Theorem grur1cld 42991

Description: Grothendieck universes are closed under the cumulative hierarchy function. (Contributed by Rohan Ridenour, 8-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grur1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grur1cld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grur1cld	⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grur1cld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grur1cld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
2	1	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝐺)
3		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ ∅ ∈ 𝐺))
4		fveq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘∅))
5	4	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺))
6	3, 5	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (∅ ∈ 𝐺 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)))
7		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
8		fveq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘𝑦))
9	8	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
10	7, 9	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)))
11		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ suc 𝑦 ∈ 𝐺))
12		fveq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
13	12	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺))
14	11, 13	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (suc 𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)))
15		eleq1 2822	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ 𝐴 ∈ 𝐺))
16		fveq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘𝐴))
17	16	eleq1d 2819	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺))
18	15, 17	imbi12d 345	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (𝐴 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)))
19		r10 9763	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
20		grur1cld.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
21	20, 1	gru0eld 42988	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)
22	19, 21	eqeltrid 2838	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)
23	22	adantr 482	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)
24	23	a1d 25	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐺 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺))
25		simpl1 1192	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On))
26		simpl2 1193	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝑦 ∈ On)
27	20	adantr 482	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐺 ∈ Univ)
28	25, 27	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
29		simpr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → suc 𝑦 ∈ 𝐺)
30		sssucid 6445	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ suc 𝑦
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝑦 ⊆ suc 𝑦)
32		gruss 10791	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐺)
33	28, 29, 31, 32	syl3anc 1372	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝑦 ∈ 𝐺)
34		simpl3 1194	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
35	33, 34	mpd 15	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
36		r1suc 9765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1‘𝑦))
37	36	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1‘𝑦))
38	27	3ad2ant1 1134	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
39		simp3 1139	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
40		grupw 10790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
41	38, 39, 40	syl2anc 585	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
42	37, 41	eqeltrd 2834	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)
43	25, 26, 35, 42	syl3anc 1372	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)
44	43	ex 414	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) → (suc 𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺))
45		simpr 486	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝐺)
46		simpl2 1193	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → Lim 𝑥)
47		r1lim 9767	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐺 ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
48	45, 46, 47	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
49		simpl1 1192	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → (𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On))
50	49, 27	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
51		simpl3 1194	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
52		simpl1l 1225	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → 𝜑)
53		simpl1 1192	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝜑)
54	53, 20	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐺 ∈ Univ)
55		simpl3 1194	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐺)
56		simpl2 1193	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → Lim 𝑥)
57		limord 6425	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
58	56, 57	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → Ord 𝑥)
59		simpr 486	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
60		ordelss 6381	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
61	58, 59, 60	syl2anc 585	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
62		gruss 10791	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐺)
63	54, 55, 61, 62	syl3anc 1372	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐺)
64	63	ralrimiva 3147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐺)
65	52, 46, 45, 64	syl3anc 1372	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐺)
66		ralim 3087	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐺 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
67	51, 65, 66	sylc 65	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
68		gruiun 10794	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
69	50, 45, 67, 68	syl3anc 1372	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
70	48, 69	eqeltrd 2834	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺)
71	70	ex 414	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺))
72		simpr 486	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
73	6, 10, 14, 18, 24, 44, 71, 72	tfindsd 42964	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺))
74	2, 73	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)
75		r1fnon 9762	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅1 Fn On
76	75	fndmi 6654	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅1 = On
77	76	eleq2i 2826	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
78		ndmfv 6927	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
79	77, 78	sylnbir 331	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
80	79	adantl 483	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
81	21	adantr 482	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐺)
82	80, 81	eqeltrd 2834	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)
83	74, 82	pm2.61dan 812	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  ∪ ciun 4998  dom cdm 5677  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  ‘cfv 6544  𝑅₁cr1 9757  Univcgru 10785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-map 8822  df-r1 9759  df-gru 10786

This theorem is referenced by:  grurankrcld  42993