Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mndassd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndassd 32987
Description: A monoid operation is associative. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
mndassd.1 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndassd.2 + = (+g𝐺)
mndassd.3 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
mndassd.4 (𝜑𝑋𝐵)
mndassd.5 (𝜑𝑌𝐵)
mndassd.6 (𝜑𝑍𝐵)
Assertion
Ref Expression
mndassd (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndassd
StepHypRef Expression
1 mndassd.3 . 2 (𝜑𝐺 ∈ Mnd)
2 mndassd.4 . 2 (𝜑𝑋𝐵)
3 mndassd.5 . 2 (𝜑𝑌𝐵)
4 mndassd.6 . 2 (𝜑𝑍𝐵)
5 mndassd.1 . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
6 mndassd.2 . . 3 + = (+g𝐺)
75, 6mndass 18757 . 2 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1370 1 (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1535  wcel 2104  cfv 6558  (class class class)co 7425  Basecbs 17234  +gcplusg 17287  Mndcmnd 18748
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2704  ax-nul 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1538  df-fal 1548  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2812  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3792  df-dif 3966  df-un 3968  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4915  df-br 5150  df-iota 6510  df-fv 6566  df-ov 7428  df-sgrp 18733  df-mnd 18749
This theorem is referenced by:  mndlrinv  32988  mndlactf1  32990  mndlactfo  32991  mndractf1  32992  mndractfo  32993  mndlactf1o  32994  mndractf1o  32995
  Copyright terms: Public domain W3C validator