Theorem grur1a 10717

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)

Assertion

Ref	Expression
grur1a	⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem grur1a

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruina.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
2		inss1 4186	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
3	1, 2	eqsstri 3977	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑈
4		sseq2 3957	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ∅ → (𝐴 ⊆ 𝑈 ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
5	3, 4	mpbii 233	. . . 4 ⊢ (𝑈 = ∅ → 𝐴 ⊆ ∅)
6		ss0 4351	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
7		fveq2 6828	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘∅))
8		r10 9668	. . . . . 6 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2784	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
10		0ss 4349	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑈
11	9, 10	eqsstrdi 3975	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
12	5, 6, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈))
14	1	gruina 10716	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
15		inawina 10588	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
16		winaon 10586	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → 𝐴 ∈ On)
17		winalim 10593	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
18		r1lim 9672	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
19	16, 17, 18	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
20	14, 15, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
21		inss2 4187	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ On
22	1, 21	eqsstri 3977	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ⊆ On
23	22	sseli 3926	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ On)
24		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
25		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘∅))
26	25, 8	eqtrdi 2784	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = ∅)
27	26	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
28	24, 27	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)))
29		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
30		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘𝑦))
31	30	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
32	29, 31	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
33		eleq1 2821	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ 𝐴))
34		fveq2 6828	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
35	34	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
36	33, 35	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
37	3	sseli 3926	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈))
39		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → suc 𝑦 ∈ 𝐴)
40		elelsuc 6386	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → suc 𝑦 ∈ suc 𝐴)
41	3	sseli 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → suc 𝑦 ∈ 𝑈)
42	41	ne0d 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑈 ≠ ∅)
43	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
44	42, 43	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
45		eloni 6321	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
46		ordsucelsuc 7758	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
47	44, 45, 46	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
48	40, 47	imbitrrid 246	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
49	39, 48	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
50		grupw 10693	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)
51	50	ex 412	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
52	51	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
53		r1suc 9670	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1‘𝑦))
54	53	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ On → ((𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈 ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
55	54	biimprcd 250	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
56	52, 55	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
57	49, 56	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
58	57	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
59	58	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
60	59	com4r 94	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
61		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
62	3	sseli 3926	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑈)
63	62	ne0d 4291	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑈 ≠ ∅)
64	63, 43	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
65		ontr1 6358	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
66		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
67	65, 66	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
68	67	expd 415	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))))
69	68	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))))
70	61, 64, 69	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
71	70	imp 406	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
72	71	ralimdva 3145	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
73		gruiun 10697	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)
74	73	3expia 1121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
75	62, 74	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
76	72, 75	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
77		vex 3441	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑥 ∈ V
78		r1lim 9672	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
79	77, 78	mpan 690	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
80	79	eleq1d 2818	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Lim 𝑥 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
81	80	biimprd 248	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Lim 𝑥 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
82	76, 81	sylan9r 508	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
83	82	exp32 420	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))))
84	83	com34 91	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))))
85	28, 32, 36, 38, 60, 84	tfinds2 7800	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)))
86	85	com3r 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)))
87	23, 86	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
88	87	impcom 407	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
89		gruelss 10692	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
90	88, 89	syldan 591	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
91	90	ralrimiva 3125	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
92		iunss 4995	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
93	91, 92	sylibr 234	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
94	93	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
95	20, 94	eqsstrd 3965	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
96	95	ex 412	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ≠ ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈))
97	13, 96	pm2.61dne 3015	1 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2929  ∀wral 3048  Vcvv 3437   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  ∅c0 4282  𝒫 cpw 4549  ∪ ciun 4941  Ord word 6310  Oncon0 6311  Lim wlim 6312  suc csuc 6313  ‘cfv 6486  𝑅₁cr1 9662  Inacc_wcwina 10580  Inacccina 10581  Univcgru 10688

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674  ax-ac2 10361

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-isom 6495  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-om 7803  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-rdg 8335  df-er 8628  df-map 8758  df-en 8876  df-dom 8877  df-sdom 8878  df-r1 9664  df-card 9839  df-cf 9841  df-ac 10014  df-wina 10582  df-ina 10583  df-gru 10689

This theorem is referenced by:  grur1  10718