Theorem gruss 10853

Description: Any subset of an element of a Grothendieck universe is also an element. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruss	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpw2g 5294	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3		grupw 10852	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈)
4		gruelss 10851	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
5	3, 4	syldan 603	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
6	5	sseld 3929	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑈))
7	2, 6	sylbird 263	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑈))
8	7	3impia 1135	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  𝒫 cpw 4556  Univcgru 10847

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5248

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-tr 5212  df-iota 6483  df-fv 6535  df-ov 7411  df-gru 10848

This theorem is used by:  grurn  10858  gruima  10859  gruxp  10864  grumap  10865  gruixp  10866  gruiin  10867  grudomon  10874  gruina  10875  gru0eld  45171  grur1cld  45174  grurankrcld  45176  grumnudlem  45213