Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grucollcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grucollcld 42632
Description: A Grothendieck universe contains the output of a collection operation whenever its left input is a relation on the universe, and its right input is in the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grucollcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grucollcld.2 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
grucollcld.3 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grucollcld (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grucollcld
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcoll2 42624 . 2 (𝐹 Coll 𝐴) = 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}
2 grucollcld.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
3 grucollcld.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐺)
4 simpr 486 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅)
52ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐺 ∈ Univ)
63ad2antrr 725 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐴𝐺)
75, 6gru0eld 42601 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → ∅ ∈ 𝐺)
84, 7eqeltrd 2834 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
9 neq0 4309 . . . . . . 7 (¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦})
102ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝐺 ∈ Univ)
11 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹𝑧))
1211elscottab 42616 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → 𝑥𝐹𝑧)
1312adantl 483 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥𝐹𝑧)
14 grucollcld.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
1514ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
1615ssbrd 5152 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → (𝑥𝐹𝑧𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧))
1713, 16mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧)
18 brxp 5685 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧 ↔ (𝑥𝐺𝑧𝐺))
1918simprbi 498 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧𝑧𝐺)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧𝐺)
21 simpr 486 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦})
2210, 20, 21gruscottcld 42621 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
2322expcom 415 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
2423exlimiv 1934 . . . . . . 7 (∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
259, 24sylbi 216 . . . . . 6 (¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅ → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
2625impcom 409 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
278, 26pm2.61dan 812 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
2827ralrimiva 3140 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
29 gruiun 10743 . . 3 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺) → 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
302, 3, 28, 29syl3anc 1372 . 2 (𝜑 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
311, 30eqeltrid 2838 1 (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 397   = wceq 1542  wex 1782  wcel 2107  {cab 2710  wral 3061  wss 3914  c0 4286   ciun 4958   class class class wbr 5109   × cxp 5635  Univcgru 10734  Scott cscott 42607   Coll ccoll 42622
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-reg 9536  ax-inf2 9585  ax-ac2 10407
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-er 8654  df-map 8773  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-tc 9681  df-r1 9708  df-rank 9709  df-card 9883  df-cf 9885  df-acn 9886  df-ac 10060  df-wina 10628  df-ina 10629  df-gru 10735  df-scott 42608  df-coll 42623
This theorem is referenced by:  grumnudlem  42657
  Copyright terms: Public domain W3C validator