Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grucollcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grucollcld 44256
Description: A Grothendieck universe contains the output of a collection operation whenever its left input is a relation on the universe, and its right input is in the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grucollcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grucollcld.2 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
grucollcld.3 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grucollcld (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grucollcld
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcoll2 44248 . 2 (𝐹 Coll 𝐴) = 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}
2 grucollcld.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
3 grucollcld.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐺)
4 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅)
52ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐺 ∈ Univ)
63ad2antrr 726 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐴𝐺)
75, 6gru0eld 44225 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → ∅ ∈ 𝐺)
84, 7eqeltrd 2839 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
9 neq0 4358 . . . . . . 7 (¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦})
102ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝐺 ∈ Univ)
11 breq2 5152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹𝑧))
1211elscottab 44240 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → 𝑥𝐹𝑧)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥𝐹𝑧)
14 grucollcld.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
1514ad2antrr 726 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
1615ssbrd 5191 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → (𝑥𝐹𝑧𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧))
1713, 16mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧)
18 brxp 5738 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧 ↔ (𝑥𝐺𝑧𝐺))
1918simprbi 496 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧𝑧𝐺)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧𝐺)
21 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦})
2210, 20, 21gruscottcld 44245 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
2322expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
2423exlimiv 1928 . . . . . . 7 (∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
259, 24sylbi 217 . . . . . 6 (¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅ → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
2625impcom 407 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
278, 26pm2.61dan 813 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
2827ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
29 gruiun 10837 . . 3 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺) → 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
302, 3, 28, 29syl3anc 1370 . 2 (𝜑 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
311, 30eqeltrid 2843 1 (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wex 1776  wcel 2106  {cab 2712  wral 3059  wss 3963  c0 4339   ciun 4996   class class class wbr 5148   × cxp 5687  Univcgru 10828  Scott cscott 44231   Coll ccoll 44246
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-reg 9630  ax-inf2 9679  ax-ac2 10501
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-map 8867  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-tc 9775  df-r1 9802  df-rank 9803  df-card 9977  df-cf 9979  df-acn 9980  df-ac 10154  df-wina 10722  df-ina 10723  df-gru 10829  df-scott 44232  df-coll 44247
This theorem is referenced by:  grumnudlem  44281
  Copyright terms: Public domain W3C validator