Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2itscplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2itscplem2 47930
Description: Lemma 2 for 2itscp 47932. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2itscp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2itscp.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2itscp.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2itscp.d ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
2itscp.e ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
2itscp.c ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
2itscplem2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))

Proof of Theorem 2itscplem2
StepHypRef Expression
1 2itscp.c . . . 4 ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
21oveq1i 7436 . . 3 (๐ถโ†‘2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2)
32a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2))
4 2itscp.d . . . . 5 ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
5 2itscp.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
65recnd 11280 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
7 2itscp.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87recnd 11280 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
96, 8subcld 11609 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
104, 9eqeltrid 2833 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
11 2itscp.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1211recnd 11280 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1310, 12mulcld 11272 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
14 2itscp.e . . . . 5 ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
15 2itscp.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
1615recnd 11280 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
1712, 16subcld 11609 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
1814, 17eqeltrid 2833 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1918, 8mulcld 11272 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 binom2 14220 . . 3 (((๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ธ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2)))
2113, 19, 20syl2anc 582 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2)))
2210, 12sqmuld 14162 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
23 mul4r 11421 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))
2410, 12, 18, 8, 23syl22anc 837 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))
2524oveq2d 7442 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด))) = (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))
2622, 25oveq12d 7444 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) = (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))
2718, 8sqmuld 14162 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2) = ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
2826, 27oveq12d 7444 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2)) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
293, 21, 283eqtrd 2772 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7426  โ„‚cc 11144  โ„cr 11145   + caddc 11149   ยท cmul 11151   โˆ’ cmin 11482  2c2 12305  โ†‘cexp 14066
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-tr 5270  df-id 5580  df-eprel 5586  df-po 5594  df-so 5595  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-pred 6310  df-ord 6377  df-on 6378  df-lim 6379  df-suc 6380  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7877  df-2nd 8000  df-frecs 8293  df-wrecs 8324  df-recs 8398  df-rdg 8437  df-er 8731  df-en 8971  df-dom 8972  df-sdom 8973  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-nn 12251  df-2 12313  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-seq 14007  df-exp 14067
This theorem is referenced by:  2itscplem3  47931
  Copyright terms: Public domain W3C validator