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Theorem grur1a 10755
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
Assertion
Ref Expression
grur1a (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem grur1a
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 gruina.1 . . . . . 6 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
2 inss1 4188 . . . . . 6 (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
31, 2eqsstri 3978 . . . . 5 𝐴𝑈
4 sseq2 3970 . . . . 5 (𝑈 = ∅ → (𝐴𝑈𝐴 ⊆ ∅))
53, 4mpbii 232 . . . 4 (𝑈 = ∅ → 𝐴 ⊆ ∅)
6 ss0 4358 . . . 4 (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
7 fveq2 6842 . . . . . 6 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = (𝑅1‘∅))
8 r10 9704 . . . . . 6 (𝑅1‘∅) = ∅
97, 8eqtrdi 2792 . . . . 5 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) = ∅)
10 0ss 4356 . . . . 5 ∅ ⊆ 𝑈
119, 10eqsstrdi 3998 . . . 4 (𝐴 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
125, 6, 113syl 18 . . 3 (𝑈 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
1312a1i 11 . 2 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 = ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈))
141gruina 10754 . . . . 5 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
15 inawina 10626 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
16 winaon 10624 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw𝐴 ∈ On)
17 winalim 10631 . . . . . 6 (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
18 r1lim 9708 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
1916, 17, 18syl2anc 584 . . . . 5 (𝐴 ∈ Inaccw → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
2014, 15, 193syl 18 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) = 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥))
21 inss2 4189 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∩ On) ⊆ On
221, 21eqsstri 3978 . . . . . . . . . . 11 𝐴 ⊆ On
2322sseli 3940 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴𝑥 ∈ On)
24 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → (𝑥𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
25 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘∅))
2625, 8eqtrdi 2792 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = ∅ → (𝑅1𝑥) = ∅)
2726eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = ∅ → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
2824, 27imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = ∅ → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)))
29 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝐴𝑦𝐴))
30 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1𝑦))
3130eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
3229, 31imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
33 eleq1 2825 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥𝐴 ↔ suc 𝑦𝐴))
34 fveq2 6842 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
3534eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
3633, 35imbi12d 344 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
373sseli 3940 . . . . . . . . . . . . 13 (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)
3837a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝑈 ∈ Univ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈))
39 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → suc 𝑦𝐴)
40 elelsuc 6390 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (suc 𝑦𝐴 → suc 𝑦 ∈ suc 𝐴)
413sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (suc 𝑦𝐴 → suc 𝑦𝑈)
4241ne0d 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (suc 𝑦𝐴𝑈 ≠ ∅)
4314, 15, 163syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
4442, 43sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝐴 ∈ On)
45 eloni 6327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
46 ordsucelsuc 7757 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (Ord 𝐴 → (𝑦𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
4744, 45, 463syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → (𝑦𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
4840, 47syl5ibr 245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → (suc 𝑦𝐴𝑦𝐴))
4939, 48mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → 𝑦𝐴)
50 grupw 10731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)
5150ex 413 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑈 ∈ Univ → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
53 r1suc 9706 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1𝑦))
5453eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑦 ∈ On → ((𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈 ↔ 𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
5554biimprcd 249 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝒫 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
5652, 55syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
5749, 56embantd 59 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦𝐴) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
5857ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑈 ∈ Univ → (suc 𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
5958com23 86 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
6059com4r 94 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
61 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥𝐴)
623sseli 3940 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥𝐴𝑥𝑈)
6362ne0d 4295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥𝐴𝑈 ≠ ∅)
6463, 43sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → 𝐴 ∈ On)
65 ontr1 6363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → 𝑦𝐴))
66 pm2.27 42 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
6765, 66syl6 35 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝐴 ∈ On → ((𝑦𝑥𝑥𝐴) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
6867expd 416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝐴 ∈ On → (𝑦𝑥 → (𝑥𝐴 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))))
6968com3r 87 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥𝐴 → (𝐴 ∈ On → (𝑦𝑥 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))))
7061, 64, 69sylc 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑦𝑥 → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)))
7170imp 407 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦𝑥) → ((𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7271ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
73 gruiun 10735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈 ∧ ∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈)
74733expia 1121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝑈) → (∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7562, 74sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
7672, 75syld 47 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
77 vex 3449 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥 ∈ V
78 r1lim 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
7977, 78mpan 688 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (Lim 𝑥 → (𝑅1𝑥) = 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦))
8079eleq1d 2822 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (Lim 𝑥 → ((𝑅1𝑥) ∈ 𝑈 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈))
8180biimprd 247 . . . . . . . . . . . . . . 15 (Lim 𝑥 → ( 𝑦𝑥 (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
8276, 81sylan9r 509 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Lim 𝑥 ∧ (𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴)) → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
8382exp32 421 . . . . . . . . . . . . 13 (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥𝐴 → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))))
8483com34 91 . . . . . . . . . . . 12 (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (∀𝑦𝑥 (𝑦𝐴 → (𝑅1𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))))
8528, 32, 36, 38, 60, 84tfinds2 7800 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥𝐴 → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)))
8685com3r 87 . . . . . . . . . 10 (𝑥𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)))
8723, 86mpd 15 . . . . . . . . 9 (𝑥𝐴 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈))
8887impcom 408 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈)
89 gruelss 10730 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1𝑥) ∈ 𝑈) → (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9088, 89syldan 591 . . . . . . 7 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥𝐴) → (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9190ralrimiva 3143 . . . . . 6 (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
92 iunss 5005 . . . . . 6 ( 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9391, 92sylibr 233 . . . . 5 (𝑈 ∈ Univ → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9493adantr 481 . . . 4 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝑥𝐴 (𝑅1𝑥) ⊆ 𝑈)
9520, 94eqsstrd 3982 . . 3 ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
9695ex 413 . 2 (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ≠ ∅ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈))
9713, 96pm2.61dne 3031 1 (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1𝐴) ⊆ 𝑈)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3445  cin 3909  wss 3910  c0 4282  𝒫 cpw 4560   ciun 4954  Ord word 6316  Oncon0 6317  Lim wlim 6318  suc csuc 6319  cfv 6496  𝑅1cr1 9698  Inaccwcwina 10618  Inacccina 10619  Univcgru 10726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-ac2 10399
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-2nd 7922  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-r1 9700  df-card 9875  df-cf 9877  df-ac 10052  df-wina 10620  df-ina 10621  df-gru 10727
This theorem is referenced by:  grur1  10756
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