Theorem gruss 10679

Description: Any subset of an element of a Grothendieck universe is also an element. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruss	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpw2g 5269	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3		grupw 10678	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈)
4		gruelss 10677	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
5	3, 4	syldan 591	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
6	5	sseld 3931	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑈))
7	2, 6	sylbird 260	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑈))
8	7	3impia 1117	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2110   ⊆ wss 3900  𝒫 cpw 4548  Univcgru 10673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2702  ax-sep 5232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2067  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rab 3394  df-v 3436  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4282  df-if 4474  df-pw 4550  df-sn 4575  df-pr 4577  df-op 4581  df-uni 4858  df-br 5090  df-tr 5197  df-iota 6433  df-fv 6485  df-ov 7344  df-gru 10674

This theorem is referenced by:  grurn  10684  gruima  10685  gruxp  10690  grumap  10691  gruixp  10692  gruiin  10693  grudomon  10700  gruina  10701  gru0eld  44241  grur1cld  44244  grurankrcld  44246  grumnudlem  44297