MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infiso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infiso 9451
Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
infiso.1 (πœ‘ β†’ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐡))
infiso.2 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
infiso.3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 Β¬ 𝑦𝑅π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯𝑅𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧𝑅𝑦)))
infiso.4 (πœ‘ β†’ 𝑅 Or 𝐴)
Assertion
Ref Expression
infiso (πœ‘ β†’ inf((𝐹 β€œ 𝐢), 𝐡, 𝑆) = (πΉβ€˜inf(𝐢, 𝐴, 𝑅)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐡,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐢,𝑦,𝑧   π‘₯,𝐹,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑅,𝑦,𝑧   π‘₯,𝑆,𝑦,𝑧   πœ‘,π‘₯,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infiso
StepHypRef Expression
1 infiso.1 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐡))
2 isocnv2 7281 . . . 4 (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐡) ↔ 𝐹 Isom ◑𝑅, ◑𝑆(𝐴, 𝐡))
31, 2sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐹 Isom ◑𝑅, ◑𝑆(𝐴, 𝐡))
4 infiso.2 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐢 βŠ† 𝐴)
5 infiso.4 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑅 Or 𝐴)
6 infiso.3 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 Β¬ 𝑦𝑅π‘₯ ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (π‘₯𝑅𝑦 β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑧𝑅𝑦)))
75, 6infcllem 9430 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆƒπ‘₯ ∈ 𝐴 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝐢 Β¬ π‘₯◑𝑅𝑦 ∧ βˆ€π‘¦ ∈ 𝐴 (𝑦◑𝑅π‘₯ β†’ βˆƒπ‘§ ∈ 𝐢 𝑦◑𝑅𝑧)))
8 cnvso 6245 . . . 4 (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◑𝑅 Or 𝐴)
95, 8sylib 217 . . 3 (πœ‘ β†’ ◑𝑅 Or 𝐴)
103, 4, 7, 9supiso 9418 . 2 (πœ‘ β†’ sup((𝐹 β€œ 𝐢), 𝐡, ◑𝑆) = (πΉβ€˜sup(𝐢, 𝐴, ◑𝑅)))
11 df-inf 9386 . 2 inf((𝐹 β€œ 𝐢), 𝐡, 𝑆) = sup((𝐹 β€œ 𝐢), 𝐡, ◑𝑆)
12 df-inf 9386 . . 3 inf(𝐢, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐢, 𝐴, ◑𝑅)
1312fveq2i 6850 . 2 (πΉβ€˜inf(𝐢, 𝐴, 𝑅)) = (πΉβ€˜sup(𝐢, 𝐴, ◑𝑅))
1410, 11, 133eqtr4g 2802 1 (πœ‘ β†’ inf((𝐹 β€œ 𝐢), 𝐡, 𝑆) = (πΉβ€˜inf(𝐢, 𝐴, 𝑅)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074   βŠ† wss 3915   class class class wbr 5110   Or wor 5549  β—‘ccnv 5637   β€œ cima 5641  β€˜cfv 6501   Isom wiso 6502  supcsup 9383  infcinf 9384
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pr 5389
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-sup 9385  df-inf 9386
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator