Theorem mndcld 33351

Description: Closure of the operation of a monoid. (Contributed by Thierry Arnoux, 3-Aug-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcld.1	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcld.2	⊢ + = (+g‘𝐺)
mndcld.3	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
mndcld.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
mndcld.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
mndcld	⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem mndcld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndcld.3	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Mnd)
2		mndcld.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		mndcld.5	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐵)
4		mndcld.1	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
5		mndcld.2	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
6	4, 5	mndcl 18806	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)
7	1, 2, 3, 6	syl3anc 1397	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ‘cfv 6536  (class class class)co 7412  Basecbs 17275  +_gcplusg 17316  Mndcmnd 18798

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-ext 2734  ax-nul 5268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-sb 2096  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-dif 3907  df-un 3909  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-iota 6492  df-fv 6544  df-ov 7415  df-mgm 18704  df-sgrp 18783  df-mnd 18799

This theorem is used by:  mndlactf1  33355  mndlactfo  33356  mndractf1  33357  mndractfo  33358  mndlactf1o  33359  mndractf1o  33360  fxpsubm  33501