Theorem infglbb 9395

Description: Bidirectional form of infglb 9394. (Contributed by AV, 3-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infcl.1	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
infcl.2	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
infglbb.3	⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infglbb	⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝐶))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑧,𝐶   𝜑,𝑧

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝐶(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem infglbb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-inf 9346	. . 3 ⊢ inf(𝐵, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)
2	1	breq1i 5105	. 2 ⊢ (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)𝑅𝐶)
3		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → 𝐶 ∈ 𝐴)
4		infcl.1	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
5		cnvso 6246	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
6	4, 5	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 Or 𝐴)
7		infcl.2	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝑦)))
8	4, 7	infcllem 9391	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐵 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑦◡𝑅𝑧)))
9	6, 8	supcl 9361	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐴)
10	9	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐴)
11		brcnvg 5828	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐴) → (𝐶◡𝑅sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ↔ sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)𝑅𝐶))
12	11	bicomd 223	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)𝑅𝐶 ↔ 𝐶◡𝑅sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)))
13	3, 10, 12	syl2anc 584	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)𝑅𝐶 ↔ 𝐶◡𝑅sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)))
14		infglbb.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ⊆ 𝐴)
15	6, 8, 14	suplub2 9364	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶◡𝑅sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅) ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶◡𝑅𝑧))
16		vex 3444	. . . . 5 ⊢ 𝑧 ∈ V
17		brcnvg 5828	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ V) → (𝐶◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝐶))
18	3, 16, 17	sylancl 586	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (𝐶◡𝑅𝑧 ↔ 𝑧𝑅𝐶))
19	18	rexbidv 3160	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (∃𝑧 ∈ 𝐵 𝐶◡𝑅𝑧 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝐶))
20	13, 15, 19	3bitrd 305	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (sup(𝐵, 𝐴, ◡𝑅)𝑅𝐶 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝐶))
21	2, 20	bitrid 283	1 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝐶 ∈ 𝐴) → (inf(𝐵, 𝐴, 𝑅)𝑅𝐶 ↔ ∃𝑧 ∈ 𝐵 𝑧𝑅𝐶))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  ∃wrex 3060  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   class class class wbr 5098   Or wor 5531  ^◡ccnv 5623  supcsup 9343  infcinf 9344

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-po 5532  df-so 5533  df-cnv 5632  df-iota 6448  df-riota 7315  df-sup 9345  df-inf 9346

This theorem is referenced by:  infregelb  12126  infxrgelb  13251  infxrge0glb  32845  infxrglb  45585  infrglb  45836