Theorem mndcld 33104

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcld.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndcld.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndcld.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mndcld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mndcld.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		mndcld.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mndcld.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	mndcl 18667	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1373	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136  +_gcplusg 17177  Mndcmnd 18659

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-ext 2708  ax-nul 5251

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-sb 2068  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-dif 3904  df-un 3906  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660

This theorem is referenced by:  mndlactf1  33108  mndlactfo  33109  mndractf1  33110  mndractfo  33111  mndlactf1o  33112  mndractf1o  33113  fxpsubm  33254