Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumrp0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumrp0cl 33008
Description: Closure of a finite sum of nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrp0cl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumrp0cl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
fsumrp0cl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrp0cl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 13492 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 11209 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 4004 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
61, 5sselid 3992 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
81, 7sselid 3992 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
96, 8readdcld 11287 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
109rexrd 11308 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
11 0xr 11305 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
12 pnfxr 11312 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
13 elico1 13426 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < +∞)))
1411, 12, 13mp2an 692 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < +∞))
1514simp2bi 1145 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑥)
165, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ 𝑥)
17 elico1 13426 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < +∞)))
1811, 12, 17mp2an 692 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < +∞))
1918simp2bi 1145 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
207, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ 𝑦)
216, 8, 16, 20addge0d 11836 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑦))
22 ltpnf 13159 . . . 4 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑦) < +∞)
239, 22syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) < +∞)
24 elico1 13426 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝑦) ∧ (𝑥 + 𝑦) < +∞)))
2511, 12, 24mp2an 692 . . 3 ((𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝑦) ∧ (𝑥 + 𝑦) < +∞))
2610, 21, 23, 25syl3anbrc 1342 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
27 fsumrp0cl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
28 fsumrp0cl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
29 0e0icopnf 13494 . . 3 0 ∈ (0[,)+∞)
3029a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
314, 26, 27, 28, 30fsumcllem 15764 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086  wcel 2105  wss 3962   class class class wbr 5147  (class class class)co 7430  Fincfn 8983  cc 11150  cr 11151  0cc0 11152   + caddc 11155  +∞cpnf 11289  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  [,)cico 13385  Σcsu 15718
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-sup 9479  df-oi 9547  df-card 9976  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-rp 13032  df-ico 13389  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-sum 15719
This theorem is referenced by:  esumcvg  34066
  Copyright terms: Public domain W3C validator