Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grucollcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grucollcld 43595
Description: A Grothendieck universe contains the output of a collection operation whenever its left input is a relation on the universe, and its right input is in the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grucollcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grucollcld.2 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
grucollcld.3 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grucollcld (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grucollcld
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcoll2 43587 . 2 (𝐹 Coll 𝐴) = 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}
2 grucollcld.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
3 grucollcld.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐺)
4 simpr 484 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅)
52ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐺 ∈ Univ)
63ad2antrr 723 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐴𝐺)
75, 6gru0eld 43564 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → ∅ ∈ 𝐺)
84, 7eqeltrd 2827 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
9 neq0 4340 . . . . . . 7 (¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦})
102ad2antrr 723 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝐺 ∈ Univ)
11 breq2 5145 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹𝑧))
1211elscottab 43579 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → 𝑥𝐹𝑧)
1312adantl 481 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥𝐹𝑧)
14 grucollcld.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
1514ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
1615ssbrd 5184 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → (𝑥𝐹𝑧𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧))
1713, 16mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧)
18 brxp 5718 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧 ↔ (𝑥𝐺𝑧𝐺))
1918simprbi 496 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧𝑧𝐺)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧𝐺)
21 simpr 484 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦})
2210, 20, 21gruscottcld 43584 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
2322expcom 413 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
2423exlimiv 1925 . . . . . . 7 (∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
259, 24sylbi 216 . . . . . 6 (¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅ → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
2625impcom 407 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
278, 26pm2.61dan 810 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
2827ralrimiva 3140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
29 gruiun 10796 . . 3 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺) → 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
302, 3, 28, 29syl3anc 1368 . 2 (𝜑 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
311, 30eqeltrid 2831 1 (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2703  wral 3055  wss 3943  c0 4317   ciun 4990   class class class wbr 5141   × cxp 5667  Univcgru 10787  Scott cscott 43570   Coll ccoll 43585
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-reg 9589  ax-inf2 9638  ax-ac2 10460
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-isom 6546  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-1o 8467  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-tc 9734  df-r1 9761  df-rank 9762  df-card 9936  df-cf 9938  df-acn 9939  df-ac 10113  df-wina 10681  df-ina 10682  df-gru 10788  df-scott 43571  df-coll 43586
This theorem is referenced by:  grumnudlem  43620
  Copyright terms: Public domain W3C validator