Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2itscplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2itscplem2 46955
Description: Lemma 2 for 2itscp 46957. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2itscp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2itscp.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2itscp.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2itscp.d ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
2itscp.e ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
2itscp.c ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
2itscplem2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))

Proof of Theorem 2itscplem2
StepHypRef Expression
1 2itscp.c . . . 4 ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
21oveq1i 7371 . . 3 (๐ถโ†‘2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2)
32a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2))
4 2itscp.d . . . . 5 ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
5 2itscp.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
65recnd 11191 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
7 2itscp.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87recnd 11191 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
96, 8subcld 11520 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
104, 9eqeltrid 2838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
11 2itscp.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1211recnd 11191 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1310, 12mulcld 11183 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
14 2itscp.e . . . . 5 ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
15 2itscp.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
1615recnd 11191 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
1712, 16subcld 11520 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
1814, 17eqeltrid 2838 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1918, 8mulcld 11183 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 binom2 14130 . . 3 (((๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ธ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2)))
2113, 19, 20syl2anc 585 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2)))
2210, 12sqmuld 14072 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
23 mul4r 11332 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))
2410, 12, 18, 8, 23syl22anc 838 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))
2524oveq2d 7377 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด))) = (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))
2622, 25oveq12d 7379 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) = (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))
2718, 8sqmuld 14072 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2) = ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
2826, 27oveq12d 7379 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2)) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
293, 21, 283eqtrd 2777 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7361  โ„‚cc 11057  โ„cr 11058   + caddc 11062   ยท cmul 11064   โˆ’ cmin 11393  2c2 12216  โ†‘cexp 13976
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-nn 12162  df-2 12224  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-seq 13916  df-exp 13977
This theorem is referenced by:  2itscplem3  46956
  Copyright terms: Public domain W3C validator