Theorem fsumrp0cl 32962

Description: Closure of a finite sum of nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrp0cl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrp0cl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
fsumrp0cl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrp0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13471	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11184	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3968	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
6	1, 5	sselid 3956	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
8	1, 7	sselid 3956	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	6, 8	readdcld 11262	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11283	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
11		0xr 11280	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12		pnfxr 11287	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
13		elico1 13403	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
14	11, 12, 13	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
15	14	simp2bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑥)
16	5, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ 𝑥)
17		elico1 13403	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
18	11, 12, 17	mp2an 692	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
19	18	simp2bi 1146	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
20	7, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ 𝑦)
21	6, 8, 16, 20	addge0d 11811	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑦))
22		ltpnf 13134	. . . 4 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑦) < +∞)
23	9, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) < +∞)
24		elico1 13403	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝑦) ∧ (𝑥 + 𝑦) < +∞)))
25	11, 12, 24	mp2an 692	. . 3 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝑦) ∧ (𝑥 + 𝑦) < +∞))
26	10, 21, 23, 25	syl3anbrc 1344	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
27		fsumrp0cl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
28		fsumrp0cl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
29		0e0icopnf 13473	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
30	29	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
31	4, 26, 27, 28, 30	fsumcllem 15746	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3926   class class class wbr 5119  (class class class)co 7403  Fincfn 8957  ℂcc 11125  ℝcr 11126  0cc0 11127   + caddc 11130  +∞cpnf 11264  ℝ^*cxr 11266   < clt 11267   ≤ cle 11268  [,)cico 13362  Σcsu 15700

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7727  ax-inf2 9653  ax-cnex 11183  ax-resscn 11184  ax-1cn 11185  ax-icn 11186  ax-addcl 11187  ax-addrcl 11188  ax-mulcl 11189  ax-mulrcl 11190  ax-mulcom 11191  ax-addass 11192  ax-mulass 11193  ax-distr 11194  ax-i2m1 11195  ax-1ne0 11196  ax-1rid 11197  ax-rnegex 11198  ax-rrecex 11199  ax-cnre 11200  ax-pre-lttri 11201  ax-pre-lttrn 11202  ax-pre-ltadd 11203  ax-pre-mulgt0 11204  ax-pre-sup 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-int 4923  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-se 5607  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6483  df-fun 6532  df-fn 6533  df-f 6534  df-f1 6535  df-fo 6536  df-f1o 6537  df-fv 6538  df-isom 6539  df-riota 7360  df-ov 7406  df-oprab 7407  df-mpo 7408  df-om 7860  df-1st 7986  df-2nd 7987  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8478  df-er 8717  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-sup 9452  df-oi 9522  df-card 9951  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-xr 11271  df-ltxr 11272  df-le 11273  df-sub 11466  df-neg 11467  df-div 11893  df-nn 12239  df-2 12301  df-3 12302  df-n0 12500  df-z 12587  df-uz 12851  df-rp 13007  df-ico 13366  df-fz 13523  df-fzo 13670  df-seq 14018  df-exp 14078  df-hash 14347  df-cj 15116  df-re 15117  df-im 15118  df-sqrt 15252  df-abs 15253  df-clim 15502  df-sum 15701

This theorem is referenced by:  esumcvg  34063