Theorem gruss 10483

Description: Any subset of an element of a Grothendieck universe is also an element. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruss	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpw2g 5263	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ 𝑈 → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 ↔ 𝐵 ⊆ 𝐴))
3		grupw 10482	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈)
4		gruelss 10481	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝒫 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
5	3, 4	syldan 590	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝒫 𝐴 ⊆ 𝑈)
6	5	sseld 3916	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 ∈ 𝒫 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑈))
7	2, 6	sylbird 259	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → (𝐵 ⊆ 𝐴 → 𝐵 ∈ 𝑈))
8	7	3impia 1115	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ 𝐵 ⊆ 𝐴) → 𝐵 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3883  𝒫 cpw 4530  Univcgru 10477

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-11 2156  ax-ext 2709  ax-sep 5218

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-tr 5188  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258  df-gru 10478

This theorem is referenced by:  grurn  10488  gruima  10489  gruxp  10494  grumap  10495  gruixp  10496  gruiin  10497  grudomon  10504  gruina  10505  gru0eld  41736  grur1cld  41739  grurankrcld  41741  grumnudlem  41792