MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infcllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infcllem 8939
Description: Lemma for infcl 8940, inflb 8941, infglb 8942, etc. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infcl.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
infcl.2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Assertion
Ref Expression
infcllem (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem infcllem
StepHypRef Expression
1 infcl.2 . 2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
2 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑥 ∈ V
3 vex 3472 . . . . . . . 8 𝑦 ∈ V
42, 3brcnv 5730 . . . . . . 7 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
54bicomi 227 . . . . . 6 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
65notbii 323 . . . . 5 𝑦𝑅𝑥 ↔ ¬ 𝑥𝑅𝑦)
76ralbii 3157 . . . 4 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦)
83, 2brcnv 5730 . . . . . . 7 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
98bicomi 227 . . . . . 6 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
10 vex 3472 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ V
113, 10brcnv 5730 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1211bicomi 227 . . . . . . 7 (𝑧𝑅𝑦𝑦𝑅𝑧)
1312rexbii 3235 . . . . . 6 (∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)
149, 13imbi12i 354 . . . . 5 ((𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
1514ralbii 3157 . . . 4 (∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))
167, 15anbi12i 629 . . 3 ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
1716rexbii 3235 . 2 (∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)) ↔ ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
181, 17sylib 221 1 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 399  wral 3130  wrex 3131   class class class wbr 5042   Or wor 5450  ccnv 5531
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pr 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ral 3135  df-rex 3136  df-v 3471  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-br 5043  df-opab 5105  df-cnv 5540
This theorem is referenced by:  infcl  8940  inflb  8941  infglb  8942  infglbb  8943  infiso  8960
  Copyright terms: Public domain W3C validator