Theorem infval 9457

Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
infexd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infval	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 9413	. 2 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2		infexd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
3		cnvso 6296	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
4	2, 3	sylib 221	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 Or 𝐴)
5	4	supval2 9425	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))
6		vex 3462	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		vex 3462	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
8	6, 7	brcnv 5873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥))
10	9	notbid 321	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
11	10	ralbidv 3191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	7, 6	brcnv 5873	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
14		vex 3462	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
15	7, 14	brcnv 5873	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦))
17	16	rexbidv 3192	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
18	13, 17	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
19	18	ralbidv 3191	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
20	11, 19	anbi12d 644	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
21	20	riotabidv 7382	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
22	5, 21	eqtrd 2801	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
23	1, 22	eqtrid 2813	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   class class class wbr 5114   Or wor 5573  ^◡ccnv 5665  ℩crio 7379  supcsup 9410  infcinf 9411

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-sep 5262  ax-pr 5409

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-br 5115  df-opab 5179  df-po 5574  df-so 5575  df-cnv 5674  df-iota 6499  df-riota 7380  df-sup 9412  df-inf 9413

This theorem is used by: (None)