Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  fsumrp0cl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem fsumrp0cl 30609
Description: Closure of a finite sum of nonnegative reals. (Contributed by Thierry Arnoux, 25-Jun-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
fsumrp0cl.1 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
fsumrp0cl.2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Assertion
Ref Expression
fsumrp0cl (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Distinct variable groups:   𝐴,𝑘   𝜑,𝑘
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑘)

Proof of Theorem fsumrp0cl
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rge0ssre 12832 . . . 4 (0[,)+∞) ⊆ ℝ
2 ax-resscn 10582 . . . 4 ℝ ⊆ ℂ
31, 2sstri 3973 . . 3 (0[,)+∞) ⊆ ℂ
43a1i 11 . 2 (𝜑 → (0[,)+∞) ⊆ ℂ)
5 simprl 767 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ (0[,)+∞))
61, 5sseldi 3962 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑥 ∈ ℝ)
7 simprr 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ (0[,)+∞))
81, 7sseldi 3962 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 𝑦 ∈ ℝ)
96, 8readdcld 10658 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
109rexrd 10679 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
11 0xr 10676 . . . . . . 7 0 ∈ ℝ*
12 pnfxr 10683 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
13 elico1 12769 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < +∞)))
1411, 12, 13mp2an 688 . . . . . 6 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥𝑥 < +∞))
1514simp2bi 1138 . . . . 5 (𝑥 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑥)
165, 15syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ 𝑥)
17 elico1 12769 . . . . . . 7 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < +∞)))
1811, 12, 17mp2an 688 . . . . . 6 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) ↔ (𝑦 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑦𝑦 < +∞))
1918simp2bi 1138 . . . . 5 (𝑦 ∈ (0[,)+∞) → 0 ≤ 𝑦)
207, 19syl 17 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ 𝑦)
216, 8, 16, 20addge0d 11204 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → 0 ≤ (𝑥 + 𝑦))
22 ltpnf 12503 . . . 4 ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ → (𝑥 + 𝑦) < +∞)
239, 22syl 17 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) < +∞)
24 elico1 12769 . . . 4 ((0 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝑦) ∧ (𝑥 + 𝑦) < +∞)))
2511, 12, 24mp2an 688 . . 3 ((𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞) ↔ ((𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ (𝑥 + 𝑦) ∧ (𝑥 + 𝑦) < +∞))
2610, 21, 23, 25syl3anbrc 1335 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ (0[,)+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,)+∞))) → (𝑥 + 𝑦) ∈ (0[,)+∞))
27 fsumrp0cl.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ Fin)
28 fsumrp0cl.2 . 2 ((𝜑𝑘𝐴) → 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
29 0e0icopnf 12834 . . 3 0 ∈ (0[,)+∞)
3029a1i 11 . 2 (𝜑 → 0 ∈ (0[,)+∞))
314, 26, 27, 28, 30fsumcllem 15077 1 (𝜑 → Σ𝑘𝐴 𝐵 ∈ (0[,)+∞))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079  wcel 2105  wss 3933   class class class wbr 5057  (class class class)co 7145  Fincfn 8497  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525   + caddc 10528  +∞cpnf 10660  *cxr 10662   < clt 10663  cle 10664  [,)cico 12728  Σcsu 15030
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-inf2 9092  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-se 5508  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-isom 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-sup 8894  df-oi 8962  df-card 9356  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-ico 12732  df-fz 12881  df-fzo 13022  df-seq 13358  df-exp 13418  df-hash 13679  df-cj 14446  df-re 14447  df-im 14448  df-sqrt 14582  df-abs 14583  df-clim 14833  df-sum 15031
This theorem is referenced by:  esumcvg  31244
  Copyright terms: Public domain W3C validator