Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infglbb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infglbb 8947
 Description: Bidirectional form of infglb 8946. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infcl.1 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
infcl.2 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
infglbb.3 (𝜑𝐵𝐴)
Assertion
Ref Expression
infglbb ((𝜑𝐶𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infglbb
StepHypRef Expression
1 df-inf 8899 . . 3 inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)
21breq1i 5069 . 2 (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶)
3 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → 𝐶𝐴)
4 infcl.1 . . . . . . 7 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
5 cnvso 6136 . . . . . . 7 (𝑅 Or 𝐴𝑅 Or 𝐴)
64, 5sylib 219 . . . . . 6 (𝜑𝑅 Or 𝐴)
7 infcl.2 . . . . . . 7 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
84, 7infcllem 8943 . . . . . 6 (𝜑 → ∃𝑥𝐴 (∀𝑦𝐵 ¬ 𝑥𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦𝐴 (𝑦𝑅𝑥 → ∃𝑧𝐵 𝑦𝑅𝑧)))
96, 8supcl 8914 . . . . 5 (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
109adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴)
11 brcnvg 5748 . . . . 5 ((𝐶𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶))
1211bicomd 224 . . . 4 ((𝐶𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
133, 10, 12syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)))
14 infglbb.3 . . . 4 (𝜑𝐵𝐴)
156, 8, 14suplub2 8917 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅sup(𝐵, 𝐴, 𝑅) ↔ ∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧))
16 vex 3502 . . . . 5 𝑧 ∈ V
17 brcnvg 5748 . . . . 5 ((𝐶𝐴𝑧 ∈ V) → (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑅𝐶))
183, 16, 17sylancl 586 . . . 4 ((𝜑𝐶𝐴) → (𝐶𝑅𝑧𝑧𝑅𝐶))
1918rexbidv 3301 . . 3 ((𝜑𝐶𝐴) → (∃𝑧𝐵 𝐶𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
2013, 15, 193bitrd 306 . 2 ((𝜑𝐶𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
212, 20syl5bb 284 1 ((𝜑𝐶𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ ∃𝑧𝐵 𝑧𝑅𝐶))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∈ wcel 2107  ∀wral 3142  ∃wrex 3143  Vcvv 3499   ⊆ wss 3939   class class class wbr 5062   Or wor 5471  ◡ccnv 5552  supcsup 8896  infcinf 8897 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pr 5325 This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-ral 3147  df-rex 3148  df-reu 3149  df-rmo 3150  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-po 5472  df-so 5473  df-cnv 5561  df-iota 6311  df-riota 7109  df-sup 8898  df-inf 8899 This theorem is referenced by:  infregelb  11617  infxrgelb  12721  infxrge0glb  30402  infxrglb  41469  infrglb  41732
 Copyright terms: Public domain W3C validator