Theorem 2itscplem2 49592

Description: Lemma 2 for 2itscp 49594. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
2itscplem2	⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))

Proof of Theorem 2itscplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscp.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2	1	oveq1i 7426	. . 3 ⊢ (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2))
4		2itscp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
5		2itscp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7		2itscp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 8	subcld 11580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 9	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11		2itscp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11248	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
14		2itscp.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
15		2itscp.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11248	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
17	12, 16	subcld 11580	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
18	14, 17	eqeltrid 2869	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
19	18, 8	mulcld 11240	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ)
20		binom2 14266	. . 3 ⊢ (((𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
21	13, 19, 20	syl2anc 596	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
22	10, 12	sqmuld 14207	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
23		mul4r 11390	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
24	10, 12, 18, 8, 23	syl22anc 852	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
25	24	oveq2d 7432	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴))) = (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))
26	22, 25	oveq12d 7434	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) = (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
27	18, 8	sqmuld 14207	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐴)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))
28	26, 27	oveq12d 7434	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
29	3, 21, 28	3eqtrd 2804	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  (class class class)co 7416  ℂcc 11109  ℝcr 11110   + caddc 11114   · cmul 11116   − cmin 11452  2c2 12306  ↑cexp 14110

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7738  ax-cnex 11167  ax-resscn 11168  ax-1cn 11169  ax-icn 11170  ax-addcl 11171  ax-addrcl 11172  ax-mulcl 11173  ax-mulrcl 11174  ax-mulcom 11175  ax-addass 11176  ax-mulass 11177  ax-distr 11178  ax-i2m1 11179  ax-1ne0 11180  ax-1rid 11181  ax-rnegex 11182  ax-rrecex 11183  ax-cnre 11184  ax-pre-lttri 11185  ax-pre-lttrn 11186  ax-pre-ltadd 11187  ax-pre-mulgt0 11188

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7373  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7865  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8360  df-rdg 8399  df-er 8696  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11256  df-mnf 11257  df-xr 11258  df-ltxr 11259  df-le 11260  df-sub 11454  df-neg 11455  df-nn 12245  df-2 12314  df-n0 12516  df-z 12603  df-uz 12874  df-seq 14051  df-exp 14111

This theorem is used by:  2itscplem3  49593