Theorem kmlem16 10168

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
kmlem14.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ((𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)))
kmlem14.2	⊢ (𝜓 ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑧 ∧ 𝑢 ∈ 𝑦) → 𝑢 = 𝑣))))
kmlem14.3	⊢ (𝜒 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
kmlem16	⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜒)) ↔ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣)   𝜓(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑢)   𝜒(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑤, 𝑣, 𝑢)

Proof of Theorem kmlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem14.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ((𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)))
2		kmlem14.2	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑧 ∧ 𝑢 ∈ 𝑦) → 𝑢 = 𝑣))))
3		kmlem14.3	. . . 4 ⊢ (𝜒 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))
4	1, 2, 3	kmlem14 10166	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))
5	1, 2, 3	kmlem15 10167	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜒) ↔ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))
6	5	exbii 1881	. . 3 ⊢ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜒) ↔ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))
7	4, 6	orbi12i 928	. 2 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜒)) ↔ (∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
8		19.43 1915	. 2 ⊢ (∃𝑦(∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
9		pm3.24 408	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
10		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ 𝑥)
11	10	sps 2224	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ 𝑥)
12	11	exlimivv 1965	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ 𝑥)
13		simpl 488	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
14	13	sps 2224	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
15	14	exlimivv 1965	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
16	12, 15	anim12i 625	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
17	9, 16	mto 200	. . . . 5 ⊢ ¬ (∃𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))
18		19.33b 1918	. . . . 5 ⊢ (¬ (∃𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (∀𝑧(∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
20	10	exlimiv 1963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ 𝑥)
21	13	exlimiv 1963	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
22	20, 21	anim12i 625	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
23	9, 22	mto 200	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (∃𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))
24		19.33b 1918	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (∃𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
26	25	exbii 1881	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ ∃𝑣(∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
27		19.43 1915	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣(∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
28	26, 27	bitr2i 279	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ ∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
29	28	albii 1852	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
30	19, 29	bitr3i 280	. . 3 ⊢ ((∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
31	30	exbii 1881	. 2 ⊢ (∃𝑦(∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
32	7, 8, 31	3bitr2i 302	1 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜒)) ↔ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861  ∀wal 1568  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146  ∃!weu 2599   ≠ wne 2961  ∀wral 3082  ∃wrex 3092   ∩ cin 3907

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rab 3420  df-v 3460  df-in 3915

This theorem is used by:  dfackm  10169