → (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺))
3533, 34mpd 15 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦𝐺) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)
36 r1suc 9187 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
37363ad2ant2 1131 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
38273ad2ant1 1130 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
39 simp3 1135 . . . . . . . 8 (((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)
40 grupw 10210 . . . . . . . 8 ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺) → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)
4138, 39, 40syl2anc 587 . . . . . . 7 (((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺) → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)
4237, 41eqeltrd 2893 . . . . . 6 (((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)
4325, 26, 35, 42syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)
4443ex 416 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) → (suc 𝑦𝐺 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺))
45 simpr 488 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → 𝑥𝐺)
46 simpl2 1189 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → Lim 𝑥)
47 r1lim 9189 . . . . . . 7 ((𝑥𝐺 ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
4845, 46, 47syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
49 simpl1 1188 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → (𝜑𝐴 ∈ On))
5049, 27syl 17 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
51 simpl3 1190 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺))
52 simpl1l 1221 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → 𝜑)
53 simpl1 1188 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ Lim 𝑥𝑥𝐺) ∧ 𝑦𝑥) → 𝜑)
5453, 20syl 17 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ Lim 𝑥𝑥𝐺) ∧ 𝑦𝑥) → 𝐺 ∈ Univ)
55 simpl3 1190 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ Lim 𝑥𝑥𝐺) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑥𝐺)
56 simpl2 1189 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑 ∧ Lim 𝑥𝑥𝐺) ∧ 𝑦𝑥) → Lim 𝑥)
57 limord 6222 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ Lim 𝑥𝑥𝐺) ∧ 𝑦𝑥) → Ord 𝑥)
59 simpr 488 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑 ∧ Lim 𝑥𝑥𝐺) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
60 ordelss 6179 . . . . . . . . . . . 12 ((Ord 𝑥𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
6158, 59, 60syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑 ∧ Lim 𝑥𝑥𝐺) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝑥)
62 gruss 10211 . . . . . . . . . . 11 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐺𝑦𝑥) → 𝑦𝐺)
6354, 55, 61, 62syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 (((𝜑 ∧ Lim 𝑥𝑥𝐺) ∧ 𝑦𝑥) → 𝑦𝐺)
6463ralrimiva 3152 . . . . . . . . 9 ((𝜑 ∧ Lim 𝑥𝑥𝐺) → ∀𝑦𝑥 𝑦𝐺)
6552, 46, 45, 64syl3anc 1368 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → ∀𝑦𝑥 𝑦𝐺)
66 ralim 3133 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺) → (∀𝑦𝑥 𝑦𝐺 → ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺))
6751, 65, 66sylc 65 . . . . . . 7 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)
68 gruiun 10214 . . . . . . 7 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐺 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺) → 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)
6950, 45, 67, 68syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)
7048, 69eqeltrd 2893 . . . . 5 ((((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥𝐺) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝐺)
7170ex 416 . . . 4 (((𝜑𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑦𝐺 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝐺)) → (𝑥𝐺 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝐺))
72 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
736, 10, 14, 18, 24, 44, 71, 72tfindsd 40911 . . 3 ((𝜑𝐴 ∈ On) → (𝐴𝐺 → (𝑅1𝐴) ∈ 𝐺))
742, 73mpd 15 . 2 ((𝜑𝐴 ∈ On) → (𝑅1𝐴) ∈ 𝐺)
75 r1fnon 9184 . . . . . . 7 𝑅1 Fn On
7675fndmi 6430 . . . . . 6 dom 𝑅1 = On
7776eleq2i 2884 . . . . 5 (𝐴 ∈ dom 𝑅1𝐴 ∈ On)
78 ndmfv 6679 . . . . 5 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1𝐴) = ∅)
7977, 78sylnbir 334 . . . 4 𝐴 ∈ On → (𝑅1𝐴) = ∅)
8079adantl 485 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1𝐴) = ∅)
8121adantr 484 . . 3 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐺)
8280, 81eqeltrd 2893 . 2 ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1𝐴) ∈ 𝐺)
8374, 82pm2.61dan 812 1 (𝜑 → (𝑅1𝐴) ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2112  wral 3109  wss 3884  c0 4246  𝒫 cpw 4500   ciun 4884  dom cdm 5523  Ord word 6162  Oncon0 6163  Lim wlim 6164  suc csuc 6165  cfv 6328  𝑅1cr1 9179  Univcgru 10205
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-map 8395  df-r1 9181  df-gru 10206
This theorem is referenced by:  grurankrcld  40935
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