Theorem gruuni 10898

Description: A Grothendieck universe contains unions of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruuni	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 5020	. 2 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2		gruelss 10892	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ⊆ 𝑈)
3		dfss3 3902	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
4	2, 3	sylib 221	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
5		gruiun 10897	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
6	4, 5	mpd3an3 1491	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
7	1, 6	eqeltrid 2868	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑈)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  ∪ cuni 4870  ∪ ciun 4954  Univcgru 10888

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-fv 6555  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-map 8863  df-gru 10889

This theorem is used by:  gruwun  10911  gruina  10916  grumnudlem  45412