Theorem grur1a 10707

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)

Assertion

Ref	Expression
grur1a	⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem grur1a

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruina.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
2		inss1 4187	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
3	1, 2	eqsstri 3981	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑈
4		sseq2 3961	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ∅ → (𝐴 ⊆ 𝑈 ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
5	3, 4	mpbii 233	. . . 4 ⊢ (𝑈 = ∅ → 𝐴 ⊆ ∅)
6		ss0 4352	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
7		fveq2 6822	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘∅))
8		r10 9658	. . . . . 6 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2782	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
10		0ss 4350	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑈
11	9, 10	eqsstrdi 3979	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
12	5, 6, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈))
14	1	gruina 10706	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
15		inawina 10578	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
16		winaon 10576	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → 𝐴 ∈ On)
17		winalim 10583	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
18		r1lim 9662	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
20	14, 15, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
21		inss2 4188	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ On
22	1, 21	eqsstri 3981	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ⊆ On
23	22	sseli 3930	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ On)
24		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
25		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘∅))
26	25, 8	eqtrdi 2782	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = ∅)
27	26	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
28	24, 27	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)))
29		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
30		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘𝑦))
31	30	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
32	29, 31	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
33		eleq1 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ 𝐴))
34		fveq2 6822	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
35	34	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
36	33, 35	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
37	3	sseli 3930	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈))
39		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → suc 𝑦 ∈ 𝐴)
40		elelsuc 6381	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → suc 𝑦 ∈ suc 𝐴)
41	3	sseli 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → suc 𝑦 ∈ 𝑈)
42	41	ne0d 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑈 ≠ ∅)
43	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
44	42, 43	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
45		eloni 6316	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
46		ordsucelsuc 7752	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
47	44, 45, 46	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
48	40, 47	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
49	39, 48	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
50		grupw 10683	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)
51	50	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
53		r1suc 9660	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1‘𝑦))
54	53	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ On → ((𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈 ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
55	54	biimprcd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
56	52, 55	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
57	49, 56	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
58	57	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
59	58	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
60	59	com4r 94	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
61		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
62	3	sseli 3930	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑈)
63	62	ne0d 4292	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑈 ≠ ∅)
64	63, 43	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
65		ontr1 6353	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
66		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
67	65, 66	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
68	67	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))))
69	68	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))))
70	61, 64, 69	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
71	70	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
72	71	ralimdva 3144	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
73		gruiun 10687	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)
74	73	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
75	62, 74	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
76	72, 75	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
77		vex 3440	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑥 ∈ V
78		r1lim 9662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
79	77, 78	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
80	79	eleq1d 2816	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Lim 𝑥 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
81	80	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Lim 𝑥 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
82	76, 81	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
83	82	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))))
84	83	com34 91	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))))
85	28, 32, 36, 38, 60, 84	tfinds2 7794	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)))
86	85	com3r 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)))
87	23, 86	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
88	87	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
89		gruelss 10682	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
90	88, 89	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
91	90	ralrimiva 3124	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
92		iunss 4994	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
93	91, 92	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
94	93	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
95	20, 94	eqsstrd 3969	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
96	95	ex 412	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ≠ ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈))
97	13, 96	pm2.61dne 3014	1 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928  ∀wral 3047  Vcvv 3436   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283  𝒫 cpw 4550  ∪ ciun 4941  Ord word 6305  Oncon0 6306  Lim wlim 6307  suc csuc 6308  ‘cfv 6481  𝑅₁cr1 9652  Inacc_wcwina 10570  Inacccina 10571  Univcgru 10678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-ac2 10351

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-isom 6490  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-map 8752  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-r1 9654  df-card 9829  df-cf 9831  df-ac 10004  df-wina 10572  df-ina 10573  df-gru 10679

This theorem is referenced by:  grur1  10708