HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopg 31375
Description: Ordering relation for positive operators. Definition of positive operator ordering in [Kreyszig] p. 470. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopg ((๐‘‡ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡ โ‰คop ๐‘ˆ โ†” ((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘ˆ

Proof of Theorem leopg
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7417 . . . 4 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ข โˆ’op ๐‘ก) = (๐‘ข โˆ’op ๐‘‡))
21eleq1d 2819 . . 3 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก) โˆˆ HrmOp โ†” (๐‘ข โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp))
31fveq1d 6894 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
43oveq1d 7424 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))
54breq2d 5161 . . . 4 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
65ralbidv 3178 . . 3 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
72, 6anbi12d 632 . 2 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
8 oveq1 7416 . . . 4 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ (๐‘ข โˆ’op ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡))
98eleq1d 2819 . . 3 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ ((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โ†” (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp))
108fveq1d 6894 . . . . . 6 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ ((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
1110oveq1d 7424 . . . . 5 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))
1211breq2d 5161 . . . 4 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ (0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
1312ralbidv 3178 . . 3 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
149, 13anbi12d 632 . 2 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
15 df-leop 31105 . 2 โ‰คop = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ ((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))}
167, 14, 15brabg 5540 1 ((๐‘‡ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡ โ‰คop ๐‘ˆ โ†” ((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  โˆ€wral 3062   class class class wbr 5149  โ€˜cfv 6544  (class class class)co 7409  0cc0 11110   โ‰ค cle 11249   โ„‹chba 30172   ยทih csp 30175   โˆ’op chod 30193  HrmOpcho 30203   โ‰คop cleo 30211
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5428
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ral 3063  df-rab 3434  df-v 3477  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-leop 31105
This theorem is referenced by:  leop  31376  leoprf2  31380
  Copyright terms: Public domain W3C validator