Theorem infval 9445

Description: Alternate expression for the infimum. (Contributed by AV, 2-Sep-2020.)

Hypothesis

Ref	Expression
infexd.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infval	⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))

Distinct variable groups:   𝑦,𝐴,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦,𝑅,𝑧   𝑥,𝐴   𝑥,𝐵   𝑥,𝑅   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 9401	. 2 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2		infexd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
3		cnvso 6264	. . . . 5 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
4	2, 3	sylib 218	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 Or 𝐴)
5	4	supval2 9413	. . 3 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))))
6		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑥 ∈ V
7		vex 3454	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑦 ∈ V
8	6, 7	brcnv 5849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥)
9	8	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥◡𝑅𝑦 ↔ 𝑦𝑅𝑥))
10	9	notbid 318	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ↔ ¬ 𝑦𝑅𝑥))
11	10	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥))
12	7, 6	brcnv 5849	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦)
13	12	a1i 11	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑦◡𝑅𝑥 ↔ 𝑥𝑅𝑦))
14		vex 3454	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑧 ∈ V
15	7, 14	brcnv 5849	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦)
16	15	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑦◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝑦))
17	16	rexbidv 3158	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))
18	13, 17	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧) ↔ (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
19	18	ralbidv 3157	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧) ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
20	11, 19	anbi12d 632	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)) ↔ (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
21	20	riotabidv 7349	. . 3 ⊢ (𝜑 → (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧))) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
22	5, 21	eqtrd 2765	. 2 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))
23	1, 22	eqtrid 2777	1 ⊢ (𝜑 → inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = (℩𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦))))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540  ∀wral 3045  ∃wrex 3054   class class class wbr 5110   Or wor 5548  ^◡ccnv 5640  ℩crio 7346  supcsup 9398  infcinf 9399

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-dif 3920  df-un 3922  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-po 5549  df-so 5550  df-cnv 5649  df-iota 6467  df-riota 7347  df-sup 9400  df-inf 9401

This theorem is referenced by: (None)