Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | l2p.1 |
. . . 4
⊢ 𝑃 = ∪
𝐺 |
2 | 1 | tncp 28819 |
. . 3
⊢ (𝐺 ∈ Plig → ∃𝑏 ∈ 𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∀𝑙 ∈ 𝐺 ¬ (𝑏 ∈ 𝑙 ∧ 𝑐 ∈ 𝑙 ∧ 𝑑 ∈ 𝑙)) |
3 | | eleq2 2828 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑏 ∈ 𝑙 ↔ 𝑏 ∈ 𝐿)) |
4 | | eleq2 2828 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑐 ∈ 𝑙 ↔ 𝑐 ∈ 𝐿)) |
5 | | eleq2 2828 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑙 = 𝐿 → (𝑑 ∈ 𝑙 ↔ 𝑑 ∈ 𝐿)) |
6 | 3, 4, 5 | 3anbi123d 1434 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑙 = 𝐿 → ((𝑏 ∈ 𝑙 ∧ 𝑐 ∈ 𝑙 ∧ 𝑑 ∈ 𝑙) ↔ (𝑏 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑑 ∈ 𝐿))) |
7 | 6 | notbid 317 |
. . . . . . . 8
⊢ (𝑙 = 𝐿 → (¬ (𝑏 ∈ 𝑙 ∧ 𝑐 ∈ 𝑙 ∧ 𝑑 ∈ 𝑙) ↔ ¬ (𝑏 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑑 ∈ 𝐿))) |
8 | 7 | rspccv 3557 |
. . . . . . 7
⊢
(∀𝑙 ∈
𝐺 ¬ (𝑏 ∈ 𝑙 ∧ 𝑐 ∈ 𝑙 ∧ 𝑑 ∈ 𝑙) → (𝐿 ∈ 𝐺 → ¬ (𝑏 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑑 ∈ 𝐿))) |
9 | | eleq1w 2822 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ∈ 𝐿 ↔ 𝑏 ∈ 𝐿)) |
10 | 9 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = 𝑏 → (¬ 𝑎 ∈ 𝐿 ↔ ¬ 𝑏 ∈ 𝐿)) |
11 | 10 | rspcev 3560 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑏 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑏 ∈ 𝐿) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ¬ 𝑎 ∈ 𝐿) |
12 | 11 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑏 ∈ 𝑃 → (¬ 𝑏 ∈ 𝐿 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ¬ 𝑎 ∈ 𝐿)) |
13 | | eleq1w 2822 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (𝑎 ∈ 𝐿 ↔ 𝑐 ∈ 𝐿)) |
14 | 13 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = 𝑐 → (¬ 𝑎 ∈ 𝐿 ↔ ¬ 𝑐 ∈ 𝐿)) |
15 | 14 | rspcev 3560 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑐 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑐 ∈ 𝐿) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ¬ 𝑎 ∈ 𝐿) |
16 | 15 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑐 ∈ 𝑃 → (¬ 𝑐 ∈ 𝐿 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ¬ 𝑎 ∈ 𝐿)) |
17 | | eleq1w 2822 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ (𝑎 = 𝑑 → (𝑎 ∈ 𝐿 ↔ 𝑑 ∈ 𝐿)) |
18 | 17 | notbid 317 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (𝑎 = 𝑑 → (¬ 𝑎 ∈ 𝐿 ↔ ¬ 𝑑 ∈ 𝐿)) |
19 | 18 | rspcev 3560 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑑 ∈ 𝑃 ∧ ¬ 𝑑 ∈ 𝐿) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ¬ 𝑎 ∈ 𝐿) |
20 | 19 | ex 412 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑑 ∈ 𝑃 → (¬ 𝑑 ∈ 𝐿 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ¬ 𝑎 ∈ 𝐿)) |
21 | 12, 16, 20 | 3jaao 1431 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → ((¬ 𝑏 ∈ 𝐿 ∨ ¬ 𝑐 ∈ 𝐿 ∨ ¬ 𝑑 ∈ 𝐿) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 ¬ 𝑎 ∈ 𝐿)) |
22 | | 3ianor 1105 |
. . . . . . . 8
⊢ (¬
(𝑏 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) ↔ (¬ 𝑏 ∈ 𝐿 ∨ ¬ 𝑐 ∈ 𝐿 ∨ ¬ 𝑑 ∈ 𝐿)) |
23 | | df-nel 3051 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑎 ∉ 𝐿 ↔ ¬ 𝑎 ∈ 𝐿) |
24 | 23 | rexbii 3179 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃𝑎 ∈
𝑃 𝑎 ∉ 𝐿 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝑃 ¬ 𝑎 ∈ 𝐿) |
25 | 21, 22, 24 | 3imtr4g 295 |
. . . . . . 7
⊢ ((𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → (¬ (𝑏 ∈ 𝐿 ∧ 𝑐 ∈ 𝐿 ∧ 𝑑 ∈ 𝐿) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 𝑎 ∉ 𝐿)) |
26 | 8, 25 | syl9r 78 |
. . . . . 6
⊢ ((𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃 ∧ 𝑑 ∈ 𝑃) → (∀𝑙 ∈ 𝐺 ¬ (𝑏 ∈ 𝑙 ∧ 𝑐 ∈ 𝑙 ∧ 𝑑 ∈ 𝑙) → (𝐿 ∈ 𝐺 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 𝑎 ∉ 𝐿))) |
27 | 26 | 3expia 1119 |
. . . . 5
⊢ ((𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (𝑑 ∈ 𝑃 → (∀𝑙 ∈ 𝐺 ¬ (𝑏 ∈ 𝑙 ∧ 𝑐 ∈ 𝑙 ∧ 𝑑 ∈ 𝑙) → (𝐿 ∈ 𝐺 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 𝑎 ∉ 𝐿)))) |
28 | 27 | rexlimdv 3213 |
. . . 4
⊢ ((𝑏 ∈ 𝑃 ∧ 𝑐 ∈ 𝑃) → (∃𝑑 ∈ 𝑃 ∀𝑙 ∈ 𝐺 ¬ (𝑏 ∈ 𝑙 ∧ 𝑐 ∈ 𝑙 ∧ 𝑑 ∈ 𝑙) → (𝐿 ∈ 𝐺 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 𝑎 ∉ 𝐿))) |
29 | 28 | rexlimivv 3222 |
. . 3
⊢
(∃𝑏 ∈
𝑃 ∃𝑐 ∈ 𝑃 ∃𝑑 ∈ 𝑃 ∀𝑙 ∈ 𝐺 ¬ (𝑏 ∈ 𝑙 ∧ 𝑐 ∈ 𝑙 ∧ 𝑑 ∈ 𝑙) → (𝐿 ∈ 𝐺 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 𝑎 ∉ 𝐿)) |
30 | 2, 29 | syl 17 |
. 2
⊢ (𝐺 ∈ Plig → (𝐿 ∈ 𝐺 → ∃𝑎 ∈ 𝑃 𝑎 ∉ 𝐿)) |
31 | 30 | imp 406 |
1
⊢ ((𝐺 ∈ Plig ∧ 𝐿 ∈ 𝐺) → ∃𝑎 ∈ 𝑃 𝑎 ∉ 𝐿) |