Theorem grucollcld 43334

Description: A Grothendieck universe contains the output of a collection operation whenever its left input is a relation on the universe, and its right input is in the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
grucollcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
grucollcld.2	⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
grucollcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)

Assertion

Ref	Expression
grucollcld	⊢ (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grucollcld

Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfcoll2 43326	. 2 ⊢ (𝐹 Coll 𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}
2		grucollcld.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Univ)
3		grucollcld.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝐺)
4		simpr 484	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅)
5	2	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐺 ∈ Univ)
6	3	ad2antrr 723	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐴 ∈ 𝐺)
7	5, 6	gru0eld 43303	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → ∅ ∈ 𝐺)
8	4, 7	eqeltrd 2832	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
9		neq0 4345	. . . . . . 7 ⊢ (¬ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦})
10	2	ad2antrr 723	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝐺 ∈ Univ)
11		breq2 5152	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦 ↔ 𝑥𝐹𝑧))
12	11	elscottab 43318	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} → 𝑥𝐹𝑧)
13	12	adantl 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥𝐹𝑧)
14		grucollcld.2	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
15	14	ad2antrr 723	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
16	15	ssbrd 5191	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → (𝑥𝐹𝑧 → 𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧))
17	13, 16	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧)
18		brxp 5725	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝐺 ∧ 𝑧 ∈ 𝐺))
19	18	simprbi 496	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧 → 𝑧 ∈ 𝐺)
20	17, 19	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧 ∈ 𝐺)
21		simpr 484	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦})
22	10, 20, 21	gruscottcld 43323	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦}) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
23	22	expcom 413	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
24	23	exlimiv 1932	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
25	9, 24	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ (¬ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅ → ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
26	25	impcom 407	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ ¬ Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
27	8, 26	pm2.61dan 810	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
28	27	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
29		gruiun 10800	. . 3 ⊢ ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝐺 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
30	2, 3, 28, 29	syl3anc 1370	. 2 ⊢ (𝜑 → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 Scott {𝑦 ∣ 𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
31	1, 30	eqeltrid 2836	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∃wex 1780   ∈ wcel 2105  {cab 2708  ∀wral 3060   ⊆ wss 3948  ∅c0 4322  ∪ ciun 4997   class class class wbr 5148   × cxp 5674  Univcgru 10791  Scott cscott 43309   Coll ccoll 43324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-reg 9593  ax-inf2 9642  ax-ac2 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-map 8828  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-tc 9738  df-r1 9765  df-rank 9766  df-card 9940  df-cf 9942  df-acn 9943  df-ac 10117  df-wina 10685  df-ina 10686  df-gru 10792  df-scott 43310  df-coll 43325

This theorem is referenced by:  grumnudlem  43359