Theorem kbass6 32196

Description: Dirac bra-ket associative law ( ∣ 𝐴⟩⟨𝐵 ∣ )( ∣ 𝐶⟩⟨𝐷 ∣ ) = ∣ 𝐴⟩(⟨𝐵 ∣ ( ∣ 𝐶⟩⟨𝐷 ∣ )). (Contributed by NM, 30-May-2006.) (New usage is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
kbass6	⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (𝐴 ketbra (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))))

Proof of Theorem kbass6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		kbass5 32195	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷))
2		kbval 32029	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
3	2	3expa 1118	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
4	3	adantrr 717	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) = ((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴))
5	4	oveq1d 7373	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐴 ketbra 𝐵)‘𝐶) ketbra 𝐷) = (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷))
6		hicl 31155	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ)
7		kbmul 32030	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐶 ·ih 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷)))
8	6, 7	syl3an1 1163	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ 𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷)))
9	8	3exp 1119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) → (𝐴 ∈ ℋ → (𝐷 ∈ ℋ → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷)))))
10	9	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℋ → (𝐵 ∈ ℋ → (𝐴 ∈ ℋ → (𝐷 ∈ ℋ → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷))))))
11	10	com13 88	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℋ → (𝐵 ∈ ℋ → (𝐶 ∈ ℋ → (𝐷 ∈ ℋ → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷))))))
12	11	imp43 427	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷)))
13		bracl 32024	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝐶) ∈ ℂ)
14		bracnln 32184	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℋ → (bra‘𝐷) ∈ (LinFn ∩ ContFn))
15		cnvbramul 32190	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((bra‘𝐵)‘𝐶) ∈ ℂ ∧ (bra‘𝐷) ∈ (LinFn ∩ ContFn)) → (◡bra‘(((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷))) = ((∗‘((bra‘𝐵)‘𝐶)) ·ℎ (◡bra‘(bra‘𝐷))))
16	13, 14, 15	syl2an 596	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (◡bra‘(((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷))) = ((∗‘((bra‘𝐵)‘𝐶)) ·ℎ (◡bra‘(bra‘𝐷))))
17		braval 32019	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → ((bra‘𝐵)‘𝐶) = (𝐶 ·ih 𝐵))
18	17	fveq2d 6838	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) → (∗‘((bra‘𝐵)‘𝐶)) = (∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)))
19		cnvbrabra 32187	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐷 ∈ ℋ → (◡bra‘(bra‘𝐷)) = 𝐷)
20	18, 19	oveqan12d 7377	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((∗‘((bra‘𝐵)‘𝐶)) ·ℎ (◡bra‘(bra‘𝐷))) = ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷))
21	16, 20	eqtr2d 2772	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ) ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷) = (◡bra‘(((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷))))
22	21	anasss 466	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷) = (◡bra‘(((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷))))
23		kbass2 32192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ 𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ) → (((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷)) = ((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))
24	23	3expb 1120	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷)) = ((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))
25	24	fveq2d 6838	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (◡bra‘(((bra‘𝐵)‘𝐶) ·fn (bra‘𝐷))) = (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))))
26	22, 25	eqtr2d 2772	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℋ ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))) = ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷))
27	26	adantll 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷))) = ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷))
28	27	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (𝐴 ketbra (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))) = (𝐴 ketbra ((∗‘(𝐶 ·ih 𝐵)) ·ℎ 𝐷)))
29	12, 28	eqtr4d 2774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → (((𝐶 ·ih 𝐵) ·ℎ 𝐴) ketbra 𝐷) = (𝐴 ketbra (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))))
30	1, 5, 29	3eqtrd 2775	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℋ ∧ 𝐵 ∈ ℋ) ∧ (𝐶 ∈ ℋ ∧ 𝐷 ∈ ℋ)) → ((𝐴 ketbra 𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)) = (𝐴 ketbra (◡bra‘((bra‘𝐵) ∘ (𝐶 ketbra 𝐷)))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∩ cin 3900  ^◡ccnv 5623   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  ∗ccj 15019   ℋchba 30994   ·_ℎ csm 30996   ·_ih csp 30997   ·_fn chft 31017  ContFnccnfn 31028  LinFnclf 31029  bracbr 31031   ketbra ck 31032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cc 10345  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106  ax-hilex 31074  ax-hfvadd 31075  ax-hvcom 31076  ax-hvass 31077  ax-hv0cl 31078  ax-hvaddid 31079  ax-hfvmul 31080  ax-hvmulid 31081  ax-hvmulass 31082  ax-hvdistr1 31083  ax-hvdistr2 31084  ax-hvmul0 31085  ax-hfi 31154  ax-his1 31157  ax-his2 31158  ax-his3 31159  ax-his4 31160  ax-hcompl 31277

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-iin 4949  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-supp 8103  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-2o 8398  df-oadd 8401  df-omul 8402  df-er 8635  df-map 8765  df-pm 8766  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9265  df-fi 9314  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-acn 9854  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-q 12862  df-rp 12906  df-xneg 13026  df-xadd 13027  df-xmul 13028  df-ioo 13265  df-ico 13267  df-icc 13268  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-hash 14254  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-hom 17201  df-cco 17202  df-rest 17342  df-topn 17343  df-0g 17361  df-gsum 17362  df-topgen 17363  df-pt 17364  df-prds 17367  df-xrs 17423  df-qtop 17428  df-imas 17429  df-xps 17431  df-mre 17505  df-mrc 17506  df-acs 17508  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-mulg 18998  df-cntz 19246  df-cmn 19711  df-psmet 21301  df-xmet 21302  df-met 21303  df-bl 21304  df-mopn 21305  df-fbas 21306  df-fg 21307  df-cnfld 21310  df-top 22838  df-topon 22855  df-topsp 22877  df-bases 22890  df-cld 22963  df-ntr 22964  df-cls 22965  df-nei 23042  df-cn 23171  df-cnp 23172  df-lm 23173  df-t1 23258  df-haus 23259  df-tx 23506  df-hmeo 23699  df-fil 23790  df-fm 23882  df-flim 23883  df-flf 23884  df-xms 24264  df-ms 24265  df-tms 24266  df-cfil 25211  df-cau 25212  df-cmet 25213  df-grpo 30568  df-gid 30569  df-ginv 30570  df-gdiv 30571  df-ablo 30620  df-vc 30634  df-nv 30667  df-va 30670  df-ba 30671  df-sm 30672  df-0v 30673  df-vs 30674  df-nmcv 30675  df-ims 30676  df-dip 30776  df-ssp 30797  df-ph 30888  df-cbn 30938  df-hnorm 31043  df-hba 31044  df-hvsub 31046  df-hlim 31047  df-hcau 31048  df-sh 31282  df-ch 31296  df-oc 31327  df-ch0 31328  df-hfmul 31809  df-nmfn 31920  df-nlfn 31921  df-cnfn 31922  df-lnfn 31923  df-bra 31925  df-kb 31926

This theorem is referenced by: (None)