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Theorem grur1 10815
Description: A characterization of Grothendieck universes, part 2. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jun-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
gruina.1 𝐴 = (π‘ˆ ∩ On)
Assertion
Ref Expression
grur1 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ π‘ˆ = (𝑅1β€˜π΄))

Proof of Theorem grur1
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nss 4047 . . . . 5 (Β¬ π‘ˆ βŠ† (𝑅1β€˜π΄) ↔ βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄)))
2 fveqeq2 6901 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = π‘₯ β†’ ((rankβ€˜π‘¦) = 𝐴 ↔ (rankβ€˜π‘₯) = 𝐴))
32rspcev 3613 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘₯) = 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)
43ex 414 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ ((rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴))
54ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ ((rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴))
6 simplr 768 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
7 simprl 770 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ π‘ˆ)
8 r1elssi 9800 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ π‘ˆ βŠ† βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
98sseld 3982 . . . . . . . . . . . 12 (π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)))
106, 7, 9sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On))
11 tcrank 9879 . . . . . . . . . . 11 (π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) β†’ (rankβ€˜π‘₯) = (rank β€œ (TCβ€˜π‘₯)))
1210, 11syl 17 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ (rankβ€˜π‘₯) = (rank β€œ (TCβ€˜π‘₯)))
1312eleq2d 2820 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ (𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯) ↔ 𝐴 ∈ (rank β€œ (TCβ€˜π‘₯))))
14 gruelss 10789 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ π‘₯ βŠ† π‘ˆ)
15 grutr 10788 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘ˆ ∈ Univ β†’ Tr π‘ˆ)
1615adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ Tr π‘ˆ)
17 vex 3479 . . . . . . . . . . . . 13 π‘₯ ∈ V
18 tcmin 9736 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘₯ ∈ V β†’ ((π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ Tr π‘ˆ) β†’ (TCβ€˜π‘₯) βŠ† π‘ˆ))
1917, 18ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ βŠ† π‘ˆ ∧ Tr π‘ˆ) β†’ (TCβ€˜π‘₯) βŠ† π‘ˆ)
2014, 16, 19syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (TCβ€˜π‘₯) βŠ† π‘ˆ)
21 rankf 9789 . . . . . . . . . . . . 13 rank:βˆͺ (𝑅1 β€œ On)⟢On
22 ffun 6721 . . . . . . . . . . . . 13 (rank:βˆͺ (𝑅1 β€œ On)⟢On β†’ Fun rank)
2321, 22ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 Fun rank
24 fvelima 6958 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun rank ∧ 𝐴 ∈ (rank β€œ (TCβ€˜π‘₯))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (TCβ€˜π‘₯)(rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)
2523, 24mpan 689 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ (rank β€œ (TCβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ (TCβ€˜π‘₯)(rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)
26 ssrexv 4052 . . . . . . . . . . 11 ((TCβ€˜π‘₯) βŠ† π‘ˆ β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ (TCβ€˜π‘₯)(rankβ€˜π‘¦) = 𝐴 β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴))
2720, 25, 26syl2im 40 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (𝐴 ∈ (rank β€œ (TCβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴))
2827ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ (𝐴 ∈ (rank β€œ (TCβ€˜π‘₯)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴))
2913, 28sylbid 239 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ (𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴))
30 simprr 772 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))
31 ne0i 4335 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ ∈ π‘ˆ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
32 gruina.1 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝐴 = (π‘ˆ ∩ On)
3332gruina 10813 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 ∈ Inacc)
3431, 33sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ Inacc)
35 inawina 10685 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Inacc β†’ 𝐴 ∈ Inaccw)
36 winaon 10683 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ Inaccw β†’ 𝐴 ∈ On)
3734, 35, 363syl 18 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ On)
38 r1fnon 9762 . . . . . . . . . . . . . 14 𝑅1 Fn On
39 fndm 6653 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑅1 Fn On β†’ dom 𝑅1 = On)
4038, 39ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 dom 𝑅1 = On
4137, 40eleqtrrdi 2845 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
4241ad2ant2r 746 . . . . . . . . . . 11 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ 𝐴 ∈ dom 𝑅1)
43 rankr1ag 9797 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On) ∧ 𝐴 ∈ dom 𝑅1) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄) ↔ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴))
4410, 42, 43syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ (π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄) ↔ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴))
4530, 44mtbid 324 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ Β¬ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴)
46 rankon 9790 . . . . . . . . . . . . 13 (rankβ€˜π‘₯) ∈ On
47 eloni 6375 . . . . . . . . . . . . . 14 ((rankβ€˜π‘₯) ∈ On β†’ Ord (rankβ€˜π‘₯))
48 eloni 6375 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐴 ∈ On β†’ Ord 𝐴)
49 ordtri3or 6397 . . . . . . . . . . . . . 14 ((Ord (rankβ€˜π‘₯) ∧ Ord 𝐴) β†’ ((rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴 ∨ (rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯)))
5047, 48, 49syl2an 597 . . . . . . . . . . . . 13 (((rankβ€˜π‘₯) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ On) β†’ ((rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴 ∨ (rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯)))
5146, 37, 50sylancr 588 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴 ∨ (rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯)))
52 3orass 1091 . . . . . . . . . . . 12 (((rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴 ∨ (rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯)) ↔ ((rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴 ∨ ((rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯))))
