Theorem mh-infprim1bi 37001

Description: Shortest possible axiom of infinity in primitive symbols. Deriving ax-inf 9606 or ax-inf2 9609 from this axiom requires ax-ext 2733, ax-rep 5237, and ax-reg 9553, see inf3 9603 and inf0 9589. (Contributed by Matthew House, 13-Apr-2026.)

Assertion

Ref	Expression
mh-infprim1bi	⊢ (∃𝑥(𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧

Proof of Theorem mh-infprim1bi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		exnelv 5275	. . . . . . 7 ⊢ ∃𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥
2	1	a1bi 365	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ (∃𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅))
3		19.23v 1970	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅) ↔ (∃𝑦 ¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅))
4		n0 4306	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥)
5		pm2.21 124	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧))
6	5	biantrurd 541	. . . . . . . . . 10 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
7	6	exbidv 1949	. . . . . . . . 9 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (∃𝑧 𝑧 ∈ 𝑥 ↔ ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
8	4, 7	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
9	8	pm5.74i 274	. . . . . . 7 ⊢ ((¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅) ↔ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
10	9	albii 1847	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑥 ≠ ∅) ↔ ∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
11	2, 3, 10	3bitr2i 302	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ≠ ∅ ↔ ∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
12		df-ss 3921	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ 𝑥 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥))
13		eluni 4874	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑧(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
14		biimt 363	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑦 ∈ 𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧)))
15	14	anbi1d 642	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → ((𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
16	15	exbidv 1949	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → (∃𝑧(𝑦 ∈ 𝑧 ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
17	13, 16	bitrid 286	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝑥 → (𝑦 ∈ ∪ 𝑥 ↔ ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
18	17	pm5.74i 274	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥) ↔ (𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
19	18	albii 1847	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ ∪ 𝑥) ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
20	12, 19	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ⊆ ∪ 𝑥 ↔ ∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)))
21	11, 20	anbi12ci 640	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))))
22		19.26 1898	. . . 4 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))) ↔ (∀𝑦(𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ ∀𝑦(¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))))
23		pm4.83 1040	. . . . . 6 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))) ↔ ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))
24		exnalimn 1872	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
25	23, 24	bitri 278	. . . . 5 ⊢ (((𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))) ↔ ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
26	25	albii 1847	. . . 4 ⊢ (∀𝑦((𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥)) ∧ (¬ 𝑦 ∈ 𝑥 → ∃𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) ∧ 𝑧 ∈ 𝑥))) ↔ ∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
27	21, 22, 26	3bitr2i 302	. . 3 ⊢ ((𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ ∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
28	27	exbii 1876	. 2 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ ∃𝑥∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
29		df-ex 1808	. 2 ⊢ (∃𝑥∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))
30	28, 29	bitri 278	1 ⊢ (∃𝑥(𝑥 ≠ ∅ ∧ 𝑥 ⊆ ∪ 𝑥) ↔ ¬ ∀𝑥 ¬ ∀𝑦 ¬ ∀𝑧((𝑦 ∈ 𝑥 → 𝑦 ∈ 𝑧) → ¬ 𝑧 ∈ 𝑥))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400  ∀wal 1566  ∃wex 1807   ∈ wcel 2141   ≠ wne 2956   ⊆ wss 3904  ∅c0 4285  ∪ cuni 4871

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1823  ax-4 1837  ax-5 1938  ax-6 1995  ax-7 2036  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-ext 2733  ax-sep 5256

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-tru 1571  df-fal 1581  df-ex 1808  df-sb 2095  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-ne 2957  df-v 3455  df-dif 3907  df-ss 3921  df-nul 4286  df-uni 4872

This theorem is referenced by: (None)