Theorem infiso 9197

Description: Image of an infimum under an isomorphism. (Contributed by AV, 4-Sep-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
infiso.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
infiso.2	⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
infiso.3	⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
infiso.4	⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)

Assertion

Ref	Expression
infiso	⊢ (𝜑 → inf((𝐹 “ 𝐶), 𝐵, 𝑆) = (𝐹‘inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦,𝑧   𝑥,𝐵,𝑦,𝑧   𝑥,𝐶,𝑦,𝑧   𝑥,𝐹,𝑦,𝑧   𝑥,𝑅,𝑦,𝑧   𝑥,𝑆,𝑦,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem infiso

Step	Hyp	Ref	Expression
1		infiso.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵))
2		isocnv2 7182	. . . 4 ⊢ (𝐹 Isom 𝑅, 𝑆 (𝐴, 𝐵) ↔ 𝐹 Isom ◡𝑅, ◡𝑆(𝐴, 𝐵))
3	1, 2	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐹 Isom ◡𝑅, ◡𝑆(𝐴, 𝐵))
4		infiso.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ⊆ 𝐴)
5		infiso.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑅 Or 𝐴)
6		infiso.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑦𝑅𝑥 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥𝑅𝑦 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑧𝑅𝑦)))
7	5, 6	infcllem 9176	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∃𝑥 ∈ 𝐴 (∀𝑦 ∈ 𝐶 ¬ 𝑥◡𝑅𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦◡𝑅𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐶 𝑦◡𝑅𝑧)))
8		cnvso 6180	. . . 4 ⊢ (𝑅 Or 𝐴 ↔ ◡𝑅 Or 𝐴)
9	5, 8	sylib 217	. . 3 ⊢ (𝜑 → ◡𝑅 Or 𝐴)
10	3, 4, 7, 9	supiso 9164	. 2 ⊢ (𝜑 → sup((𝐹 “ 𝐶), 𝐵, ◡𝑆) = (𝐹‘sup(𝐶, 𝐴, ◡𝑅)))
11		df-inf 9132	. 2 ⊢ inf((𝐹 “ 𝐶), 𝐵, 𝑆) = sup((𝐹 “ 𝐶), 𝐵, ◡𝑆)
12		df-inf 9132	. . 3 ⊢ inf(𝐶, 𝐴, 𝑅) = sup(𝐶, 𝐴, ◡𝑅)
13	12	fveq2i 6759	. 2 ⊢ (𝐹‘inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)) = (𝐹‘sup(𝐶, 𝐴, ◡𝑅))
14	10, 11, 13	3eqtr4g 2804	1 ⊢ (𝜑 → inf((𝐹 “ 𝐶), 𝐵, 𝑆) = (𝐹‘inf(𝐶, 𝐴, 𝑅)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883   class class class wbr 5070   Or wor 5493  ^◡ccnv 5579   “ cima 5583  ‘cfv 6418   Isom wiso 6419  supcsup 9129  infcinf 9130

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pr 5347

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-sup 9131  df-inf 9132

This theorem is referenced by: (None)