![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 2itscplem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma 2 for 2itscp 47932. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
2itscp.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
2itscp.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
2itscp.x | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
2itscp.y | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
2itscp.d | โข ๐ท = (๐ โ ๐ด) |
2itscp.e | โข ๐ธ = (๐ต โ ๐) |
2itscp.c | โข ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) |
Ref | Expression |
---|---|
2itscplem2 | โข (๐ โ (๐ถโ2) = ((((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 2itscp.c | . . . 4 โข ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) | |
2 | 1 | oveq1i 7436 | . . 3 โข (๐ถโ2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2) |
3 | 2 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ (๐ถโ2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2)) |
4 | 2itscp.d | . . . . 5 โข ๐ท = (๐ โ ๐ด) | |
5 | 2itscp.x | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
6 | 5 | recnd 11280 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
7 | 2itscp.a | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
8 | 7 | recnd 11280 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
9 | 6, 8 | subcld 11609 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ โ ๐ด) โ โ) |
10 | 4, 9 | eqeltrid 2833 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
11 | 2itscp.b | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
12 | 11 | recnd 11280 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
13 | 10, 12 | mulcld 11272 | . . 3 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) โ โ) |
14 | 2itscp.e | . . . . 5 โข ๐ธ = (๐ต โ ๐) | |
15 | 2itscp.y | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
16 | 15 | recnd 11280 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
17 | 12, 16 | subcld 11609 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ต โ ๐) โ โ) |
18 | 14, 17 | eqeltrid 2833 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
19 | 18, 8 | mulcld 11272 | . . 3 โข (๐ โ (๐ธ ยท ๐ด) โ โ) |
20 | binom2 14220 | . . 3 โข (((๐ท ยท ๐ต) โ โ โง (๐ธ ยท ๐ด) โ โ) โ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ2))) | |
21 | 13, 19, 20 | syl2anc 582 | . 2 โข (๐ โ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ2))) |
22 | 10, 12 | sqmuld 14162 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต)โ2) = ((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2))) |
23 | mul4r 11421 | . . . . . 6 โข (((๐ท โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ธ โ โ โง ๐ด โ โ)) โ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))) | |
24 | 10, 12, 18, 8, 23 | syl22anc 837 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))) |
25 | 24 | oveq2d 7442 | . . . 4 โข (๐ โ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด))) = (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) |
26 | 22, 25 | oveq12d 7444 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) = (((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))) |
27 | 18, 8 | sqmuld 14162 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ธ ยท ๐ด)โ2) = ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2))) |
28 | 26, 27 | oveq12d 7444 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ2)) = ((((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2)))) |
29 | 3, 21, 28 | 3eqtrd 2772 | 1 โข (๐ โ (๐ถโ2) = ((((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7426 โcc 11144 โcr 11145 + caddc 11149 ยท cmul 11151 โ cmin 11482 2c2 12305 โcexp 14066 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2166 ax-ext 2699 ax-sep 5303 ax-nul 5310 ax-pow 5369 ax-pr 5433 ax-un 7746 ax-cnex 11202 ax-resscn 11203 ax-1cn 11204 ax-icn 11205 ax-addcl 11206 ax-addrcl 11207 ax-mulcl 11208 ax-mulrcl 11209 ax-mulcom 11210 ax-addass 11211 ax-mulass 11212 ax-distr 11213 ax-i2m1 11214 ax-1ne0 11215 ax-1rid 11216 ax-rnegex 11217 ax-rrecex 11218 ax-cnre 11219 ax-pre-lttri 11220 ax-pre-lttrn 11221 ax-pre-ltadd 11222 ax-pre-mulgt0 11223 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 395 df-or 846 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2529 df-eu 2558 df-clab 2706 df-cleq 2720 df-clel 2806 df-nfc 2881 df-ne 2938 df-nel 3044 df-ral 3059 df-rex 3068 df-reu 3375 df-rab 3431 df-v 3475 df-sbc 3779 df-csb 3895 df-dif 3952 df-un 3954 df-in 3956 df-ss 3966 df-pss 3968 df-nul 4327 df-if 4533 df-pw 4608 df-sn 4633 df-pr 4635 df-op 4639 df-uni 4913 df-iun 5002 df-br 5153 df-opab 5215 df-mpt 5236 df-tr 5270 df-id 5580 df-eprel 5586 df-po 5594 df-so 5595 df-fr 5637 df-we 5639 df-xp 5688 df-rel 5689 df-cnv 5690 df-co 5691 df-dm 5692 df-rn 5693 df-res 5694 df-ima 5695 df-pred 6310 df-ord 6377 df-on 6378 df-lim 6379 df-suc 6380 df-iota 6505 df-fun 6555 df-fn 6556 df-f 6557 df-f1 6558 df-fo 6559 df-f1o 6560 df-fv 6561 df-riota 7382 df-ov 7429 df-oprab 7430 df-mpo 7431 df-om 7877 df-2nd 8000 df-frecs 8293 df-wrecs 8324 df-recs 8398 df-rdg 8437 df-er 8731 df-en 8971 df-dom 8972 df-sdom 8973 df-pnf 11288 df-mnf 11289 df-xr 11290 df-ltxr 11291 df-le 11292 df-sub 11484 df-neg 11485 df-nn 12251 df-2 12313 df-n0 12511 df-z 12597 df-uz 12861 df-seq 14007 df-exp 14067 |
This theorem is referenced by: 2itscplem3 47931 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |