Theorem 2itscplem2 48907

Description: Lemma 2 for 2itscp 48909. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)

Hypotheses

Ref	Expression
2itscp.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2itscp.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
2itscp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
2itscp.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
2itscp.d	⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
2itscp.e	⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
2itscp.c	⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))

Assertion

Ref	Expression
2itscplem2	⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))

Proof of Theorem 2itscplem2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		2itscp.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))
2	1	oveq1i 7364	. . 3 ⊢ (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2)
3	2	a1i 11	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2))
4		2itscp.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (𝑋 − 𝐴)
5		2itscp.x	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
6	5	recnd 11149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
7		2itscp.a	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
8	7	recnd 11149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
9	6, 8	subcld 11481	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − 𝐴) ∈ ℂ)
10	4, 9	eqeltrid 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℂ)
11		2itscp.b	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
12	11	recnd 11149	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℂ)
13	10, 12	mulcld 11141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ)
14		2itscp.e	. . . . 5 ⊢ 𝐸 = (𝐵 − 𝑌)
15		2itscp.y	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
16	15	recnd 11149	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
17	12, 16	subcld 11481	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 − 𝑌) ∈ ℂ)
18	14, 17	eqeltrid 2837	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ ℂ)
19	18, 8	mulcld 11141	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ)
20		binom2 14128	. . 3 ⊢ (((𝐷 · 𝐵) ∈ ℂ ∧ (𝐸 · 𝐴) ∈ ℂ) → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
21	13, 19, 20	syl2anc 584	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵) + (𝐸 · 𝐴))↑2) = ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)))
22	10, 12	sqmuld 14069	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵)↑2) = ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)))
23		mul4r 11291	. . . . . 6 ⊢ (((𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐸 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ)) → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
24	10, 12, 18, 8, 23	syl22anc 838	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)) = ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))
25	24	oveq2d 7370	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴))) = (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵))))
26	22, 25	oveq12d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) = (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))))
27	18, 8	sqmuld 14069	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐸 · 𝐴)↑2) = ((𝐸↑2) · (𝐴↑2)))
28	26, 27	oveq12d 7372	. 2 ⊢ (𝜑 → ((((𝐷 · 𝐵)↑2) + (2 · ((𝐷 · 𝐵) · (𝐸 · 𝐴)))) + ((𝐸 · 𝐴)↑2)) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))
29	3, 21, 28	3eqtrd 2772	1 ⊢ (𝜑 → (𝐶↑2) = ((((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + (2 · ((𝐷 · 𝐴) · (𝐸 · 𝐵)))) + ((𝐸↑2) · (𝐴↑2))))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7354  ℂcc 11013  ℝcr 11014   + caddc 11018   · cmul 11020   − cmin 11353  2c2 12189  ↑cexp 13972

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7676  ax-cnex 11071  ax-resscn 11072  ax-1cn 11073  ax-icn 11074  ax-addcl 11075  ax-addrcl 11076  ax-mulcl 11077  ax-mulrcl 11078  ax-mulcom 11079  ax-addass 11080  ax-mulass 11081  ax-distr 11082  ax-i2m1 11083  ax-1ne0 11084  ax-1rid 11085  ax-rnegex 11086  ax-rrecex 11087  ax-cnre 11088  ax-pre-lttri 11089  ax-pre-lttrn 11090  ax-pre-ltadd 11091  ax-pre-mulgt0 11092

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4861  df-iun 4945  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7311  df-ov 7357  df-oprab 7358  df-mpo 7359  df-om 7805  df-2nd 7930  df-frecs 8219  df-wrecs 8250  df-recs 8299  df-rdg 8337  df-er 8630  df-en 8878  df-dom 8879  df-sdom 8880  df-pnf 11157  df-mnf 11158  df-xr 11159  df-ltxr 11160  df-le 11161  df-sub 11355  df-neg 11356  df-nn 12135  df-2 12197  df-n0 12391  df-z 12478  df-uz 12741  df-seq 13913  df-exp 13973

This theorem is referenced by:  2itscplem3  48908