Theorem mndassd 33116

Description: A monoid operation is associative. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndassd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndassd.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndassd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndassd.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndassd.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndassd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mndassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mndassd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		mndassd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		mndassd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		mndassd.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	mndass 18680	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1375	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  +_gcplusg 17189  Mndcmnd 18671

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5253

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6456  df-fv 6508  df-ov 7371  df-sgrp 18656  df-mnd 18672

This theorem is referenced by:  mndlrinv  33117  mndlactf1  33119  mndlactfo  33120  mndractf1  33121  mndractfo  33122  mndlactf1o  33123  mndractf1o  33124  gsumwun  33170