Theorem grur1cld 45229

Description: Grothendieck universes are closed under the cumulative hierarchy function. (Contributed by Rohan Ridenour, 8-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grur1cld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grur1cld.2	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grur1cld	⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grur1cld

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grur1cld.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ 𝐺)
3		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ ∅ ∈ 𝐺))
4		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘∅))
5	4	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺))
6	3, 5	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (∅ ∈ 𝐺 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)))
7		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ 𝑦 ∈ 𝐺))
8		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘𝑦))
9	8	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
10	7, 9	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)))
11		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ suc 𝑦 ∈ 𝐺))
12		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
13	12	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺))
14	11, 13	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (suc 𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)))
15		eleq1 2849	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐺 ↔ 𝐴 ∈ 𝐺))
16		fveq2 6885	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘𝐴))
17	16	eleq1d 2846	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺 ↔ (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺))
18	15, 17	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺) ↔ (𝐴 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)))
19		r10 9775	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
20		grur1cld.1	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
21	20, 1	gru0eld 45226	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∅ ∈ 𝐺)
22	19, 21	eqeltrid 2865	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)
23	22	adantr 486	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺)
24	23	a1d 26	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (∅ ∈ 𝐺 → (𝑅1‘∅) ∈ 𝐺))
25		simpl1 1210	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On))
26		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝑦 ∈ On)
27	20	adantr 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐺 ∈ Univ)
28	25, 27	syl 18	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
29		simpr 490	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → suc 𝑦 ∈ 𝐺)
30		sssucid 6445	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ⊆ suc 𝑦
31	30	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝑦 ⊆ suc 𝑦)
32		gruss 10881	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 ⊆ suc 𝑦) → 𝑦 ∈ 𝐺)
33	28, 29, 31, 32	syl3anc 1398	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → 𝑦 ∈ 𝐺)
34		simpl3 1212	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
35	33, 34	mpd 16	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
36		r1suc 9777	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1‘𝑦))
37	36	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1‘𝑦))
38	27	3ad2ant1 1151	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
39		simp3 1156	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
40		grupw 10880	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
41	38, 39, 40	syl2anc 596	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
42	37, 41	eqeltrd 2861	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)
43	25, 26, 35, 42	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺)
44	43	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ 𝑦 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) → (suc 𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝐺))
45		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → 𝑥 ∈ 𝐺)
46		simpl2 1211	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → Lim 𝑥)
47		r1lim 9779	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐺 ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
48	45, 46, 47	syl2anc 596	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
49		simpl1 1210	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → (𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On))
50	49, 27	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → 𝐺 ∈ Univ)
51		simpl3 1212	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
52		simpl1l 1243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → 𝜑)
53		simpl1 1210	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝜑)
54	53, 20	syl 18	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝐺 ∈ Univ)
55		simpl3 1212	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑥 ∈ 𝐺)
56		simpl2 1211	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → Lim 𝑥)
57		limord 6424	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Lim 𝑥 → Ord 𝑥)
58	56, 57	syl 18	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → Ord 𝑥)
59		simpr 490	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝑥)
60		ordelss 6378	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((Ord 𝑥 ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
61	58, 59, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ⊆ 𝑥)
62		gruss 10881	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐺 ∧ 𝑦 ⊆ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐺)
63	54, 55, 61, 62	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → 𝑦 ∈ 𝐺)
64	63	ralrimiva 3155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ Lim 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐺)
65	52, 46, 45, 64	syl3anc 1398	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐺)
66		ralim 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 𝑦 ∈ 𝐺 → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺))
67	51, 65, 66	sylc 66	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
68		gruiun 10884	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
69	50, 45, 67, 68	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)
70	48, 69	eqeltrd 2861	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐺) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺)
71	70	ex 418	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) ∧ Lim 𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝐺)) → (𝑥 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝐺))
72		simpr 490	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → 𝐴 ∈ On)
73	6, 10, 14, 18, 24, 44, 71, 72	tfindsd 45207	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝐴 ∈ 𝐺 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺))
74	2, 73	mpd 16	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)
75		r1fnon 9773	. . . . . . 7 ⊢ 𝑅1 Fn On
76	75	fndmi 6643	. . . . . 6 ⊢ dom 𝑅1 = On
77	76	eleq2i 2853	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ dom 𝑅1 ↔ 𝐴 ∈ On)
78		ndmfv 6917	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ dom 𝑅1 → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
79	77, 78	sylnbir 334	. . . 4 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ On → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
80	79	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
81	21	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → ∅ ∈ 𝐺)
82	80, 81	eqeltrd 2861	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ ¬ 𝐴 ∈ On) → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)
83	74, 82	pm2.61dan 825	1 ⊢ (𝜑 → (𝑅1‘𝐴) ∈ 𝐺)

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ∀wral 3077   ⊆ wss 3899  ∅c0 4279  𝒫 cpw 4557  ∪ ciun 4951  dom cdm 5651  Ord word 6361  Oncon0 6362  Lim wlim 6363  suc csuc 6364  ‘cfv 6538  𝑅₁cr1 9766  Univcgru 10875

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-map 8849  df-r1 9768  df-gru 10876

This theorem is used by:  grurankrcld  45231