Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2itscplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2itscplem2 45132
Description: Lemma 2 for 2itscp 45134. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d 𝐷 = (𝑋𝐴)
2itscp.e 𝐸 = (𝐵𝑌)
2itscp.c 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
Assertion
Ref Expression
2itscplem2 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))

Proof of Theorem 2itscplem2
StepHypRef Expression
1 2itscp.c . . . 4 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
21oveq1i 7150 . . 3 (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2)
32a1i 11 . 2 (𝜑 → (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2))
4 2itscp.d . . . . 5 𝐷 = (𝑋𝐴)
5 2itscp.x . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
65recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
7 2itscp.a . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
87recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
96, 8subcld 10986 . . . . 5 (𝜑 → (𝑋𝐴) ∈ ℂ)
104, 9eqeltrid 2918 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℂ)
11 2itscp.b . . . . 5 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
1211recnd 10658 . . . 4 (𝜑𝐵 ∈ ℂ)
1310, 12mulcld 10650 . . 3 (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
14 2itscp.e . . . . 5 𝐸 = (𝐵𝑌)
15 2itscp.y . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
1615recnd 10658 . . . . . 6 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
1712, 16subcld 10986 . . . . 5 (𝜑 → (𝐵𝑌) ∈ ℂ)
1814, 17eqeltrid 2918 . . . 4 (𝜑𝐸 ∈ ℂ)
1918, 8mulcld 10650 . . 3 (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ)
20 binom2 13575 . . 3 (((𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
2113, 19, 20syl2anc 587 . 2 (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
2210, 12sqmuld 13518 . . . 4 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
23 mul4r 10798 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
2410, 12, 18, 8, 23syl22anc 837 . . . . 5 (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
2524oveq2d 7156 . . . 4 (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴))) = (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))
2622, 25oveq12d 7158 . . 3 (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) = (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
2718, 8sqmuld 13518 . . 3 (𝜑 → ((𝐸 · 𝐴)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))
2826, 27oveq12d 7158 . 2 (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
293, 21, 283eqtrd 2861 1 (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  (class class class)co 7140  cc 10524  cr 10525   + caddc 10529   · cmul 10531  cmin 10859  2c2 11680  cexp 13425
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3927  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-tp 4544  df-op 4546  df-uni 4814  df-iun 4896  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-tr 5149  df-id 5437  df-eprel 5442  df-po 5451  df-so 5452  df-fr 5491  df-we 5493  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-pred 6126  df-ord 6172  df-on 6173  df-lim 6174  df-suc 6175  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-om 7566  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-seq 13365  df-exp 13426
This theorem is referenced by:  2itscplem3  45133
  Copyright terms: Public domain W3C validator