Theorem mndass 18682

Description: A monoid operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
mndcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p	⊢ + = (+g‘𝐺)

Assertion

Ref	Expression
mndass	⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndass

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mndsgrp 18679	. 2 ⊢ (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
2		mndcl.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐺)
3		mndcl.p	. . 3 ⊢ + = (+g‘𝐺)
4	2, 3	sgrpass 18664	. 2 ⊢ ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
5	1, 4	sylan 581	1 ⊢ ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵 ∧ 𝑍 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ‘cfv 6502  (class class class)co 7370  Basecbs 17150  +_gcplusg 17191  Smgrpcsgrp 18657  Mndcmnd 18673

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2709  ax-nul 5255

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-dif 3906  df-un 3908  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-iota 6458  df-fv 6510  df-ov 7373  df-sgrp 18658  df-mnd 18674

This theorem is referenced by:  mnd32g  18685  mnd12g  18686  mnd4g  18687  issubmnd  18700  mndinvmod  18703  prdsmndd  18709  imasmnd  18714  mndvass  18737  mndind  18767  grpass  18889  mhmmnd  19011  cntzsubm  19284  oppgmnd  19300  frgp0  19706  mulgnn0di  19771  gsumval3eu  19850  gsumval3  19853  srgass  20146  srgcom4  20166  ringass  20205  chfacfscmulgsum  22821  chfacfpmmulgsum  22825  mndassd  33122  slmdass  33313  lsmssass  33501  mndmolinv  42494  primrootsunit1  42496  invginvrid  48756  mndtccatid  49975