Theorem fsumrp0cl 33102

Description: Closure of a finite sum of nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrp0cl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrp0cl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
fsumrp0cl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrp0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13404	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11091	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3925	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5		simprl 777	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
6	1, 5	sselid 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		simprr 779	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
8	1, 7	sselid 3914	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	6, 8	readdcld 11170	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11191	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
11		0xr 11188	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12		pnfxr 11195	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
13		elico1 13336	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
14	11, 12, 13	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
15	14	simp2bi 1153	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑥)
16	5, 15	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ 𝑥)
17		elico1 13336	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
18	11, 12, 17	mp2an 699	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
19	18	simp2bi 1153	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
20	7, 19	syl 17	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ 𝑦)
21	6, 8, 16, 20	addge0d 11722	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑦))
22		ltpnf 13066	. . . 4 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑦) < +∞)
23	9, 22	syl 17	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) < +∞)
24		elico1 13336	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝑦) ∧ (𝑥 + 𝑦) < +∞)))
25	11, 12, 24	mp2an 699	. . 3 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝑦) ∧ (𝑥 + 𝑦) < +∞))
26	10, 21, 23, 25	syl3anbrc 1351	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
27		fsumrp0cl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
28		fsumrp0cl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
29		0e0icopnf 13406	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
30	29	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
31	4, 26, 27, 28, 30	fsumcllem 15689	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 397   ∧ w3a 1093   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884   class class class wbr 5074  (class class class)co 7359  Fincfn 8887  ℂcc 11032  ℝcr 11033  0cc0 11034   + caddc 11037  +∞cpnf 11172  ℝ^*cxr 11174   < clt 11175   ≤ cle 11176  [,)cico 13295  Σcsu 15643

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-inf2 9557  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111  ax-pre-sup 11112

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-isom 6497  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-1o 8399  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-fin 8891  df-sup 9349  df-oi 9419  df-card 9858  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-div 11804  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-n0 12433  df-z 12520  df-uz 12784  df-rp 12938  df-ico 13299  df-fz 13457  df-fzo 13604  df-seq 13959  df-exp 14019  df-hash 14288  df-cj 15056  df-re 15057  df-im 15058  df-sqrt 15192  df-abs 15193  df-clim 15445  df-sum 15644

This theorem is referenced by:  esumcvg  34280