Theorem gruuni 10776

Description: A Grothendieck universe contains unions of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruuni	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 5053	. 2 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2		gruelss 10770	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ⊆ 𝑈)
3		dfss3 3965	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
4	2, 3	sylib 217	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
5		gruiun 10775	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
6	4, 5	mpd3an3 1462	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
7	1, 6	eqeltrid 2836	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2106  ∀wral 3060   ⊆ wss 3943  ∪ cuni 4900  ∪ ciun 4989  Univcgru 10766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5291  ax-nul 5298  ax-pow 5355  ax-pr 5419  ax-un 7707

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3474  df-sbc 3773  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4991  df-br 5141  df-opab 5203  df-mpt 5224  df-tr 5258  df-id 5566  df-xp 5674  df-rel 5675  df-cnv 5676  df-co 5677  df-dm 5678  df-rn 5679  df-res 5680  df-ima 5681  df-iota 6483  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-fv 6539  df-ov 7395  df-oprab 7396  df-mpo 7397  df-map 8804  df-gru 10767

This theorem is referenced by:  gruwun  10789  gruina  10794  grumnudlem  42803