Theorem gruelss 10798

Description: A Grothendieck universe is transitive, so each element is a subset of the universe. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruelss	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem gruelss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		grutr 10797	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → Tr 𝑈)
2		trss 5230	. . 3 ⊢ (Tr 𝑈 → (𝐴 ∈ 𝑈 → 𝐴 ⊆ 𝑈))
3	2	imp 412	. 2 ⊢ ((Tr 𝑈 ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ⊆ 𝑈)
4	1, 3	sylan 592	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ⊆ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146   ⊆ wss 3906  Tr wtr 5220  Univcgru 10794

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-tr 5221  df-iota 6496  df-fv 6548  df-ov 7422  df-gru 10795

This theorem is used by:  gruss  10800  gruuni  10804  gruel  10807  grur1a  10823  grur1  10824