Theorem mh-infprim1bi 36787

Description: Shortest possible axiom of infinity in primitive symbols. Deriving ax-inf 9554 or ax-inf2 9557 from this axiom requires ax-ext 2713, ax-rep 5201, and ax-reg 9501, see inf3 9551 and inf0 9537. (Contributed by Matthew House, 13-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
mh-infprim1bi	⊢ (∃𝑥(𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem mh-infprim1bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exnelv 5237	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥
2	1	a1bi 364	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ (∃𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅))
3		19.23v 1950	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅) ↔ (∃𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅))
4		n0 4283	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
5		pm2.21 123	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
6	5	biantrurd 538	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
7	6	exbidv 1929	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
8	4, 7	bitrid 285	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
9	8	pm5.74i 273	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
10	9	albii 1827	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅) ↔ ∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
11	2, 3, 10	3bitr2i 301	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
12		df-ss 3901	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ 𝑥 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥))
13		eluni 4843	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑧(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
14		biimt 362	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧)))
15	14	anbi1d 638	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
16	15	exbidv 1929	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → (∃𝑧(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
17	13, 16	bitrid 285	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
18	17	pm5.74i 273	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
19	18	albii 1827	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
20	12, 19	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ 𝑥 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
21	11, 20	anbi12ci 636	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))))
22		19.26 1878	. . . 4 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))))
23		pm4.83 1033	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))) ↔ ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
24		exnalimn 1852	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
25	23, 24	bitri 277	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))) ↔ ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
26	25	albii 1827	. . . 4 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))) ↔ ∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
27	21, 22, 26	3bitr2i 301	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
28	27	exbii 1856	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ ∃𝑥∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
29		df-ex 1788	. 2 ⊢ (∃𝑥∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
30	28, 29	bitri 277	1 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397  ∀wal 1546  ∃wex 1787   ∈ wcel 2121   ≠ wne 2936   ⊆ wss 3884  ∅c0 4263  ∪ cuni 4840

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-ext 2713  ax-sep 5220

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-sb 2075  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-ne 2937  df-v 3435  df-dif 3887  df-ss 3901  df-nul 4264  df-uni 4841

This theorem is referenced by: (None)