MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndass 17908
Description: A monoid operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndass ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndass
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 17905 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
2 mndcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mndcl.p . . 3 + = (+g𝐺)
42, 3sgrpass 17895 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
51, 4sylan 580 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  +gcplusg 16553  Smgrpcsgrp 17888  Mndcmnd 17899
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-nul 5201
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ral 3140  df-rex 3141  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-nul 4289  df-if 4464  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4831  df-br 5058  df-iota 6307  df-fv 6356  df-ov 7148  df-sgrp 17889  df-mnd 17900
This theorem is referenced by:  mnd32g  17911  mnd12g  17912  mnd4g  17913  issubmnd  17926  mndinvmod  17929  prdsmndd  17932  imasmnd  17937  mndind  17980  gsumccatOLD  17993  grpass  18050  mhmmnd  18159  cntzsubm  18404  oppgmnd  18420  frgp0  18815  mulgnn0di  18875  gsumval3eu  18953  gsumval3  18956  srgass  19192  ringass  19243  mndvass  20931  chfacfscmulgsum  21396  chfacfpmmulgsum  21400  slmdass  30768  lidlmsgrp  44125  invginvrid  44343
  Copyright terms: Public domain W3C validator