Theorem 2itscplem2 47455

Description: Lemma 2 for 2itscp 47457. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
2itscplem2	⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))

Proof of Theorem 2itscplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscp.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2	1	oveq1i 7418	. . 3 ⊢ (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2))
4		2itscp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
5		2itscp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7		2itscp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 8	subcld 11570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 9	eqeltrid 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11		2itscp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11241	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
14		2itscp.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
15		2itscp.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11241	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
17	12, 16	subcld 11570	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
18	14, 17	eqeltrid 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
19	18, 8	mulcld 11233	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ)
20		binom2 14180	. . 3 ⊢ (((𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
21	13, 19, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
22	10, 12	sqmuld 14122	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
23		mul4r 11382	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
24	10, 12, 18, 8, 23	syl22anc 837	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
25	24	oveq2d 7424	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴))) = (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))
26	22, 25	oveq12d 7426	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) = (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
27	18, 8	sqmuld 14122	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐴)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))
28	26, 27	oveq12d 7426	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
29	3, 21, 28	3eqtrd 2776	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  (class class class)co 7408  ℂcc 11107  ℝcr 11108   + caddc 11112   · cmul 11114   − cmin 11443  2c2 12266  ↑cexp 14026

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027

This theorem is referenced by:  2itscplem3  47456