![]() |
Mathbox for Alexander van der Vekens |
< Previous
Next >
Nearby theorems |
|
Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > Mathboxes > 2itscplem2 | Structured version Visualization version GIF version |
Description: Lemma 2 for 2itscp 47724. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.) |
Ref | Expression |
---|---|
2itscp.a | โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
2itscp.b | โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
2itscp.x | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
2itscp.y | โข (๐ โ ๐ โ โ) |
2itscp.d | โข ๐ท = (๐ โ ๐ด) |
2itscp.e | โข ๐ธ = (๐ต โ ๐) |
2itscp.c | โข ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) |
Ref | Expression |
---|---|
2itscplem2 | โข (๐ โ (๐ถโ2) = ((((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2)))) |
Step | Hyp | Ref | Expression |
---|---|---|---|
1 | 2itscp.c | . . . 4 โข ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด)) | |
2 | 1 | oveq1i 7414 | . . 3 โข (๐ถโ2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2) |
3 | 2 | a1i 11 | . 2 โข (๐ โ (๐ถโ2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2)) |
4 | 2itscp.d | . . . . 5 โข ๐ท = (๐ โ ๐ด) | |
5 | 2itscp.x | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
6 | 5 | recnd 11243 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
7 | 2itscp.a | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ด โ โ) | |
8 | 7 | recnd 11243 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ด โ โ) |
9 | 6, 8 | subcld 11572 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ โ ๐ด) โ โ) |
10 | 4, 9 | eqeltrid 2831 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ท โ โ) |
11 | 2itscp.b | . . . . 5 โข (๐ โ ๐ต โ โ) | |
12 | 11 | recnd 11243 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ต โ โ) |
13 | 10, 12 | mulcld 11235 | . . 3 โข (๐ โ (๐ท ยท ๐ต) โ โ) |
14 | 2itscp.e | . . . . 5 โข ๐ธ = (๐ต โ ๐) | |
15 | 2itscp.y | . . . . . . 7 โข (๐ โ ๐ โ โ) | |
16 | 15 | recnd 11243 | . . . . . 6 โข (๐ โ ๐ โ โ) |
17 | 12, 16 | subcld 11572 | . . . . 5 โข (๐ โ (๐ต โ ๐) โ โ) |
18 | 14, 17 | eqeltrid 2831 | . . . 4 โข (๐ โ ๐ธ โ โ) |
19 | 18, 8 | mulcld 11235 | . . 3 โข (๐ โ (๐ธ ยท ๐ด) โ โ) |
20 | binom2 14183 | . . 3 โข (((๐ท ยท ๐ต) โ โ โง (๐ธ ยท ๐ด) โ โ) โ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ2))) | |
21 | 13, 19, 20 | syl2anc 583 | . 2 โข (๐ โ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ2))) |
22 | 10, 12 | sqmuld 14125 | . . . 4 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต)โ2) = ((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2))) |
23 | mul4r 11384 | . . . . . 6 โข (((๐ท โ โ โง ๐ต โ โ) โง (๐ธ โ โ โง ๐ด โ โ)) โ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))) | |
24 | 10, 12, 18, 8, 23 | syl22anc 836 | . . . . 5 โข (๐ โ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))) |
25 | 24 | oveq2d 7420 | . . . 4 โข (๐ โ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด))) = (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) |
26 | 22, 25 | oveq12d 7422 | . . 3 โข (๐ โ (((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) = (((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))) |
27 | 18, 8 | sqmuld 14125 | . . 3 โข (๐ โ ((๐ธ ยท ๐ด)โ2) = ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2))) |
28 | 26, 27 | oveq12d 7422 | . 2 โข (๐ โ ((((๐ท ยท ๐ต)โ2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ2)) = ((((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2)))) |
29 | 3, 21, 28 | 3eqtrd 2770 | 1 โข (๐ โ (๐ถโ2) = ((((๐ทโ2) ยท (๐ตโ2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ2) ยท (๐ดโ2)))) |
Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: โ wi 4 = wceq 1533 โ wcel 2098 (class class class)co 7404 โcc 11107 โcr 11108 + caddc 11112 ยท cmul 11114 โ cmin 11445 2c2 12268 โcexp 14029 |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1789 ax-4 1803 ax-5 1905 ax-6 1963 ax-7 2003 ax-8 2100 ax-9 2108 ax-10 2129 ax-11 2146 ax-12 2163 ax-ext 2697 ax-sep 5292 ax-nul 5299 ax-pow 5356 ax-pr 5420 ax-un 7721 ax-cnex 11165 ax-resscn 11166 ax-1cn 11167 ax-icn 11168 ax-addcl 11169 ax-addrcl 11170 ax-mulcl 11171 ax-mulrcl 11172 ax-mulcom 11173 ax-addass 11174 ax-mulass 11175 ax-distr 11176 ax-i2m1 11177 ax-1ne0 11178 ax-1rid 11179 ax-rnegex 11180 ax-rrecex 11181 ax-cnre 11182 ax-pre-lttri 11183 ax-pre-lttrn 11184 ax-pre-ltadd 11185 ax-pre-mulgt0 11186 |
This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 396 df-or 845 df-3or 1085 df-3an 1086 df-tru 1536 df-fal 1546 df-ex 1774 df-nf 1778 df-sb 2060 df-mo 2528 df-eu 2557 df-clab 2704 df-cleq 2718 df-clel 2804 df-nfc 2879 df-ne 2935 df-nel 3041 df-ral 3056 df-rex 3065 df-reu 3371 df-rab 3427 df-v 3470 df-sbc 3773 df-csb 3889 df-dif 3946 df-un 3948 df-in 3950 df-ss 3960 df-pss 3962 df-nul 4318 df-if 4524 df-pw 4599 df-sn 4624 df-pr 4626 df-op 4630 df-uni 4903 df-iun 4992 df-br 5142 df-opab 5204 df-mpt 5225 df-tr 5259 df-id 5567 df-eprel 5573 df-po 5581 df-so 5582 df-fr 5624 df-we 5626 df-xp 5675 df-rel 5676 df-cnv 5677 df-co 5678 df-dm 5679 df-rn 5680 df-res 5681 df-ima 5682 df-pred 6293 df-ord 6360 df-on 6361 df-lim 6362 df-suc 6363 df-iota 6488 df-fun 6538 df-fn 6539 df-f 6540 df-f1 6541 df-fo 6542 df-f1o 6543 df-fv 6544 df-riota 7360 df-ov 7407 df-oprab 7408 df-mpo 7409 df-om 7852 df-2nd 7972 df-frecs 8264 df-wrecs 8295 df-recs 8369 df-rdg 8408 df-er 8702 df-en 8939 df-dom 8940 df-sdom 8941 df-pnf 11251 df-mnf 11252 df-xr 11253 df-ltxr 11254 df-le 11255 df-sub 11447 df-neg 11448 df-nn 12214 df-2 12276 df-n0 12474 df-z 12560 df-uz 12824 df-seq 13970 df-exp 14030 |
This theorem is referenced by: 2itscplem3 47723 |
Copyright terms: Public domain | W3C validator |