Theorem mndassd 32977

Description: A monoid operation is associative. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndassd.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndassd.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndassd.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndassd.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndassd.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
mndassd.6	⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndassd	⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndassd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndassd.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mndassd.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mndassd.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		mndassd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑍 ∈ 𝐵)
5		mndassd.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
6		mndassd.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
7	5, 6	mndass 18617	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
8	1, 2, 3, 4, 7	syl13anc 1374	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ‘cfv 6482  (class class class)co 7349  Basecbs 17120  +_gcplusg 17161  Mndcmnd 18608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-nul 5245

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-iota 6438  df-fv 6490  df-ov 7352  df-sgrp 18593  df-mnd 18609

This theorem is referenced by:  mndlrinv  32978  mndlactf1  32980  mndlactfo  32981  mndractf1  32982  mndractfo  32983  mndlactf1o  32984  mndractf1o  32985  gsumwun  33018