MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcllem 9505
Description: Lemma for infcl 9506, inflb 9507, infglb 9508, etc. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infcl.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
infcl.2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Assertion
Ref Expression
infcllem (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infcllem
StepHypRef Expression
1 infcl.2 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
2 vex 3474 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3 vex 3474 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
42, 3brcnv 5880 . . . . . . 7 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
54bicomi 223 . . . . . 6 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
65notbii 320 . . . . 5 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
76ralbii 3089 . . . 4 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
83, 2brcnv 5880 . . . . . . 7 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
98bicomi 223 . . . . . 6 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
10 vex 3474 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
113, 10brcnv 5880 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1211bicomi 223 . . . . . . 7 (𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧)
1312rexbii 3090 . . . . . 6 (∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
149, 13imbi12i 350 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1514ralbii 3089 . . . 4 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
167, 15anbi12i 627 . . 3 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1716rexbii 3090 . 2 (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
181, 17sylib 217 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 395  wral 3057  wrex 3066   class class class wbr 5143   Or wor 5584  ccnv 5672
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pr 5424
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3429  df-v 3472  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4320  df-if 4526  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-br 5144  df-opab 5206  df-cnv 5681
This theorem is referenced by:  infcl  9506  inflb  9507  infglb  9508  infglbb  9509  infiso  9526
  Copyright terms: Public domain W3C validator