Theorem bhmafibid1cn 15415

Description: The Brahmagupta-Fibonacci identity for complex numbers. Express the product of two sums of two squares as a sum of two squares. First result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2020.) Generalization for complex numbers proposed by GL. (Revised by AV, 8-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bhmafibid1cn	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Proof of Theorem bhmafibid1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3		simprl 768	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11239	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
6		simprr 770	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	6	sqcld 14114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8		simplr 766	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11239	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
11	2, 7	mulcld 11239	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
12	4, 9	mulcld 11239	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
13	5, 10, 11, 12	add4d 11447	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))))
14	7, 9	mulcomd 11240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
15	4, 9	mulcomd 11240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
16	14, 15	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
17	16	oveq2d 7428	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
18	13, 17	eqtrd 2771	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
19	2, 9, 4, 7	muladdd 11677	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))))
20	1, 3	mulcld 11239	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
21	8, 6	mulcld 11239	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
22		binom2sub 14188	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)))
23	20, 21, 22	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)))
24	1, 6	mulcld 11239	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
25	8, 3	mulcld 11239	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
26		binom2 14186	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
27	24, 25, 26	syl2anc 583	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
28	23, 27	oveq12d 7430	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)) = (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)) + ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))))
29	20	sqcld 14114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
30		2cnd 12295	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 2 ∈ ℂ)
31	20, 21	mulcld 11239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
32	30, 31	mulcld 11239	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷))) ∈ ℂ)
33	29, 32	subcld 11576	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) ∈ ℂ)
34	21	sqcld 14114	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
35	24	sqcld 14114	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
36	24, 25	mulcld 11239	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
37	30, 36	mulcld 11239	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
38	35, 37	addcld 11238	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
39	25	sqcld 14114	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
40	33, 34, 38, 39	add4d 11447	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)) + ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))))
41		mul4r 11388	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))
42	41	an4s 657	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))
43	42	oveq2d 7428	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷))) = (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))
44	43	oveq2d 7428	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))))
45	44	oveq1d 7427	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))))
46	29, 37, 35	nppcan3d 11603	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
47	45, 46	eqtrd 2771	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
48	8, 6	sqmuld 14128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐷)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
49	8, 3	sqmuld 14128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
50	48, 49	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)) = (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
51	47, 50	oveq12d 7430	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
52	1, 3	sqmuld 14128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))
53	1, 6	sqmuld 14128	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
54	52, 53	oveq12d 7430	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))))
55	54	oveq1d 7427	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
56	51, 55	eqtrd 2771	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
57	28, 40, 56	3eqtrd 2775	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
58	18, 19, 57	3eqtr4d 2781	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  (class class class)co 7412  ℂcc 11111   + caddc 11116   · cmul 11118   − cmin 11449  2c2 12272  ↑cexp 14032

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-exp 14033

This theorem is referenced by: (None)