Theorem mndcld 33101

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcld.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndcld.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndcld.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mndcld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mndcld.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		mndcld.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mndcld.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	mndcl 18701	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1379	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170  +_gcplusg 17211  Mndcmnd 18693

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2711  ax-nul 5228

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-dif 3886  df-un 3888  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-iota 6441  df-fv 6493  df-ov 7359  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694

This theorem is referenced by:  mndlactf1  33105  mndlactfo  33106  mndractf1  33107  mndractfo  33108  mndlactf1o  33109  mndractf1o  33110  fxpsubm  33253