Theorem 2itscplem2 46094

Description: Lemma 2 for 2itscp 46096. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
2itscplem2	⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))

Proof of Theorem 2itscplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscp.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2	1	oveq1i 7281	. . 3 ⊢ (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2))
4		2itscp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
5		2itscp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11004	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7		2itscp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11004	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 8	subcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 9	eqeltrid 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11		2itscp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11004	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 10996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
14		2itscp.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
15		2itscp.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11004	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
17	12, 16	subcld 11332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
18	14, 17	eqeltrid 2845	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
19	18, 8	mulcld 10996	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ)
20		binom2 13931	. . 3 ⊢ (((𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
21	13, 19, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
22	10, 12	sqmuld 13874	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
23		mul4r 11144	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
24	10, 12, 18, 8, 23	syl22anc 836	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
25	24	oveq2d 7287	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴))) = (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))
26	22, 25	oveq12d 7289	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) = (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
27	18, 8	sqmuld 13874	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐴)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))
28	26, 27	oveq12d 7289	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
29	3, 21, 28	3eqtrd 2784	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  ℝcr 10871   + caddc 10875   · cmul 10877   − cmin 11205  2c2 12028  ↑cexp 13780

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12582  df-seq 13720  df-exp 13781

This theorem is referenced by:  2itscplem3  46095