MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  gruss Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem gruss 10731
Description: Any subset of an element of a Grothendieck universe is also an element. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)
Assertion
Ref Expression
gruss ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈𝐵𝐴) → 𝐵𝑈)

Proof of Theorem gruss
StepHypRef Expression
1 elpw2g 5301 . . . 4 (𝐴𝑈 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
21adantl 482 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝐴))
3 grupw 10730 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈) → 𝒫 𝐴𝑈)
4 gruelss 10729 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝐴𝑈) → 𝒫 𝐴𝑈)
53, 4syldan 591 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈) → 𝒫 𝐴𝑈)
65sseld 3943 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴𝐵𝑈))
72, 6sylbird 259 . 2 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈) → (𝐵𝐴𝐵𝑈))
873impia 1117 1 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴𝑈𝐵𝐴) → 𝐵𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087  wcel 2106  wss 3910  𝒫 cpw 4560  Univcgru 10725
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2707  ax-sep 5256
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-sb 2068  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3065  df-rab 3408  df-v 3447  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-tr 5223  df-iota 6448  df-fv 6504  df-ov 7359  df-gru 10726
This theorem is referenced by:  grurn  10736  gruima  10737  gruxp  10742  grumap  10743  gruixp  10744  gruiin  10745  grudomon  10752  gruina  10753  gru0eld  42491  grur1cld  42494  grurankrcld  42496  grumnudlem  42547
  Copyright terms: Public domain W3C validator