Theorem infcllem 8681

Description: Lemma for infcl 8682, inflb 8683, infglb 8684, etc. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
infcl.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))

Assertion

Ref	Expression
infcllem	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infcllem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infcl.2	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
2		vex 3401	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑥 ∈ V
3		vex 3401	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑦 ∈ V
4	2, 3	brcnv 5550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)
5	4	bicomi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑦𝑅𝑥 ↔ 𝑥◡𝑅𝑦)
6	5	notbii 312	. . . . 5 ⊢ (¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥◡𝑅𝑦)
7	6	ralbii 3162	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦)
8	3, 2	brcnv 5550	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
9	8	bicomi 216	. . . . . 6 ⊢ (𝑥𝑅𝑦 ↔ 𝑦◡𝑅𝑥)
10		vex 3401	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑧 ∈ V
11	3, 10	brcnv 5550	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
12	11	bicomi 216	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧𝑅𝑦 ↔ 𝑦◡𝑅𝑧)
13	12	rexbii 3224	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)
14	9, 13	imbi12i 342	. . . . 5 ⊢ ((𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))
15	14	ralbii 3162	. . . 4 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))
16	7, 15	anbi12i 620	. . 3 ⊢ ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
17	16	rexbii 3224	. 2 ⊢ (∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
18	1, 17	sylib 210	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 386  ∀wral 3090  ∃wrex 3091   class class class wbr 4886   Or wor 5273  ^◡ccnv 5354

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pr 5138

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ral 3095  df-rex 3096  df-rab 3099  df-v 3400  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-br 4887  df-opab 4949  df-cnv 5363

This theorem is referenced by:  infcl  8682  inflb  8683  infglb  8684  infglbb  8685  infiso  8702