5351, 52sylib 217 . . . . . . . . . . 11 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ ((rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴 ∨ ((rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯))))
5453ord 863 . . . . . . . . . 10 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘₯ ∈ π‘ˆ) β†’ (Β¬ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴 β†’ ((rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯))))
5554ad2ant2r 746 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ (Β¬ (rankβ€˜π‘₯) ∈ 𝐴 β†’ ((rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯))))
5645, 55mpd 15 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ ((rankβ€˜π‘₯) = 𝐴 ∨ 𝐴 ∈ (rankβ€˜π‘₯)))
575, 29, 56mpjaod 859 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄))) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)
5857ex 414 . . . . . 6 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ ((π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴))
5958exlimdv 1937 . . . . 5 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ (βˆƒπ‘₯(π‘₯ ∈ π‘ˆ ∧ Β¬ π‘₯ ∈ (𝑅1β€˜π΄)) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴))
601, 59biimtrid 241 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ (Β¬ π‘ˆ βŠ† (𝑅1β€˜π΄) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴))
61 simpll 766 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)) β†’ π‘ˆ ∈ Univ)
62 ne0i 4335 . . . . . . . . . 10 (𝑦 ∈ π‘ˆ β†’ π‘ˆ β‰  βˆ…)
6362, 33sylan2 594 . . . . . . . . 9 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ 𝑦 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝐴 ∈ Inacc)
6463ad2ant2r 746 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ Inacc)
6564, 35, 363syl 18 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ On)
66 simprl 770 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)) β†’ 𝑦 ∈ π‘ˆ)
67 fveq2 6892 . . . . . . . . . 10 ((rankβ€˜π‘¦) = 𝐴 β†’ (cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦)) = (cfβ€˜π΄))
6867ad2antll 728 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)) β†’ (cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦)) = (cfβ€˜π΄))
69 elina 10682 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 ∈ Inacc ↔ (𝐴 β‰  βˆ… ∧ (cfβ€˜π΄) = 𝐴 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝐴 𝒫 π‘₯ β‰Ί 𝐴))
7069simp2bi 1147 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ Inacc β†’ (cfβ€˜π΄) = 𝐴)
7164, 70syl 17 . . . . . . . . 9 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)) β†’ (cfβ€˜π΄) = 𝐴)
7268, 71eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)) β†’ (cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦)) = 𝐴)
73 rankcf 10772 . . . . . . . . 9 Β¬ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦))
74 fvex 6905 . . . . . . . . . 10 (cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦)) ∈ V
75 vex 3479 . . . . . . . . . 10 𝑦 ∈ V
76 domtri 10551 . . . . . . . . . 10 (((cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦)) ∈ V ∧ 𝑦 ∈ V) β†’ ((cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦)) β‰Ό 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦))))
7774, 75, 76mp2an 691 . . . . . . . . 9 ((cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦)) β‰Ό 𝑦 ↔ Β¬ 𝑦 β‰Ί (cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦)))
7873, 77mpbir 230 . . . . . . . 8 (cfβ€˜(rankβ€˜π‘¦)) β‰Ό 𝑦
7972, 78eqbrtrrdi 5189 . . . . . . 7 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝑦)
80 grudomon 10812 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ On ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 β‰Ό 𝑦)) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
8161, 65, 66, 79, 80syl112anc 1375 . . . . . 6 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)) β†’ 𝐴 ∈ π‘ˆ)
82 elin 3965 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (π‘ˆ ∩ On) ↔ (𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ On))
8382biimpri 227 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ On) β†’ 𝐴 ∈ (π‘ˆ ∩ On))
8483, 32eleqtrrdi 2845 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ On) β†’ 𝐴 ∈ 𝐴)
85 ordirr 6383 . . . . . . . . 9 (Ord 𝐴 β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8648, 85syl 17 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ On β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8786adantl 483 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ On) β†’ Β¬ 𝐴 ∈ 𝐴)
8884, 87pm2.21dd 194 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ π‘ˆ ∧ 𝐴 ∈ On) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑅1β€˜π΄))
8981, 65, 88syl2anc 585 . . . . 5 (((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) ∧ (𝑦 ∈ π‘ˆ ∧ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴)) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑅1β€˜π΄))
9089rexlimdvaa 3157 . . . 4 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ (βˆƒπ‘¦ ∈ π‘ˆ (rankβ€˜π‘¦) = 𝐴 β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑅1β€˜π΄)))
9160, 90syld 47 . . 3 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ (Β¬ π‘ˆ βŠ† (𝑅1β€˜π΄) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑅1β€˜π΄)))
9291pm2.18d 127 . 2 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ π‘ˆ βŠ† (𝑅1β€˜π΄))
9332grur1a 10814 . . 3 (π‘ˆ ∈ Univ β†’ (𝑅1β€˜π΄) βŠ† π‘ˆ)
9493adantr 482 . 2 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ (𝑅1β€˜π΄) βŠ† π‘ˆ)
9592, 94eqssd 4000 1 ((π‘ˆ ∈ Univ ∧ π‘ˆ ∈ βˆͺ (𝑅1 β€œ On)) β†’ π‘ˆ = (𝑅1β€˜π΄))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∨ wo 846   ∨ w3o 1087   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆ€wral 3062  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   ∩ cin 3948   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149  Tr wtr 5266  dom cdm 5677   β€œ cima 5680  Ord word 6364  Oncon0 6365  Fun wfun 6538   Fn wfn 6539  βŸΆwf 6540  β€˜cfv 6544   β‰Ό cdom 8937   β‰Ί csdm 8938  TCctc 9731  π‘…1cr1 9757  rankcrnk 9758  cfccf 9932  Inaccwcwina 10677  Inacccina 10678  Univcgru 10785
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-ac2 10458
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-tc 9732  df-r1 9759  df-rank 9760  df-card 9934  df-cf 9936  df-acn 9937  df-ac 10111  df-wina 10679  df-ina 10680  df-gru 10786
This theorem is referenced by:  grutsk  10817  bj-grur1  35944  grurankcld  42992
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