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Theorem grur1a 10239
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
Assertion
Ref Expression
grur1a (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem grur1a
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruina.1 . . . . . 6 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
2 inss1 4190 . . . . . 6 (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
31, 2eqsstri 3987 . . . . 5 𝐴𝑈
4 sseq2 3979 . . . . 5 (𝑈 = ∅ → (𝐴𝑈𝐴 ⊆ ∅))
53, 4mpbii 236 . . . 4 (𝑈 = ∅ → 𝐴 ⊆ ∅)
6 ss0 4335 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
7 fveq2 6661 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘∅))
8 r10 9194 . . . . . 6 (𝑅1‘∅) = ∅
97, 8syl6eq 2875 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = ∅)
10 0ss 4333 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝑈
119, 10eqsstrdi 4007 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
125, 6, 113syl 18 . . 3 (𝑈 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
1312a1i 11 . 2 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈))
141gruina 10238 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
15 inawina 10110 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
16 winaon 10108 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)
17 winalim 10115 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
18 r1lim 9198 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
1916, 17, 18syl2anc 587 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inaccw → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
2014, 15, 193syl 18 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
21 inss2 4191 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∩ On) ⊆ On
221, 21eqsstri 3987 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ⊆ On
2322sseli 3949 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝑥 ∈ On)
24 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
25 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘∅))
2625, 8syl6eq 2875 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = ∅)
2726eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
2824, 27imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)))
29 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
30 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
3130eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
3229, 31imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
33 eleq1 2903 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑦𝐴))
34 fveq2 6661 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
3534eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
3633, 35imbi12d 348 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
373sseli 3949 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ Univ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈))
39 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → suc 𝑦𝐴)
40 elelsuc 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc 𝑦𝐴 → suc 𝑦 ∈ suc 𝐴)
413sseli 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (suc 𝑦𝐴 → suc 𝑦𝑈)
4241ne0d 4284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (suc 𝑦𝐴𝑈 ≠ ∅)
4314, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4442, 43sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝐴 ∈ On)
45 eloni 6188 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
46 ordsucelsuc 7531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝐴 → (𝑦𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
4744, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → (𝑦𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
4840, 47syl5ibr 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
4939, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
50 grupw 10215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)
5150ex 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ Univ → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
5251adantr 484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
53 r1suc 9196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
5453eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ On → ((𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈 ↔ 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
5554biimprcd 253 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
5652, 55syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
5749, 56embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
5857ex 416 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ Univ → (suc 𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
5958com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
6059com4r 94 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
61 simpr 488 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
623sseli 3949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐴𝑥𝑈)
6362ne0d 4284 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴𝑈 ≠ ∅)
6463, 43sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ On)
65 ontr1 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
66 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
6765, 66syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
6867expd 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))))
6968com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝐴 ∈ On → (𝑦𝑥 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))))
7061, 64, 69sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝑥 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
7170imp 410 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7271ralimdva 3172 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
73 gruiun 10219 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)
74733expia 1118 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → (∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7562, 74sylan2 595 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7672, 75syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
77 vex 3483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 ∈ V
78 r1lim 9198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
7977, 78mpan 689 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8079eleq1d 2900 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
8180biimprd 251 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 → ( 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
8276, 81sylan9r 512 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Lim 𝑥 ∧ (𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴)) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
8382exp32 424 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))))
8483com34 91 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))))
8528, 32, 36, 38, 60, 84tfinds2 7572 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)))
8685com3r 87 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)))
8723, 86mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
8887impcom 411 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
89 gruelss 10214 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9088, 89syldan 594 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9190ralrimiva 3177 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
92 iunss 4955 . . . . . 6 ( 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9391, 92sylibr 237 . . . . 5 (𝑈 ∈ Univ → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9493adantr 484 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9520, 94eqsstrd 3991 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
9695ex 416 . 2 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ≠ ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈))
9713, 96pm2.61dne 3100 1 (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2115  wne 3014  wral 3133  Vcvv 3480  cin 3918  wss 3919  c0 4276  𝒫 cpw 4522   ciun 4905  Ord word 6177  Oncon0 6178  Lim wlim 6179  suc csuc 6180  cfv 6343  𝑅1cr1 9188  Inaccwcwina 10102  Inacccina 10103  Univcgru 10210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5176  ax-sep 5189  ax-nul 5196  ax-pow 5253  ax-pr 5317  ax-un 7455  ax-ac2 9883
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-int 4863  df-iun 4907  df-br 5053  df-opab 5115  df-mpt 5133  df-tr 5159  df-id 5447  df-eprel 5452  df-po 5461  df-so 5462  df-fr 5501  df-se 5502  df-we 5503  df-xp 5548  df-rel 5549  df-cnv 5550  df-co 5551  df-dm 5552  df-rn 5553  df-res 5554  df-ima 5555  df-pred 6135  df-ord 6181  df-on 6182  df-lim 6183  df-suc 6184  df-iota 6302  df-fun 6345  df-fn 6346  df-f 6347  df-f1 6348  df-fo 6349  df-f1o 6350  df-fv 6351  df-isom 6352  df-riota 7107  df-ov 7152  df-oprab 7153  df-mpo 7154  df-om 7575  df-wrecs 7943  df-recs 8004  df-rdg 8042  df-1o 8098  df-er 8285  df-map 8404  df-en 8506  df-dom 8507  df-sdom 8508  df-r1 9190  df-card 9365  df-cf 9367  df-ac 9540  df-wina 10104  df-ina 10105  df-gru 10211
This theorem is referenced by:  grur1  10240
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