MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mndass Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mndass 18634
Description: A monoid operation is associative. (Contributed by NM, 14-Aug-2011.) (Proof shortened by AV, 8-Feb-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
mndcl.b 𝐵 = (Base‘𝐺)
mndcl.p + = (+g𝐺)
Assertion
Ref Expression
mndass ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))

Proof of Theorem mndass
StepHypRef Expression
1 mndsgrp 18631 . 2 (𝐺 ∈ Mnd → 𝐺 ∈ Smgrp)
2 mndcl.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐺)
3 mndcl.p . . 3 + = (+g𝐺)
42, 3sgrpass 18616 . 2 ((𝐺 ∈ Smgrp ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
51, 4sylan 581 1 ((𝐺 ∈ Mnd ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 + 𝑌) + 𝑍) = (𝑋 + (𝑌 + 𝑍)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  +gcplusg 17197  Smgrpcsgrp 18609  Mndcmnd 18625
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2704  ax-nul 5307
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-iota 6496  df-fv 6552  df-ov 7412  df-sgrp 18610  df-mnd 18626
This theorem is referenced by:  mnd32g  18637  mnd12g  18638  mnd4g  18639  issubmnd  18652  mndinvmod  18655  prdsmndd  18658  imasmnd  18663  mndind  18709  grpass  18828  mhmmnd  18947  cntzsubm  19202  oppgmnd  19221  frgp0  19628  mulgnn0di  19693  gsumval3eu  19772  gsumval3  19775  srgass  20017  srgcom4  20037  ringass  20076  mndvass  21894  chfacfscmulgsum  22362  chfacfpmmulgsum  22366  slmdass  32358  lsmssass  32512  invginvrid  47043  mndtccatid  47713
  Copyright terms: Public domain W3C validator