![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 2itscplem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma 2 for 2itscp 46957. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
2itscp.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
2itscp.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
2itscp.x | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
2itscp.y | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
2itscp.d | โข ๐ท = (๐ โ ๐ด) |
2itscp.e | โข ๐ธ = (๐ต โ ๐) |
2itscp.c | โข ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) |
Ref | Expression |
---|---|
2itscplem2 | โข (๐ โ (๐ถโ2) = ((((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 2itscp.c | . . . 4 โข ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) | |
2 | 1 | oveq1i 7371 | . . 3 โข (๐ถโ2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2) |
3 | 2 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ (๐ถโ2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2)) |
4 | 2itscp.d | . . . . 5 โข ๐ท = (๐ โ ๐ด) | |
5 | 2itscp.x | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
6 | 5 | recnd 11191 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
7 | 2itscp.a | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
8 | 7 | recnd 11191 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
9 | 6, 8 | subcld 11520 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ โ ๐ด) โ โ) |
10 | 4, 9 | eqeltrid 2838 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
11 | 2itscp.b | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
12 | 11 | recnd 11191 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
13 | 10, 12 | mulcld 11183 | . . 3 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) โ โ) |
14 | 2itscp.e | . . . . 5 โข ๐ธ = (๐ต โ ๐) | |
15 | 2itscp.y | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
16 | 15 | recnd 11191 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
17 | 12, 16 | subcld 11520 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ต โ ๐) โ โ) |
18 | 14, 17 | eqeltrid 2838 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
19 | 18, 8 | mulcld 11183 | . . 3 โข (๐ โ (๐ธ ยท ๐ด) โ โ) |
20 | binom2 14130 | . . 3 โข (((๐ท ยท ๐ต) โ โ โง (๐ธ ยท ๐ด) โ โ) โ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ2))) | |
21 | 13, 19, 20 | syl2anc 585 | . 2 โข (๐ โ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ2))) |
22 | 10, 12 | sqmuld 14072 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต)โ2) = ((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2))) |
23 | mul4r 11332 | . . . . . 6 โข (((๐ท โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ธ โ โ โง ๐ด โ โ)) โ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))) | |
24 | 10, 12, 18, 8, 23 | syl22anc 838 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))) |
25 | 24 | oveq2d 7377 | . . . 4 โข (๐ โ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด))) = (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) |
26 | 22, 25 | oveq12d 7379 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) = (((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))) |
27 | 18, 8 | sqmuld 14072 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ธ ยท ๐ด)โ2) = ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2))) |
28 | 26, 27 | oveq12d 7379 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ2)) = ((((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2)))) |
29 | 3, 21, 28 | 3eqtrd 2777 | 1 โข (๐ โ (๐ถโ2) = ((((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1542 โ wcel 2107 (class class class)co 7361 โcc 11057 โcr 11058 + caddc 11062 ยท cmul 11064 โ cmin 11393 2c2 12216 โcexp 13976 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1798 ax-4 1812 ax-5 1914 ax-6 1972 ax-7 2012 ax-8 2109 ax-9 2117 ax-10 2138 ax-11 2155 ax-12 2172 ax-ext 2704 ax-sep 5260 ax-nul 5267 ax-pow 5324 ax-pr 5388 ax-un 7676 ax-cnex 11115 ax-resscn 11116 ax-1cn 11117 ax-icn 11118 ax-addcl 11119 ax-addrcl 11120 ax-mulcl 11121 ax-mulrcl 11122 ax-mulcom 11123 ax-addass 11124 ax-mulass 11125 ax-distr 11126 ax-i2m1 11127 ax-1ne0 11128 ax-1rid 11129 ax-rnegex 11130 ax-rrecex 11131 ax-cnre 11132 ax-pre-lttri 11133 ax-pre-lttrn 11134 ax-pre-ltadd 11135 ax-pre-mulgt0 11136 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 398 df-or 847 df-3or 1089 df-3an 1090 df-tru 1545 df-fal 1555 df-ex 1783 df-nf 1787 df-sb 2069 df-mo 2535 df-eu 2564 df-clab 2711 df-cleq 2725 df-clel 2811 df-nfc 2886 df-ne 2941 df-nel 3047 df-ral 3062 df-rex 3071 df-reu 3353 df-rab 3407 df-v 3449 df-sbc 3744 df-csb 3860 df-dif 3917 df-un 3919 df-in 3921 df-ss 3931 df-pss 3933 df-nul 4287 df-if 4491 df-pw 4566 df-sn 4591 df-pr 4593 df-op 4597 df-uni 4870 df-iun 4960 df-br 5110 df-opab 5172 df-mpt 5193 df-tr 5227 df-id 5535 df-eprel 5541 df-po 5549 df-so 5550 df-fr 5592 df-we 5594 df-xp 5643 df-rel 5644 df-cnv 5645 df-co 5646 df-dm 5647 df-rn 5648 df-res 5649 df-ima 5650 df-pred 6257 df-ord 6324 df-on 6325 df-lim 6326 df-suc 6327 df-iota 6452 df-fun 6502 df-fn 6503 df-f 6504 df-f1 6505 df-fo 6506 df-f1o 6507 df-fv 6508 df-riota 7317 df-ov 7364 df-oprab 7365 df-mpo 7366 df-om 7807 df-2nd 7926 df-frecs 8216 df-wrecs 8247 df-recs 8321 df-rdg 8360 df-er 8654 df-en 8890 df-dom 8891 df-sdom 8892 df-pnf 11199 df-mnf 11200 df-xr 11201 df-ltxr 11202 df-le 11203 df-sub 11395 df-neg 11396 df-nn 12162 df-2 12224 df-n0 12422 df-z 12508 df-uz 12772 df-seq 13916 df-exp 13977 |
This theorem is referenced by: 2itscplem3 46956 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |