Theorem mulridd 11161

Description: Identity law for multiplication. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
addcld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)

Assertion

Ref	Expression
mulridd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Proof of Theorem mulridd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addcld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
2		mulrid 11142	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (𝐴 · 1) = 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 1) = 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7368  ℂcc 11036  1c1 11039   · cmul 11043

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-mulcl 11100  ax-mulcom 11102  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-1rid 11108  ax-cnre 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371

This theorem is referenced by:  muladd11  11315  muls1d  11609  divrec  11824  diveq1  11838  conjmul  11870  divelunit  13422  modid  13828  addmodlteq  13881  expadd  14039  leexp2r  14109  nnlesq  14140  sqoddm1div8  14178  faclbnd  14225  faclbnd2  14226  faclbnd4lem3  14230  faclbnd6  14234  facavg  14236  bcn0  14245  bcn1  14248  hashf1lem2  14391  hashfac  14393  reccn2  15532  iseraltlem2  15618  iseraltlem3  15619  hash2iun1dif1  15759  binom11  15767  harmonic  15794  trireciplem  15797  geoserg  15801  pwdif  15803  pwm1geoser  15804  cvgrat  15818  fprodsplit  15901  fprodle  15931  fsumcube  15995  efzval  16039  tanhlt1  16097  tanaddlem  16103  tanadd  16104  cos01gt0  16128  absef  16134  1dvds  16209  bitsfzo  16374  bitsmod  16375  sqgcd  16501  expgcd  16502  lcm1  16549  coprmdvds  16592  qredeu  16597  phiprmpw  16715  coprimeprodsq  16748  pc2dvds  16819  sumhash  16836  fldivp1  16837  pcfaclem  16838  prmpwdvds  16844  prmreclem1  16856  vdwlem3  16923  vdwlem9  16929  prmop1  16978  sylow2a  19560  odadd  19791  zsssubrg  21392  zringcyg  21436  prmirredlem  21439  mulgrhm2  21445  pzriprnglem6  21453  pzriprnglem12  21459  znrrg  21532  mhppwdeg  22105  icopnfcnv  24908  icopnfhmeo  24909  lebnumii  24933  reparphti  24964  reparphtiOLD  24965  itg2const  25709  itg2monolem3  25721  bddibl  25809  dveflem  25951  mvth  25965  dvlipcn  25967  dvivthlem1  25981  dvfsumle  25994  dvfsumleOLD  25995  dvfsumabs  25997  dvfsumlem2  26001  dvfsumlem2OLD  26002  plyconst  26179  plyeq0lem  26183  plyco  26214  0dgrb  26219  coefv0  26221  vieta1  26288  aaliou3lem2  26319  tayl0  26337  taylply2  26343  taylply2OLD  26344  dvtaylp  26346  taylthlem2  26350  taylthlem2OLD  26351  radcnvlem1  26390  abelthlem1  26409  abelthlem2  26410  abelthlem3  26411  abelthlem7  26416  abelthlem8  26417  abelthlem9  26418  efper  26456  tangtx  26482  eflogeq  26579  logdivlti  26597  logcnlem4  26622  advlogexp  26632  cxpmul2  26666  dvcxp2  26718  cxpaddle  26730  cxpeq  26735  loglesqrt  26739  relogbexp  26758  ang180lem5  26791  isosctrlem2  26797  isosctrlem3  26798  heron  26816  2efiatan  26896  dvatan  26913  leibpi  26920  birthdaylem3  26931  jensenlem2  26966  logdiflbnd  26973  harmonicbnd4  26989  lgamgulmlem2  27008  lgamcvg2  27033  ftalem5  27055  basellem2  27060  basellem5  27063  basellem8  27066  0sgm  27122  muinv  27171  chpub  27199  logfaclbnd  27201  logexprlim  27204  dchrsum2  