Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infval 8984
 Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)
Hypothesis
Ref Expression
infexd.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
Assertion
Ref Expression
infval (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infval
StepHypRef Expression
1 df-inf 8941 . 2 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
2 infexd.1 . . . . 5 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
3 cnvso 6118 . . . . 5 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
42, 3sylib 221 . . . 4 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
54supval2 8953 . . 3 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))))
6 vex 3414 . . . . . . . . 9 𝑥 ∈ V
7 vex 3414 . . . . . . . . 9 𝑦 ∈ V
86, 7brcnv 5723 . . . . . . . 8 (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥)
98a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑅𝑦𝑦𝑅𝑥))
109notbid 322 . . . . . 6 (𝜑 → (¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
1110ralbidv 3127 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
127, 6brcnv 5723 . . . . . . . 8 (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦)
1312a1i 11 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑥𝑥𝑅𝑦))
14 vex 3414 . . . . . . . . . 10 𝑧 ∈ V
157, 14brcnv 5723 . . . . . . . . 9 (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦)
1615a1i 11 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑦𝑅𝑧𝑧𝑅𝑦))
1716rexbidv 3222 . . . . . . 7 (𝜑 → (∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))
1813, 17imbi12d 349 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
1918ralbidv 3127 . . . . 5 (𝜑 → (∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
2011, 19anbi12d 634 . . . 4 (𝜑 → ((∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
2120riotabidv 7111 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧))) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
225, 21eqtrd 2794 . 2 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
231, 22syl5eq 2806 1 (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   = wceq 1539  ∀wral 3071  ∃wrex 3072   class class class wbr 5033   Or wor 5443  ◡ccnv 5524  ℩crio 7108  supcsup 8938  infcinf 8939 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2730  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pr 5299 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 846  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2071  df-mo 2558  df-eu 2589  df-clab 2737  df-cleq 2751  df-clel 2831  df-nfc 2902  df-ne 2953  df-ral 3076  df-rex 3077  df-reu 3078  df-rmo 3079  df-rab 3080  df-v 3412  df-sbc 3698  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3876  df-nul 4227  df-if 4422  df-sn 4524  df-pr 4526  df-op 4530  df-uni 4800  df-br 5034  df-opab 5096  df-po 5444  df-so 5445  df-cnv 5533  df-iota 6295  df-riota 7109  df-sup 8940  df-inf 8941 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator