Theorem mndcld 33462

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcld.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndcld.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndcld.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mndcld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mndcld.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		mndcld.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mndcld.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	mndcl 18844	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1398	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ‘cfv 6533  (class class class)co 7413  Basecbs 17301  +_gcplusg 17342  Mndcmnd 18836

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-nul 5263

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7416  df-mgm 18730  df-sgrp 18821  df-mnd 18837

This theorem is used by:  mndlactf1  33466  mndlactfo  33467  mndractf1  33468  mndractfo  33469  mndlactf1o  33470  mndractf1o  33471  fxpsubm  33612