Theorem bhmafibid2cn 15392

Description: The Brahmagupta-Fibonacci identity for complex numbers. Express the product of two sums of two squares as a sum of two squares. Second result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2020.) Generalization for complex numbers proposed by GL. (Revised by AV, 8-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bhmafibid2cn	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Proof of Theorem bhmafibid2cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 767	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14069	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3		simprl 771	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14069	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
6		simprr 773	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	6	sqcld 14069	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8		simplr 769	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14069	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
11	2, 7	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
12	4, 9	mulcld 11154	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
13	5, 10, 11, 12	add4d 11364	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))))
14	7, 9	mulcomd 11155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
15	4, 9	mulcomd 11155	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
16	14, 15	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
17	16	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
18	13, 17	eqtrd 2770	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
19	2, 9, 4, 7	muladdd 11597	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))))
20	1, 3	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
21	8, 6	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
22		binom2 14142	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)))
23	20, 21, 22	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)))
24	1, 6	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
25	8, 3	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
26		binom2sub 14145	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
27	24, 25, 26	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
28	23, 27	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)) = (((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)) + ((((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))))
29	20	sqcld 14069	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
30		2cnd 12225	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 2 ∈ ℂ)
31	20, 21	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
32	30, 31	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷))) ∈ ℂ)
33	29, 32	addcld 11153	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) ∈ ℂ)
34	21	sqcld 14069	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
35	24	sqcld 14069	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
36	24, 25	mulcld 11154	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
37	30, 36	mulcld 11154	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
38	35, 37	subcld 11494	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
39	25	sqcld 14069	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
40	33, 34, 38, 39	add4d 11364	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)) + ((((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = (((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))))
41		mul4r 11304	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))
42	41	an4s 661	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))
43	42	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷))) = (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))
44	43	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))))
45	44	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))))
46	29, 37, 35	ppncand 11534	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
47	45, 46	eqtrd 2770	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
48	8, 6	sqmuld 14083	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐷)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
49	8, 3	sqmuld 14083	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
50	48, 49	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)) = (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
51	47, 50	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
52	1, 3	sqmuld 14083	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))
53	1, 6	sqmuld 14083	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
54	52, 53	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))))
55	54	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
56	51, 55	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
57	28, 40, 56	3eqtrd 2774	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
58	18, 19, 57	3eqtr4d 2780	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) + (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) − (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358  ℂcc 11026   + caddc 11031   · cmul 11033   − cmin 11366  2c2 12202  ↑cexp 13986

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-pss 3920  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6258  df-ord 6319  df-on 6320  df-lim 6321  df-suc 6322  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11368  df-neg 11369  df-nn 12148  df-2 12210  df-n0 12404  df-z 12491  df-uz 12754  df-seq 13927  df-exp 13987

This theorem is referenced by: (None)