Users' Mathboxes Mathbox for Rohan Ridenour < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  grucollcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem grucollcld 43762
Description: A Grothendieck universe contains the output of a collection operation whenever its left input is a relation on the universe, and its right input is in the universe. (Contributed by Rohan Ridenour, 11-Aug-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
grucollcld.1 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
grucollcld.2 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
grucollcld.3 (𝜑𝐴𝐺)
Assertion
Ref Expression
grucollcld (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)

Proof of Theorem grucollcld
Dummy variables 𝑥 𝑧 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dfcoll2 43754 . 2 (𝐹 Coll 𝐴) = 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}
2 grucollcld.1 . . 3 (𝜑𝐺 ∈ Univ)
3 grucollcld.3 . . 3 (𝜑𝐴𝐺)
4 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅)
52ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐺 ∈ Univ)
63ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → 𝐴𝐺)
75, 6gru0eld 43731 . . . . . 6 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → ∅ ∈ 𝐺)
84, 7eqeltrd 2825 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
9 neq0 4341 . . . . . . 7 (¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦})
102ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝐺 ∈ Univ)
11 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 = 𝑧 → (𝑥𝐹𝑦𝑥𝐹𝑧))
1211elscottab 43746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → 𝑥𝐹𝑧)
1312adantl 480 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥𝐹𝑧)
14 grucollcld.2 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
1514ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝐹 ⊆ (𝐺 × 𝐺))
1615ssbrd 5186 . . . . . . . . . . . 12 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → (𝑥𝐹𝑧𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧))
1713, 16mpd 15 . . . . . . . . . . 11 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧)
18 brxp 5721 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧 ↔ (𝑥𝐺𝑧𝐺))
1918simprbi 495 . . . . . . . . . . 11 (𝑥(𝐺 × 𝐺)𝑧𝑧𝐺)
2017, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧𝐺)
21 simpr 483 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦})
2210, 20, 21gruscottcld 43751 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦}) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
2322expcom 412 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
2423exlimiv 1925 . . . . . . 7 (∃𝑧 𝑧 ∈ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
259, 24sylbi 216 . . . . . 6 (¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅ → ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺))
2625impcom 406 . . . . 5 (((𝜑𝑥𝐴) ∧ ¬ Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} = ∅) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
278, 26pm2.61dan 811 . . . 4 ((𝜑𝑥𝐴) → Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
2827ralrimiva 3136 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
29 gruiun 10822 . . 3 ((𝐺 ∈ Univ ∧ 𝐴𝐺 ∧ ∀𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺) → 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
302, 3, 28, 29syl3anc 1368 . 2 (𝜑 𝑥𝐴 Scott {𝑦𝑥𝐹𝑦} ∈ 𝐺)
311, 30eqeltrid 2829 1 (𝜑 → (𝐹 Coll 𝐴) ∈ 𝐺)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wex 1773  wcel 2098  {cab 2702  wral 3051  wss 3939  c0 4318   ciun 4991   class class class wbr 5143   × cxp 5670  Univcgru 10813  Scott cscott 43737   Coll ccoll 43752
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-reg 9615  ax-inf2 9664  ax-ac2 10486
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-se 5628  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-1o 8485  df-er 8723  df-map 8845  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-fin 8966  df-tc 9760  df-r1 9787  df-rank 9788  df-card 9962  df-cf 9964  df-acn 9965  df-ac 10139  df-wina 10707  df-ina 10708  df-gru 10814  df-scott 43738  df-coll 43753
This theorem is referenced by:  grumnudlem  43787
  Copyright terms: Public domain W3C validator