27247  sumdchr2  27249  bposlem1  27263  bposlem2  27264  bposlem5  27267  lgsquad2lem1  27363  lgsquad3  27366  2sqlem6  27402  2sqlem8  27405  chtppilim  27454  vmadivsum  27461  dchrisumlem1  27468  dchrisum0flblem1  27487  rpvmasum2  27491  dchrisum0re  27492  dchrisum0lem2a  27496  dchrisum0lem3  27498  rpvmasum  27505  mudivsum  27509  mulogsumlem  27510  vmalogdivsum2  27517  pntrsumo1  27544  pntrlog2bndlem2  27557  pntrlog2bndlem4  27559  pntrlog2bndlem5  27560  pntibndlem2  27570  pntlemc  27574  pntlemf  27584  ostth2lem2  27613  ostth2lem3  27614  ostth2lem4  27615  ostth2  27616  ostth3  27617  ttgcontlem1  28969  axpaschlem  29025  axcontlem2  29050  axcontlem4  29052  axcontlem8  29056  nmoub3i  30860  ubthlem2  30958  htthlem  31004  nmcexi  32113  nmopcoadji  32188  branmfn  32192  gsumind  33437  rearchi  33438  vietadeg1  33754  ccfldextdgrr  33849  nn0constr  33938  constrrecl  33946  constrimcl  33947  constrreinvcl  33949  constrinvcl  33950  constrresqrtcl  33954  constrabscl  33955  cos9thpiminplylem1  33959  madjusmdetlem4  34007  ccatmulgnn0dir  34719  ofcccat  34720  itgexpif  34783  hashreprin  34797  circlemeth  34817  lpadlem2  34857  subfacval2  35400  cvmliftlem2  35499  snmlff  35542  sinccvglem  35885  bcprod  35951  faclimlem1  35956  faclimlem2  35957  faclim2  35961  knoppndvlem14  36744  knoppndvlem15  36745  knoppndvlem16  36746  knoppndvlem18  36748  poimirlem29  37894  poimirlem30  37895  poimirlem31  37896  poimirlem32  37897  itg2addnclem  37916  areacirclem1  37953  areacirclem4  37956  cntotbnd  38041  lcmineqlem11  42403  lcmineqlem12  42404  aks4d1p1p7  42438  aks4d1p8d2  42449  hashscontpow1  42485  2ap1caineq  42509  sticksstones10  42519  sticksstones12a  42521  aks6d1c6lem1  42534  aks6d1c7lem1  42544  aks6d1c7  42548  oddnumth  42675  oexpreposd  42686  readvrec  42726  frlmvscadiccat  42870  fltnltalem  43014  3cubeslem2  43036  3cubeslem3r  43038  irrapxlem1  43173  irrapxlem4  43176  pell1qrgaplem  43224  reglogexpbas  43248  rmspecfund  43260  rmxy1  43273  rmxp1  43283  rmyp1  43284  rmxm1  43285  jm2.17a  43311  jm2.18  43339  jm2.23  43347  jm2.25  43350  jm2.16nn0  43355  relexpmulnn  44059  int-mul11d  44532  nzprmdif  44669  expgrowthi  44683  expgrowth  44685  binomcxplemdvbinom  44703  binomcxplemnotnn0  44706  sqrlearg  45907  fmul01  45934  fmul01lt1lem1  45938  0ellimcdiv  46001  dvxpaek  46292  dvnxpaek  46294  itgiccshift  46332  itgperiod  46333  itgsbtaddcnst  46334  stoweidlem11  46363  stoweidlem26  46378  stoweidlem38  46390  wallispilem4  46420  stirlinglem1  46426  stirlinglem3  46428  stirlinglem6  46431  stirlinglem7  46432  stirlinglem8  46433  stirlinglem10  46435  stirlinglem12  46437  dirkertrigeqlem3  46452  dirkertrigeq  46453  dirkercncflem1  46455  dirkercncflem2  46456  fourierdlem28  46487  fourierdlem30  46489  fourierdlem39  46498  fourierdlem47  46505  fourierdlem60  46518  fourierdlem61  46519  fourierdlem73  46531  fourierdlem83  46541  fourierdlem87  46545  etransclem14  46600  etransclem24  46610  etransclem25  46611  etransclem35  46621  smfmullem1  47143  deccarry  47665  fpprwppr  48093  fpprwpprb  48094  logblt1b  48918  nn0sumshdiglem2  48976  itcovalpclem2  49025  itcovalt2lem1  49029  eenglngeehlnmlem1  49091  eenglngeehlnmlem2  49092  line2ylem  49105