Theorem mul4 11366

Description: Rearrangement of 4 factors. (Contributed by NM, 8-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
mul4	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem mul4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mul32 11364	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → ((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) = ((𝐴 · 𝐶) · 𝐵))
2	1	oveq1d 7415	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
3	2	3expa 1134	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
4	3	adantrr 729	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷))
5		mulcl 11172	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ)
6		mulass 11176	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
7	6	3expb 1136	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
8	5, 7	sylan 591	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐵) · 𝐶) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)))
9		mulcl 11172	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
10		mulass 11176	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
11	10	3expb 1136	. . . 4 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
12	9, 11	sylan 591	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
13	12	an4s 672	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) · 𝐵) · 𝐷) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))
14	4, 8, 13	3eqtr3d 2808	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐵) · (𝐶 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1563   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400  ℂcc 11086   · cmul 11093

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2737  ax-mulcl 11150  ax-mulcom 11152  ax-mulass 11154

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-sb 2094  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-rab 3418  df-v 3459  df-dif 3910  df-un 3912  df-ss 3924  df-nul 4289  df-if 4484  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5105  df-iota 6481  df-fv 6533  df-ov 7403

This theorem is referenced by:  mul4r  11367  mul4i  11395  mul4d  11410  recextlem1  11832  divmuldiv  11903  mulexp  14125  demoivreALT  16245  bposlem9  27410