Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grucollcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grucollcld 41386
 Description: A Grothendieck universe contains the output of a collection operation whenever its left input is a relation on the universe, and its right input is in the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grucollcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grucollcld.2 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
grucollcld.3 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grucollcld (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grucollcld
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcoll2 41378 . 2 (𝐹 Coll 𝐴) = 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}
2 grucollcld.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
3 grucollcld.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐺)
4 simpr 488 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅)
52ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐺 ∈ Univ)
63ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐴𝐺)
75, 6gru0eld 41355 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → ∅ ∈ 𝐺)
84, 7eqeltrd 2852 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
9 neq0 4246 . . . . . . 7 (¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦})
102ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝐺 ∈ Univ)
11 breq2 5040 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹𝑧))
1211elscottab 41370 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → 𝑥𝐹𝑧)
1312adantl 485 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥𝐹𝑧)
14 grucollcld.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
1615ssbrd 5079 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → (𝑥𝐹𝑧𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧))
1713, 16mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧)
18 brxp 5575 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧 ↔ (𝑥𝐺𝑧𝐺))
1918simprbi 500 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧𝑧𝐺)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧𝐺)
21 simpr 488 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦})
2210, 20, 21gruscottcld 41375 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
2322expcom 417 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
2423exlimiv 1931 . . . . . . 7 (∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
259, 24sylbi 220 . . . . . 6 (¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅ → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
2625impcom 411 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
278, 26pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
2827ralrimiva 3113 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
29 gruiun 10272 . . 3 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺) → 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
302, 3, 28, 29syl3anc 1368 . 2 (𝜑 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
311, 30eqeltrid 2856 1 (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1538  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  {cab 2735  ∀wral 3070   ⊆ wss 3860  ∅c0 4227  ∪ ciun 4886   class class class wbr 5036   × cxp 5526  Univcgru 10263  Scott cscott 41361   Coll ccoll 41376 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-rep 5160  ax-sep 5173  ax-nul 5180  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7465  ax-reg 9102  ax-inf2 9150  ax-ac2 9936 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rmo 3078  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-pss 3879  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4842  df-iun 4888  df-iin 4889  df-br 5037  df-opab 5099  df-mpt 5117  df-tr 5143  df-id 5434  df-eprel 5439  df-po 5447  df-so 5448  df-fr 5487  df-se 5488  df-we 5489  df-xp 5534  df-rel 5535  df-cnv 5536  df-co 5537  df-dm 5538  df-rn 5539  df-res 5540  df-ima 5541  df-pred 6131  df-ord 6177  df-on 6178  df-lim 6179  df-suc 6180  df-iota 6299  df-fun 6342  df-fn 6343  df-f 6344  df-f1 6345  df-fo 6346  df-f1o 6347  df-fv 6348  df-isom 6349  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-om 7586  df-1st 7699  df-2nd 7700  df-wrecs 7963  df-recs 8024  df-rdg 8062  df-1o 8118  df-er 8305  df-map 8424  df-en 8541  df-dom 8542  df-sdom 8543  df-fin 8544  df-tc 9225  df-r1 9239  df-rank 9240  df-card 9414  df-cf 9416  df-acn 9417  df-ac 9589  df-wina 10157  df-ina 10158  df-gru 10264  df-scott 41362  df-coll 41377 This theorem is referenced by:  grumnudlem  41411
 Copyright terms: Public domain W3C validator