Theorem mul4 11312

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mul4	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul32 11310	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
2	1	oveq1d 7378	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
3	2	3expa 1124	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
4	3	adantrr 723	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
5		mulcl 11120	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
6		mulass 11124	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
7	6	3expb 1126	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
8	5, 7	sylan 586	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
9		mulcl 11120	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
10		mulass 11124	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
11	10	3expb 1126	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
12	9, 11	sylan 586	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
13	12	an4s 666	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
14	4, 8, 13	3eqtr3d 2783	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  (class class class)co 7363  ℂcc 11034   · cmul 11041

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-ext 2712  ax-mulcl 11098  ax-mulcom 11100  ax-mulass 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-sb 2074  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-rab 3393  df-v 3434  df-dif 3893  df-un 3895  df-ss 3907  df-nul 4269  df-if 4462  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-br 5080  df-iota 6448  df-fv 6500  df-ov 7366

This theorem is referenced by:  mul4r  11313  mul4i  11341  mul4d  11356  recextlem1  11778  divmuldiv  11853  mulexp  14061  demoivreALT  16166  bposlem9  27280