Theorem mndassd 33283

Description: A monoid operation is associative. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndassd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndassd.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndassd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndassd.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndassd.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndassd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mndassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mndassd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		mndassd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		mndassd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		mndassd.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	mndass 18800	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17268  +_gcplusg 17309  Mndcmnd 18791

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-nul 5271

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-dif 3916  df-un 3918  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7414  df-sgrp 18776  df-mnd 18792

This theorem is referenced by:  mndlrinv  33284  mndlactf1  33286  mndlactfo  33287  mndractf1  33288  mndractfo  33289  mndlactf1o  33290  mndractf1o  33291  gsumwun  33336