Users' Mathboxes Mathbox for Alexander van der Vekens < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  2itscplem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 2itscplem2 47722
Description: Lemma 2 for 2itscp 47724. (Contributed by AV, 4-Mar-2023.)
Hypotheses
Ref Expression
2itscp.a (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
2itscp.b (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
2itscp.x (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2itscp.y (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
2itscp.d ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
2itscp.e ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
2itscp.c ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
Assertion
Ref Expression
2itscplem2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))

Proof of Theorem 2itscplem2
StepHypRef Expression
1 2itscp.c . . . 4 ๐ถ = ((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))
21oveq1i 7414 . . 3 (๐ถโ†‘2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2)
32a1i 11 . 2 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2))
4 2itscp.d . . . . 5 ๐ท = (๐‘‹ โˆ’ ๐ด)
5 2itscp.x . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
65recnd 11243 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„‚)
7 2itscp.a . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
87recnd 11243 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
96, 8subcld 11572 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐‘‹ โˆ’ ๐ด) โˆˆ โ„‚)
104, 9eqeltrid 2831 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„‚)
11 2itscp.b . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
1211recnd 11243 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
1310, 12mulcld 11235 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚)
14 2itscp.e . . . . 5 ๐ธ = (๐ต โˆ’ ๐‘Œ)
15 2itscp.y . . . . . . 7 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„)
1615recnd 11243 . . . . . 6 (๐œ‘ โ†’ ๐‘Œ โˆˆ โ„‚)
1712, 16subcld 11572 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ (๐ต โˆ’ ๐‘Œ) โˆˆ โ„‚)
1814, 17eqeltrid 2831 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ธ โˆˆ โ„‚)
1918, 8mulcld 11235 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ธ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚)
20 binom2 14183 . . 3 (((๐ท ยท ๐ต) โˆˆ โ„‚ โˆง (๐ธ ยท ๐ด) โˆˆ โ„‚) โ†’ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2)))
2113, 19, 20syl2anc 583 . 2 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท ๐ต) + (๐ธ ยท ๐ด))โ†‘2) = ((((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2)))
2210, 12sqmuld 14125 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) = ((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)))
23 mul4r 11384 . . . . . 6 (((๐ท โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โˆง (๐ธ โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚)) โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))
2410, 12, 18, 8, 23syl22anc 836 . . . . 5 (๐œ‘ โ†’ ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)) = ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))
2524oveq2d 7420 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด))) = (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต))))
2622, 25oveq12d 7422 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) = (((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))))
2718, 8sqmuld 14125 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2) = ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2)))
2826, 27oveq12d 7422 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((((๐ท ยท ๐ต)โ†‘2) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ต) ยท (๐ธ ยท ๐ด)))) + ((๐ธ ยท ๐ด)โ†‘2)) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
293, 21, 283eqtrd 2770 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ถโ†‘2) = ((((๐ทโ†‘2) ยท (๐ตโ†‘2)) + (2 ยท ((๐ท ยท ๐ด) ยท (๐ธ ยท ๐ต)))) + ((๐ธโ†‘2) ยท (๐ดโ†‘2))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098  (class class class)co 7404  โ„‚cc 11107  โ„cr 11108   + caddc 11112   ยท cmul 11114   โˆ’ cmin 11445  2c2 12268  โ†‘cexp 14029
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-seq 13970  df-exp 14030
This theorem is referenced by:  2itscplem3  47723
  Copyright terms: Public domain W3C validator