Theorem fsumrp0cl 33649

Description: Closure of a finite sum of nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
fsumrp0cl.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
fsumrp0cl.2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Assertion

Ref	Expression
fsumrp0cl	⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrp0cl

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rge0ssre 13611	. . . 4 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2		ax-resscn 11281	. . . 4 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
3	1, 2	sstri 3922	. . 3 ⊢ (0[,)+∞) ⊆ ℂ
4	3	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5		simprl 783	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
6	1, 5	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7		simprr 785	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
8	1, 7	sselid 3911	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
9	6, 8	readdcld 11362	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
10	9	rexrd 11383	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
11		0xr 11380	. . . . . . 7 ⊢ 0 ∈ ℝ*
12		pnfxr 11387	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
13		elico1 13543	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞)))
14	11, 12, 13	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 < +∞))
15	14	simp2bi 1164	. . . . 5 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑥)
16	5, 15	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ 𝑥)
17		elico1 13543	. . . . . . 7 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞)))
18	11, 12, 17	mp2an 705	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 < +∞))
19	18	simp2bi 1164	. . . . 5 ⊢ (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
20	7, 19	syl 18	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ 𝑦)
21	6, 8, 16, 20	addge0d 11916	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑦))
22		ltpnf 13273	. . . 4 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑦) < +∞)
23	9, 22	syl 18	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) < +∞)
24		elico1 13543	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝑦) ∧ (𝑥 + 𝑦) < +∞)))
25	11, 12, 24	mp2an 705	. . 3 ⊢ ((𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝑦) ∧ (𝑥 + 𝑦) < +∞))
26	10, 21, 23, 25	syl3anbrc 1362	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
27		fsumrp0cl.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ Fin)
28		fsumrp0cl.2	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ 𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
29		0e0icopnf 13613	. . 3 ⊢ 0 ∈ (0[,)+∞)
30	29	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
31	4, 26, 27, 28, 30	fsumcllem 15924	1 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  (class class class)co 7440  Fincfn 8998  ℂcc 11222  ℝcr 11223  0cc0 11224   + caddc 11227  +∞cpnf 11364  ℝ^*cxr 11366   < clt 11367   ≤ cle 11368  [,)cico 13502  Σcsu 15879

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7772  ax-inf2 9666  ax-cnex 11280  ax-resscn 11281  ax-1cn 11282  ax-icn 11283  ax-addcl 11284  ax-addrcl 11285  ax-mulcl 11286  ax-mulrcl 11287  ax-mulcom 11288  ax-addass 11289  ax-mulass 11290  ax-distr 11291  ax-i2m1 11292  ax-1ne0 11293  ax-1rid 11294  ax-rnegex 11295  ax-rrecex 11296  ax-cnre 11297  ax-pre-lttri 11298  ax-pre-lttrn 11299  ax-pre-ltadd 11300  ax-pre-mulgt0 11301  ax-pre-sup 11302

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-se 5609  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6319  df-ord 6380  df-on 6381  df-lim 6382  df-suc 6383  df-iota 6509  df-fun 6557  df-fn 6558  df-f 6559  df-f1 6560  df-fo 6561  df-f1o 6562  df-fv 6563  df-isom 6564  df-riota 7397  df-ov 7443  df-oprab 7444  df-mpo 7445  df-om 7899  df-1st 8022  df-2nd 8023  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8404  df-rdg 8443  df-1o 8501  df-er 8742  df-en 8999  df-dom 9000  df-sdom 9001  df-fin 9002  df-sup 9458  df-oi 9528  df-card 10044  df-pnf 11369  df-mnf 11370  df-xr 11371  df-ltxr 11372  df-le 11373  df-sub 11567  df-neg 11568  df-div 11998  df-nn 12360  df-2 12429  df-3 12430  df-n0 12631  df-z 12718  df-uz 12990  df-rp 13145  df-ico 13506  df-fz 13664  df-fzo 13813  df-seq 14169  df-exp 14229  df-hash 14499  df-cj 15292  df-re 15293  df-im 15294  df-sqrt 15428  df-abs 15429  df-clim 15681  df-sum 15880

This theorem is used by:  esumcvg  34785