Theorem grucollcld 44841

Description: A Grothendieck universe contains the output of a collection operation whenever its left input is a relation on the universe, and its right input is in the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grucollcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grucollcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
grucollcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grucollcld	⊢ (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grucollcld

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoll2 44833	. 2 ⊢ (𝐹 Coll 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}
2		grucollcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3		grucollcld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
4		simpr 488	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅)
5	2	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐺 ∈ Univ)
6	3	ad2antrr 736	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐴 ∈ 𝐺)
7	5, 6	gru0eld 44810	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → ∅ ∈ 𝐺)
8	4, 7	eqeltrd 2864	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
9		neq0 4306	. . . . . . 7 ⊢ (¬ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦})
10	2	ad2antrr 736	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝐺 ∈ Univ)
11		breq2 5106	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑧))
12	11	elscottab 44825	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} → 𝑥𝐹𝑧)
13	12	adantl 485	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥𝐹𝑧)
14		grucollcld.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
15	14	ad2antrr 736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
16	15	ssbrd 5145	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧))
17	13, 16	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧)
18		brxp 5698	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝐺 ∧ 𝑧 ∈ 𝐺))
19	18	simprbi 501	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐺)
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧 ∈ 𝐺)
21		simpr 488	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦})
22	10, 20, 21	gruscottcld 44830	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
23	22	expcom 417	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
24	23	exlimiv 1952	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
25	9, 24	sylbi 219	. . . . . 6 ⊢ (¬ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
26	25	impcom 411	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
27	8, 26	pm2.61dan 822	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
28	27	ralrimiva 3156	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
29		gruiun 10759	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
30	2, 3, 28, 29	syl3anc 1392	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
31	1, 30	eqeltrid 2868	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1562  ∃wex 1801   ∈ wcel 2144  {cab 2742  ∀wral 3078   ⊆ wss 3906  ∅c0 4287  ∪ ciun 4951   class class class wbr 5102   × cxp 5647  Univcgru 10750  Scott cscott 44816   Coll ccoll 44831

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1817  ax-4 1831  ax-5 1932  ax-6 1989  ax-7 2030  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2214  ax-ext 2736  ax-rep 5229  ax-sep 5248  ax-nul 5258  ax-pow 5324  ax-pr 5392  ax-un 7720  ax-reg 9542  ax-inf2 9598  ax-ac2 10422

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1100  df-3an 1101  df-tru 1565  df-fal 1575  df-ex 1802  df-nf 1806  df-sb 2093  df-mo 2568  df-eu 2598  df-clab 2743  df-cleq 2756  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3458  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5544  df-eprel 5549  df-po 5557  df-so 5558  df-fr 5602  df-se 5603  df-we 5604  df-xp 5655  df-rel 5656  df-cnv 5657  df-co 5658  df-dm 5659  df-rn 5660  df-res 5661  df-ima 5662  df-pred 6290  df-ord 6351  df-on 6352  df-lim 6353  df-suc 6354  df-iota 6479  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-isom 6532  df-riota 7355  df-ov 7401  df-oprab 7402  df-mpo 7403  df-om 7849  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8680  df-map 8812  df-en 8930  df-dom 8931  df-sdom 8932  df-fin 8933  df-tc 9692  df-r1 9724  df-rank 9725  df-card 9899  df-cf 9901  df-acn 9902  df-ac 10074  df-wina 10644  df-ina 10645  df-gru 10751  df-scott 44817  df-coll 44832

This theorem is referenced by:  grumnudlem  44866