Theorem bhmafibid1cn 15389

Description: The Brahmagupta-Fibonacci identity for complex numbers. Express the product of two sums of two squares as a sum of two squares. First result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2020.) Generalization for complex numbers proposed by GL. (Revised by AV, 8-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bhmafibid1cn	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Proof of Theorem bhmafibid1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14067	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3		simprl 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14067	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
6		simprr 772	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	6	sqcld 14067	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8		simplr 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14067	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
11	2, 7	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
12	4, 9	mulcld 11152	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
13	5, 10, 11, 12	add4d 11362	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))))
14	7, 9	mulcomd 11153	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
15	4, 9	mulcomd 11153	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
16	14, 15	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
17	16	oveq2d 7374	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
18	13, 17	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
19	2, 9, 4, 7	muladdd 11595	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))))
20	1, 3	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
21	8, 6	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
22		binom2sub 14143	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)))
23	20, 21, 22	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)))
24	1, 6	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
25	8, 3	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
26		binom2 14140	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
27	24, 25, 26	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
28	23, 27	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)) = (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)) + ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))))
29	20	sqcld 14067	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
30		2cnd 12223	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 2 ∈ ℂ)
31	20, 21	mulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
32	30, 31	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷))) ∈ ℂ)
33	29, 32	subcld 11492	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) ∈ ℂ)
34	21	sqcld 14067	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
35	24	sqcld 14067	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
36	24, 25	mulcld 11152	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
37	30, 36	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
38	35, 37	addcld 11151	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
39	25	sqcld 14067	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
40	33, 34, 38, 39	add4d 11362	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)) + ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))))
41		mul4r 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))
42	41	an4s 660	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))
43	42	oveq2d 7374	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷))) = (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))
44	43	oveq2d 7374	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))))
45	44	oveq1d 7373	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))))
46	29, 37, 35	nppcan3d 11519	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
47	45, 46	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
48	8, 6	sqmuld 14081	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐷)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
49	8, 3	sqmuld 14081	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
50	48, 49	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)) = (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
51	47, 50	oveq12d 7376	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
52	1, 3	sqmuld 14081	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))
53	1, 6	sqmuld 14081	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
54	52, 53	oveq12d 7376	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))))
55	54	oveq1d 7373	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
56	51, 55	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
57	28, 40, 56	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
58	18, 19, 57	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7358  ℂcc 11024   + caddc 11029   · cmul 11031   − cmin 11364  2c2 12200  ↑cexp 13984

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by: (None)