Theorem mndassd 33001

Description: A monoid operation is associative. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndassd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndassd.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndassd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndassd.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndassd.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndassd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mndassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mndassd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		mndassd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		mndassd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		mndassd.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	mndass 18775	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1372	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2108  ‘cfv 6568  (class class class)co 7443  Basecbs 17252  +_gcplusg 17305  Mndcmnd 18766

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2711  ax-nul 5324

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-sb 2065  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-dif 3979  df-un 3981  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-iota 6520  df-fv 6576  df-ov 7446  df-sgrp 18751  df-mnd 18767

This theorem is referenced by:  mndlrinv  33002  mndlactf1  33004  mndlactfo  33005  mndractf1  33006  mndractfo  33007  mndlactf1o  33008  mndractf1o  33009