Theorem kbass6 31063

Description: Dirac bra-ket associative law ( ∣ 𝐴⟩⟨𝐵 ∣ )( ∣ 𝐶⟩⟨𝐷 ∣ ) = ∣ 𝐴⟩(⟨𝐵 ∣ ( ∣ 𝐶⟩⟨𝐷 ∣ )). (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass6	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (𝐴 ketbra (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))))

Proof of Theorem kbass6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kbass5 31062	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷))
2		kbval 30896	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
3	2	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
4	3	adantrr 715	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
5	4	oveq1d 7372	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) = (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷))
6		hicl 30022	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
7		kbmul 30897	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷)))
8	6, 7	syl3an1 1163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷)))
9	8	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℋ → (𝐷 ∈ ℋ → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷)))))
10	9	ex 413	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ ℋ → (𝐷 ∈ ℋ → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷))))))
11	10	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐵 ∈ ℋ → (𝐶 ∈ ℋ → (𝐷 ∈ ℋ → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷))))))
12	11	imp43 428	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷)))
13		bracl 30891	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝐶) ∈ ℂ)
14		bracnln 31051	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℋ → (bra‘𝐷) ∈ (LinFn ∩ ContFn))
15		cnvbramul 31057	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((bra‘𝐵)‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐷) ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘(((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷))) = ((∗‘((bra‘𝐵)‘𝐶)) ·ℎ (◡bra‘(bra‘𝐷))))
16	13, 14, 15	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (◡bra‘(((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷))) = ((∗‘((bra‘𝐵)‘𝐶)) ·ℎ (◡bra‘(bra‘𝐷))))
17		braval 30886	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝐶) = (𝐶 ·ih 𝐵))
18	17	fveq2d 6846	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘((bra‘𝐵)‘𝐶)) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)))
19		cnvbrabra 31054	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℋ → (◡bra‘(bra‘𝐷)) = 𝐷)
20	18, 19	oveqan12d 7376	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((∗‘((bra‘𝐵)‘𝐶)) ·ℎ (◡bra‘(bra‘𝐷))) = ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷))
21	16, 20	eqtr2d 2777	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷) = (◡bra‘(((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷))))
22	21	anasss 467	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷) = (◡bra‘(((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷))))
23		kbass2 31059	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷)) = ((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))
24	23	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷)) = ((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))
25	24	fveq2d 6846	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (◡bra‘(((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷))) = (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))))
26	22, 25	eqtr2d 2777	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))) = ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷))
27	26	adantll 712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))) = ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷))
28	27	oveq2d 7373	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 ketbra (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷)))
29	12, 28	eqtr4d 2779	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))))
30	1, 5, 29	3eqtrd 2780	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (𝐴 ketbra (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ∩ cin 3909  ^◡ccnv 5632   ∘ ccom 5637  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357  ℂcc 11049  ∗ccj 14981   ℋchba 29861   ·_ℎ csm 29863   ·_ih csp 29864   ·_fn chft 29884  ContFnccnfn 29895  LinFnclf 29896  bracbr 29898   ketbra ck 29899

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-inf2 9577  ax-cc 10371  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-pre-sup 11129  ax-addf 11130  ax-mulf 11131  ax-hilex 29941  ax-hfvadd 29942  ax-hvcom 29943  ax-hvass 29944  ax-hv0cl 29945  ax-hvaddid 29946  ax-hfvmul 29947  ax-hvmulid 29948  ax-hvmulass 29949  ax-hvdistr1 29950  ax-hvdistr2 29951  ax-hvmul0 29952  ax-hfi 30021  ax-his1 30024  ax-his2 30025  ax-his3 30026  ax-his4 30027  ax-hcompl 30144

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-se 5589  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-isom 6505  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-2o 8413  df-oadd 8416  df-omul 8417  df-er 8648  df-map 8767  df-pm 8768  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-fi 9347  df-sup 9378  df-inf 9379  df-oi 9446  df-card 9875  df-acn 9878  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-div 11813  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-q 12874  df-rp 12916  df-xneg 13033  df-xadd 13034  df-xmul 13035  df-ioo 13268  df-ico 13270  df-icc 13271  df-fz 13425  df-fzo 13568  df-fl 13697  df-seq 13907  df-exp 13968  df-hash 14231  df-cj 14984  df-re 14985  df-im 14986  df-sqrt 15120  df-abs 15121  df-clim 15370  df-rlim 15371  df-sum 15571  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-starv 17148  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-unif 17156  df-hom 17157  df-cco 17158  df-rest 17304  df-topn 17305  df-0g 17323  df-gsum 17324  df-topgen 17325  df-pt 17326  df-prds 17329  df-xrs 17384  df-qtop 17389  df-imas 17390  df-xps 17392  df-mre 17466  df-mrc 17467  df-acs 17469  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-mulg 18873  df-cntz 19097  df-cmn 19564  df-psmet 20788  df-xmet 20789  df-met 20790  df-bl 20791  df-mopn 20792  df-fbas 20793  df-fg 20794  df-cnfld 20797  df-top 22243  df-topon 22260  df-topsp 22282  df-bases 22296  df-cld 22370  df-ntr 22371  df-cls 22372  df-nei 22449  df-cn 22578  df-cnp 22579  df-lm 22580  df-t1 22665  df-haus 22666  df-tx 22913  df-hmeo 23106  df-fil 23197  df-fm 23289  df-flim 23290  df-flf 23291  df-xms 23673  df-ms 23674  df-tms 23675  df-cfil 24619  df-cau 24620  df-cmet 24621  df-grpo 29435  df-gid 29436  df-ginv 29437  df-gdiv 29438  df-ablo 29487  df-vc 29501  df-nv 29534  df-va 29537  df-ba 29538  df-sm 29539  df-0v 29540  df-vs 29541  df-nmcv 29542  df-ims 29543  df-dip 29643  df-ssp 29664  df-ph 29755  df-cbn 29805  df-hnorm 29910  df-hba 29911  df-hvsub 29913  df-hlim 29914  df-hcau 29915  df-sh 30149  df-ch 30163  df-oc 30194  df-ch0 30195  df-hfmul 30676  df-nmfn 30787  df-nlfn 30788  df-cnfn 30789  df-lnfn 30790  df-bra 30792  df-kb 30793

This theorem is referenced by: (None)