MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  mul4r Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mul4r 11413
Description: Rearrangement of 4 factors: swap the right factors in the factors of a product of two products. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Assertion
Ref Expression
mul4r (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ต)))

Proof of Theorem mul4r
StepHypRef Expression
1 mulcom 11224 . . . 4 ((๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
21adantl 481 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ถ ยท ๐ท) = (๐ท ยท ๐ถ))
32oveq2d 7436 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ท ยท ๐ถ)))
4 mul4 11412 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ท ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
54ancom2s 649 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ท ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ต ยท ๐ถ)))
6 simplr 768 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
7 simprl 770 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„‚)
86, 7mulcomd 11265 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ (๐ต ยท ๐ถ) = (๐ถ ยท ๐ต))
98oveq2d 7436 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ต ยท ๐ถ)) = ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
103, 5, 93eqtrd 2772 1 (((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ท โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ด ยท ๐ต) ยท (๐ถ ยท ๐ท)) = ((๐ด ยท ๐ท) ยท (๐ถ ยท ๐ต)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   = wceq 1534   โˆˆ wcel 2099  (class class class)co 7420  โ„‚cc 11136   ยท cmul 11143
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-ext 2699  ax-mulcl 11200  ax-mulcom 11202  ax-mulass 11204
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-sb 2061  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-rab 3430  df-v 3473  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-iota 6500  df-fv 6556  df-ov 7423
This theorem is referenced by:  bhmafibid1cn  15442  bhmafibid2cn  15443  2itscplem2  47852
  Copyright terms: Public domain W3C validator