Theorem kmlem16 9576

Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)

Hypotheses

Ref	Expression
kmlem14.1	⊢ (𝜑 ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ((𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)))
kmlem14.2	⊢ (𝜓 ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑧 ∧ 𝑢 ∈ 𝑦) → 𝑢 = 𝑣))))
kmlem14.3	⊢ (𝜒 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))

Assertion

Ref	Expression
kmlem16	⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜒)) ↔ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜑,𝑢

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem kmlem16

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kmlem14.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 ↔ (𝑧 ∈ 𝑦 → ((𝑣 ∈ 𝑥 ∧ 𝑦 ≠ 𝑣) ∧ 𝑧 ∈ 𝑣)))
2		kmlem14.2	. . . 4 ⊢ (𝜓 ↔ (𝑧 ∈ 𝑥 → ((𝑣 ∈ 𝑧 ∧ 𝑣 ∈ 𝑦) ∧ ((𝑢 ∈ 𝑧 ∧ 𝑢 ∈ 𝑦) → 𝑢 = 𝑣))))
3		kmlem14.3	. . . 4 ⊢ (𝜒 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑦))
4	1, 2, 3	kmlem14 9574	. . 3 ⊢ (∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ↔ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑))
5	1, 2, 3	kmlem15 9575	. . . 4 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜒) ↔ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))
6	5	exbii 1849	. . 3 ⊢ (∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜒) ↔ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))
7	4, 6	orbi12i 912	. 2 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜒)) ↔ (∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
8		19.43 1883	. 2 ⊢ (∃𝑦(∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
9		pm3.24 406	. . . . . 6 ⊢ ¬ (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
10		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ 𝑥)
11	10	sps 2182	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ 𝑥)
12	11	exlimivv 1933	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ 𝑥)
13		simpl 486	. . . . . . . . 9 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
14	13	sps 2182	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
15	14	exlimivv 1933	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
16	12, 15	anim12i 615	. . . . . 6 ⊢ ((∃𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
17	9, 16	mto 200	. . . . 5 ⊢ ¬ (∃𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))
18		19.33b 1886	. . . . 5 ⊢ (¬ (∃𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (∀𝑧(∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))))
19	17, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
20	10	exlimiv 1931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) → 𝑦 ∈ 𝑥)
21	13	exlimiv 1931	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓) → ¬ 𝑦 ∈ 𝑥)
22	20, 21	anim12i 615	. . . . . . . . 9 ⊢ ((∃𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (𝑦 ∈ 𝑥 ∧ ¬ 𝑦 ∈ 𝑥))
23	9, 22	mto 200	. . . . . . . 8 ⊢ ¬ (∃𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))
24		19.33b 1886	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ (∃𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∧ ∃𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) → (∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓))))
25	23, 24	ax-mp 5	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
26	25	exbii 1849	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ ∃𝑣(∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
27		19.43 1883	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑣(∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ (∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
28	26, 27	bitr2i 279	. . . . 5 ⊢ ((∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ ∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
29	28	albii 1821	. . . 4 ⊢ (∀𝑧(∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
30	19, 29	bitr3i 280	. . 3 ⊢ ((∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
31	30	exbii 1849	. 2 ⊢ (∃𝑦(∀𝑧∃𝑣∀𝑢(𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ ∀𝑧∃𝑣∀𝑢(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)) ↔ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))
32	7, 8, 31	3bitr2i 302	1 ⊢ ((∃𝑧 ∈ 𝑥 ∀𝑣 ∈ 𝑧 ∃𝑤 ∈ 𝑥 (𝑧 ≠ 𝑤 ∧ 𝑣 ∈ (𝑧 ∩ 𝑤)) ∨ ∃𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜒)) ↔ ∃𝑦∀𝑧∃𝑣∀𝑢((𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜑) ∨ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 ∧ 𝜓)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∨ wo 844  ∀wal 1536  ∃wex 1781   ∈ wcel 2111  ∃!weu 2628   ≠ wne 2987  ∀wral 3106  ∃wrex 3107   ∩ cin 3880

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-in 3888

This theorem is referenced by:  dfackm  9577