Theorem gruuni 10715

Description: A Grothendieck universe contains unions of its elements. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jun-2013.)

Assertion

Ref	Expression
gruuni	⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑈)

Proof of Theorem gruuni

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uniiun 4989	. 2 ⊢ ∪ 𝐴 = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥
2		gruelss 10709	. . . 4 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → 𝐴 ⊆ 𝑈)
3		dfss3 3904	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ 𝑈 ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
4	2, 3	sylib 219	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
5		gruiun 10714	. . 3 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
6	4, 5	mpd3an3 1470	. 2 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝑥 ∈ 𝑈)
7	1, 6	eqeltrid 2843	1 ⊢ ((𝑈 ∈ Univ ∧ 𝐴 ∈ 𝑈) → ∪ 𝐴 ∈ 𝑈)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883  ∪ cuni 4839  ∪ ciun 4922  Univcgru 10705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-fv 6494  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-map 8766  df-gru 10706

This theorem is referenced by:  gruwun  10728  gruina  10733  grumnudlem  44738