MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul4r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul4r 11331
Description: Rearrangement of 4 factors: swap the right factors in the factors of a product of two products. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
mul4r (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ต)))

Proof of Theorem mul4r
StepHypRef Expression
1 mulcom 11144 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
21adantl 483 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
32oveq2d 7378 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ท ยท ๐ถ)))
4 mul4 11330 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ท ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
54ancom2s 649 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ท ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
6 simplr 768 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7 simprl 770 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
86, 7mulcomd 11183 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
98oveq2d 7378 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
103, 5, 93eqtrd 2781 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-mulcl 11120  ax-mulcom 11122  ax-mulass 11124
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-iota 6453  df-fv 6509  df-ov 7365
This theorem is referenced by:  bhmafibid1cn  15355  bhmafibid2cn  15356  2itscplem2  46939
  Copyright terms: Public domain W3C validator