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Theorem kmlem16 9240
Description: Lemma for 5-quantifier AC of Kurt Maes, Th. 4 5 <=> 4. (Contributed by NM, 4-Apr-2004.)
Hypotheses
Ref Expression
kmlem14.1 (𝜑 ↔ (𝑧𝑦 → ((𝑣𝑥𝑦𝑣) ∧ 𝑧𝑣)))
kmlem14.2 (𝜓 ↔ (𝑧𝑥 → ((𝑣𝑧𝑣𝑦) ∧ ((𝑢𝑧𝑢𝑦) → 𝑢 = 𝑣))))
kmlem14.3 (𝜒 ↔ ∀𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))
Assertion
Ref Expression
kmlem16 ((∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ∨ ∃𝑦𝑦𝑥𝜒)) ↔ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢   𝜑,𝑢
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)   𝜒(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤,𝑣,𝑢)

Proof of Theorem kmlem16
StepHypRef Expression
1 kmlem14.1 . . . 4 (𝜑 ↔ (𝑧𝑦 → ((𝑣𝑥𝑦𝑣) ∧ 𝑧𝑣)))
2 kmlem14.2 . . . 4 (𝜓 ↔ (𝑧𝑥 → ((𝑣𝑧𝑣𝑦) ∧ ((𝑢𝑧𝑢𝑦) → 𝑢 = 𝑣))))
3 kmlem14.3 . . . 4 (𝜒 ↔ ∀𝑧𝑥 ∃!𝑣 𝑣 ∈ (𝑧𝑦))
41, 2, 3kmlem14 9238 . . 3 (∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ↔ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑))
51, 2, 3kmlem15 9239 . . . 4 ((¬ 𝑦𝑥𝜒) ↔ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓))
65exbii 1943 . . 3 (∃𝑦𝑦𝑥𝜒) ↔ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓))
74, 6orbi12i 938 . 2 ((∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ∨ ∃𝑦𝑦𝑥𝜒)) ↔ (∃𝑦𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)))
8 19.43 1981 . 2 (∃𝑦(∀𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∃𝑦𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)))
9 pm3.24 391 . . . . . 6 ¬ (𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝑥)
10 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((𝑦𝑥𝜑) → 𝑦𝑥)
1110sps 2217 . . . . . . . 8 (∀𝑢(𝑦𝑥𝜑) → 𝑦𝑥)
1211exlimivv 2027 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) → 𝑦𝑥)
13 simpl 474 . . . . . . . . 9 ((¬ 𝑦𝑥𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)
1413sps 2217 . . . . . . . 8 (∀𝑢𝑦𝑥𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)
1514exlimivv 2027 . . . . . . 7 (∃𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)
1612, 15anim12i 606 . . . . . 6 ((∃𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) → (𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝑥))
179, 16mto 188 . . . . 5 ¬ (∃𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓))
18 19.33b 1984 . . . . 5 (¬ (∃𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) → (∀𝑧(∃𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∀𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓))))
1917, 18ax-mp 5 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∀𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)))
2010exlimiv 2025 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢(𝑦𝑥𝜑) → 𝑦𝑥)
2113exlimiv 2025 . . . . . . . . . 10 (∃𝑢𝑦𝑥𝜓) → ¬ 𝑦𝑥)
2220, 21anim12i 606 . . . . . . . . 9 ((∃𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑢𝑦𝑥𝜓)) → (𝑦𝑥 ∧ ¬ 𝑦𝑥))
239, 22mto 188 . . . . . . . 8 ¬ (∃𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑢𝑦𝑥𝜓))
24 19.33b 1984 . . . . . . . 8 (¬ (∃𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∧ ∃𝑢𝑦𝑥𝜓)) → (∀𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∀𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑢𝑦𝑥𝜓))))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . 7 (∀𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∀𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑢𝑦𝑥𝜓)))
2625exbii 1943 . . . . . 6 (∃𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)) ↔ ∃𝑣(∀𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑢𝑦𝑥𝜓)))
27 19.43 1981 . . . . . 6 (∃𝑣(∀𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ (∃𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)))
2826, 27bitr2i 267 . . . . 5 ((∃𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ ∃𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
2928albii 1914 . . . 4 (∀𝑧(∃𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∃𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ ∀𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
3019, 29bitr3i 268 . . 3 ((∀𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ ∀𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
3130exbii 1943 . 2 (∃𝑦(∀𝑧𝑣𝑢(𝑦𝑥𝜑) ∨ ∀𝑧𝑣𝑢𝑦𝑥𝜓)) ↔ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
327, 8, 313bitr2i 290 1 ((∃𝑧𝑥𝑣𝑧𝑤𝑥 (𝑧𝑤𝑣 ∈ (𝑧𝑤)) ∨ ∃𝑦𝑦𝑥𝜒)) ↔ ∃𝑦𝑧𝑣𝑢((𝑦𝑥𝜑) ∨ (¬ 𝑦𝑥𝜓)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 197  wa 384  wo 873  wal 1650  wex 1874  wcel 2155  ∃!weu 2581  wne 2937  wral 3055  wrex 3056  cin 3731
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-v 3352  df-in 3739
This theorem is referenced by:  dfackm  9241
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