Theorem grur1a 10814

Description: A characterization of Grothendieck universes, part 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Jun-2013.)

Hypothesis

Ref	Expression
gruina.1	⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)

Assertion

Ref	Expression
grur1a	⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Proof of Theorem grur1a

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		gruina.1	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (𝑈 ∩ On)
2		inss1 4229	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ 𝑈
3	1, 2	eqsstri 4017	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ⊆ 𝑈
4		sseq2 4009	. . . . 5 ⊢ (𝑈 = ∅ → (𝐴 ⊆ 𝑈 ↔ 𝐴 ⊆ ∅))
5	3, 4	mpbii 232	. . . 4 ⊢ (𝑈 = ∅ → 𝐴 ⊆ ∅)
6		ss0 4399	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ∅ → 𝐴 = ∅)
7		fveq2 6892	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = (𝑅1‘∅))
8		r10 9763	. . . . . 6 ⊢ (𝑅1‘∅) = ∅
9	7, 8	eqtrdi 2789	. . . . 5 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) = ∅)
10		0ss 4397	. . . . 5 ⊢ ∅ ⊆ 𝑈
11	9, 10	eqsstrdi 4037	. . . 4 ⊢ (𝐴 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
12	5, 6, 11	3syl 18	. . 3 ⊢ (𝑈 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
13	12	a1i 11	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 = ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈))
14	1	gruina 10813	. . . . 5 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ Inacc)
15		inawina 10685	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Inacc → 𝐴 ∈ Inaccw)
16		winaon 10683	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → 𝐴 ∈ On)
17		winalim 10690	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → Lim 𝐴)
18		r1lim 9767	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ Lim 𝐴) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
19	16, 17, 18	syl2anc 585	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Inaccw → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
20	14, 15, 19	3syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥))
21		inss2 4230	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∩ On) ⊆ On
22	1, 21	eqsstri 4017	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐴 ⊆ On
23	22	sseli 3979	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ On)
24		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ ∅ ∈ 𝐴))
25		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘∅))
26	25, 8	eqtrdi 2789	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = ∅ → (𝑅1‘𝑥) = ∅)
27	26	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∅ ∈ 𝑈))
28	24, 27	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = ∅ → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)))
29		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ 𝑦 ∈ 𝐴))
30		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘𝑦))
31	30	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
32	29, 31	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
33		eleq1 2822	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ 𝐴))
34		fveq2 6892	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → (𝑅1‘𝑥) = (𝑅1‘suc 𝑦))
35	34	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
36	33, 35	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑥 = suc 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) ↔ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
37	3	sseli 3979	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈)
38	37	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (∅ ∈ 𝐴 → ∅ ∈ 𝑈))
39		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → suc 𝑦 ∈ 𝐴)
40		elelsuc 6438	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → suc 𝑦 ∈ suc 𝐴)
41	3	sseli 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → suc 𝑦 ∈ 𝑈)
42	41	ne0d 4336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑈 ≠ ∅)
43	14, 15, 16	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → 𝐴 ∈ On)
44	42, 43	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
45		eloni 6375	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝐴 ∈ On → Ord 𝐴)
46		ordsucelsuc 7810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (Ord 𝐴 → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
47	44, 45, 46	3syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝐴 ↔ suc 𝑦 ∈ suc 𝐴))
48	40, 47	imbitrrid 245	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ 𝐴))
49	39, 48	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴)
50		grupw 10790	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)
51	50	ex 414	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
52	51	adantr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
53		r1suc 9765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) = 𝒫 (𝑅1‘𝑦))
54	53	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑦 ∈ On → ((𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈 ↔ 𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
55	54	biimprcd 249	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝒫 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))
56	52, 55	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
57	49, 56	embantd 59	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ suc 𝑦 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈)))
58	57	ex 414	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
59	58	com23 86	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ∈ On → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
60	59	com4r 94	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝑦 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (suc 𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘suc 𝑦) ∈ 𝑈))))
61		simpr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ 𝐴)
62	3	sseli 3979	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ 𝑈)
63	62	ne0d 4336	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑈 ≠ ∅)
64	63, 43	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝐴 ∈ On)
65		ontr1 6411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑦 ∈ 𝐴))
66		pm2.27 42	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
67	65, 66	syl6 35	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝐴 ∈ On → ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
68	67	expd 417	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝐴 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ∈ 𝐴 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))))
69	68	com3r 87	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝐴 ∈ On → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))))
70	61, 64, 69	sylc 65	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)))
71	70	imp 408	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ 𝑥) → ((𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
72	71	ralimdva 3168	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
73		gruiun 10794	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈)
74	73	3expia 1122	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝑈) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
75	62, 74	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
76	72, 75	syld 47	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
77		vex 3479	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑥 ∈ V
78		r1lim 9767	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ V ∧ Lim 𝑥) → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
79	77, 78	mpan 689	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑅1‘𝑥) = ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦))
80	79	eleq1d 2819	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (Lim 𝑥 → ((𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈 ↔ ∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈))
81	80	biimprd 247	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (Lim 𝑥 → (∪ 𝑦 ∈ 𝑥 (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
82	76, 81	sylan9r 510	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((Lim 𝑥 ∧ (𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴)) → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
83	82	exp32 422	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))))
84	83	com34 91	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (Lim 𝑥 → (𝑈 ∈ Univ → (∀𝑦 ∈ 𝑥 (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑦) ∈ 𝑈) → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))))
85	28, 32, 36, 38, 60, 84	tfinds2 7853	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)))
86	85	com3r 87	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ On → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)))
87	23, 86	mpd 15	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈))
88	87	impcom 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈)
89		gruelss 10789	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ (𝑅1‘𝑥) ∈ 𝑈) → (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
90	88, 89	syldan 592	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
91	90	ralrimiva 3147	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
92		iunss 5049	. . . . . 6 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
93	91, 92	sylibr 233	. . . . 5 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
94	93	adantr 482	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (𝑅1‘𝑥) ⊆ 𝑈)
95	20, 94	eqsstrd 4021	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝑈 ≠ ∅) → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)
96	95	ex 414	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑈 ≠ ∅ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈))
97	13, 96	pm2.61dne 3029	1 ⊢ (𝑈 ∈ Univ → (𝑅1‘𝐴) ⊆ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941  ∀wral 3062  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  ∅c0 4323  𝒫 cpw 4603  ∪ ciun 4998  Ord word 6364  Oncon0 6365  Lim wlim 6366  suc csuc 6367  ‘cfv 6544  𝑅₁cr1 9757  Inacc_wcwina 10677  Inacccina 10678  Univcgru 10785

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-ac2 10458

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-r1 9759  df-card 9934  df-cf 9936  df-ac 10111  df-wina 10679  df-ina 10680  df-gru 10786

This theorem is referenced by:  grur1  10815