Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2itscplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2itscplem2 46094
Description: Lemma 2 for 2itscp 46096. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d 𝐷 = (𝑋𝐴)
2itscp.e 𝐸 = (𝐵𝑌)
2itscp.c 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
2itscplem2 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))

Proof of Theorem 2itscplem2
StepHypRef Expression
1 2itscp.c . . . 4 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
21oveq1i 7281 . . 3 (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2))
4 2itscp.d . . . . 5 𝐷 = (𝑋𝐴)
5 2itscp.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
65recnd 11004 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
7 2itscp.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87recnd 11004 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
96, 8subcld 11332 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
104, 9eqeltrid 2845 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
11 2itscp.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1211recnd 11004 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1310, 12mulcld 10996 . . 3 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
14 2itscp.e . . . . 5 𝐸 = (𝐵𝑌)
15 2itscp.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1615recnd 11004 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
1712, 16subcld 11332 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℂ)
1814, 17eqeltrid 2845 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1918, 8mulcld 10996 . . 3 (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ)
20 binom2 13931 . . 3 (((𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
2113, 19, 20syl2anc 584 . 2 (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
2210, 12sqmuld 13874 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
23 mul4r 11144 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
2410, 12, 18, 8, 23syl22anc 836 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
2524oveq2d 7287 . . . 4 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴))) = (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))
2622, 25oveq12d 7289 . . 3 (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) = (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
2718, 8sqmuld 13874 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐴)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))
2826, 27oveq12d 7289 . 2 (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
293, 21, 283eqtrd 2784 1 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2110  (class class class)co 7271  cc 10870  cr 10871   + caddc 10875   · cmul 10877  cmin 11205  2c2 12028  cexp 13780
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-seq 13720  df-exp 13781
This theorem is referenced by:  2itscplem3  46095
  Copyright terms: Public domain W3C validator