HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  leopg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leopg 30526
Description: Ordering relation for positive operators. Definition of positive operator ordering in [Kreyszig] p. 470. (Contributed by NM, 23-Jul-2006.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
leopg ((๐‘‡ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡ โ‰คop ๐‘ˆ โ†” ((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
Distinct variable groups:   ๐‘ฅ,๐ด   ๐‘ฅ,๐ต   ๐‘ฅ,๐‘‡   ๐‘ฅ,๐‘ˆ

Proof of Theorem leopg
Dummy variables ๐‘ข ๐‘ก are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq2 7312 . . . 4 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (๐‘ข โˆ’op ๐‘ก) = (๐‘ข โˆ’op ๐‘‡))
21eleq1d 2821 . . 3 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก) โˆˆ HrmOp โ†” (๐‘ข โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp))
31fveq1d 6803 . . . . . 6 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ ((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
43oveq1d 7319 . . . . 5 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))
54breq2d 5094 . . . 4 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
65ralbidv 3171 . . 3 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
72, 6anbi12d 632 . 2 (๐‘ก = ๐‘‡ โ†’ (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
8 oveq1 7311 . . . 4 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ (๐‘ข โˆ’op ๐‘‡) = (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡))
98eleq1d 2821 . . 3 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ ((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โ†” (๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp))
108fveq1d 6803 . . . . . 6 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ ((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) = ((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ))
1110oveq1d 7319 . . . . 5 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) = (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))
1211breq2d 5094 . . . 4 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ (0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
1312ralbidv 3171 . . 3 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ (โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ) โ†” โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)))
149, 13anbi12d 632 . 2 (๐‘ข = ๐‘ˆ โ†’ (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ)) โ†” ((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
15 df-leop 30256 . 2 โ‰คop = {โŸจ๐‘ก, ๐‘ขโŸฉ โˆฃ ((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ข โˆ’op ๐‘ก)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))}
167, 14, 15brabg 5462 1 ((๐‘‡ โˆˆ ๐ด โˆง ๐‘ˆ โˆˆ ๐ต) โ†’ (๐‘‡ โ‰คop ๐‘ˆ โ†” ((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡) โˆˆ HrmOp โˆง โˆ€๐‘ฅ โˆˆ โ„‹ 0 โ‰ค (((๐‘ˆ โˆ’op ๐‘‡)โ€˜๐‘ฅ) ยทih ๐‘ฅ))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 397   = wceq 1539   โˆˆ wcel 2104  โˆ€wral 3062   class class class wbr 5082  โ€˜cfv 6455  (class class class)co 7304  0cc0 10914   โ‰ค cle 11053   โ„‹chba 29323   ยทih csp 29326   โˆ’op chod 29344  HrmOpcho 29354   โ‰คop cleo 29362
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2707  ax-sep 5233  ax-nul 5240  ax-pr 5362
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-ral 3063  df-rab 3280  df-v 3440  df-dif 3896  df-un 3898  df-in 3900  df-ss 3910  df-nul 4264  df-if 4467  df-sn 4567  df-pr 4569  df-op 4573  df-uni 4846  df-br 5083  df-opab 5145  df-iota 6407  df-fv 6463  df-ov 7307  df-leop 30256
This theorem is referenced by:  leop  30527  leoprf2  30531
  Copyright terms: Public domain W3C validator