Theorem mul4 11000

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mul4	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul32 10998	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
2	1	oveq1d 7228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
3	2	3expa 1120	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
4	3	adantrr 717	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
5		mulcl 10813	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
6		mulass 10817	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
7	6	3expb 1122	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
8	5, 7	sylan 583	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
9		mulcl 10813	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
10		mulass 10817	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
11	10	3expb 1122	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
12	9, 11	sylan 583	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
13	12	an4s 660	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
14	4, 8, 13	3eqtr3d 2785	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∧ w3a 1089   = wceq 1543   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7213  ℂcc 10727   · cmul 10734

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-ext 2708  ax-mulcl 10791  ax-mulcom 10793  ax-mulass 10795

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-sb 2071  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-rab 3070  df-v 3410  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-nul 4238  df-if 4440  df-sn 4542  df-pr 4544  df-op 4548  df-uni 4820  df-br 5054  df-iota 6338  df-fv 6388  df-ov 7216

This theorem is referenced by:  mul4r  11001  mul4i  11029  mul4d  11044  recextlem1  11462  divmuldiv  11532  mulexp  13674  demoivreALT  15762  bposlem9  26173