MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infglb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infglb 9528
Description: An infimum is the greatest lower bound. See also infcl 9526 and inflb 9527. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infcl.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
infcl.2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
Assertion
Ref Expression
infglb (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infglb
StepHypRef Expression
1 df-inf 9481 . . . . 5 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
21breq1i 5155 . . . 4 (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶)
3 simpr 484 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶𝐴)
4 infcl.1 . . . . . . . 8 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
5 cnvso 6310 . . . . . . . 8 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
64, 5sylib 218 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
7 infcl.2 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
84, 7infcllem 9525 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
96, 8supcl 9496 . . . . . 6 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
109adantr 480 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐴) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
11 brcnvg 5893 . . . . . 6 ((𝐶𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶))
1211bicomd 223 . . . . 5 ((𝐶𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
133, 10, 12syl2anc 584 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
142, 13bitrid 283 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
156, 8suplub 9498 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐶𝐴𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)) → ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
1615expdimp 452 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
17 vex 3482 . . . . . 6 𝑧 ∈ V
18 brcnvg 5893 . . . . . 6 ((𝐶𝐴𝑧 ∈ V) → (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑅𝐶))
193, 17, 18sylancl 586 . . . . 5 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑅𝐶))
2019rexbidv 3177 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2116, 20sylibd 239 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2214, 21sylbid 240 . 2 ((𝜑𝐶𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2322expimpd 453 1 (𝜑 → ((𝐶𝐴 ∧ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶) → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 206  wa 395  wcel 2106  wral 3059  wrex 3068  Vcvv 3478   class class class wbr 5148   Or wor 5596  ccnv 5688  supcsup 9478  infcinf 9479
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-po 5597  df-so 5598  df-cnv 5697  df-iota 6516  df-riota 7388  df-sup 9480  df-inf 9481
This theorem is referenced by:  infnlb  9530  omssubaddlem  34281  omssubadd  34282  gtinf  36302  infxrunb2  45318
  Copyright terms: Public domain W3C validator