Theorem bhmafibid1cn 15484

Description: The Brahmagupta-Fibonacci identity for complex numbers. Express the product of two sums of two squares as a sum of two squares. First result. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Feb-2020.) Generalization for complex numbers proposed by GL. (Revised by AV, 8-Jun-2023.)

Assertion

Ref	Expression
bhmafibid1cn	⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Proof of Theorem bhmafibid1cn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 776	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐴 ∈ ℂ)
2	1	sqcld 14151	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴↑2) ∈ ℂ)
3		simprl 780	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐶 ∈ ℂ)
4	3	sqcld 14151	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐶↑2) ∈ ℂ)
5	2, 4	mulcld 11196	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) ∈ ℂ)
6		simprr 782	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐷 ∈ ℂ)
7	6	sqcld 14151	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐷↑2) ∈ ℂ)
8		simplr 778	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 𝐵 ∈ ℂ)
9	8	sqcld 14151	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵↑2) ∈ ℂ)
10	7, 9	mulcld 11196	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
11	2, 7	mulcld 11196	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) ∈ ℂ)
12	4, 9	mulcld 11196	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) ∈ ℂ)
13	5, 10, 11, 12	add4d 11406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))))
14	7, 9	mulcomd 11197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
15	4, 9	mulcomd 11197	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
16	14, 15	oveq12d 7409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2))) = (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
17	16	oveq2d 7407	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐷↑2) · (𝐵↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
18	13, 17	eqtrd 2796	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
19	2, 9, 4, 7	muladdd 11639	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐷↑2) · (𝐵↑2))) + (((𝐴↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐶↑2) · (𝐵↑2)))))
20	1, 3	mulcld 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ)
21	8, 6	mulcld 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ)
22		binom2sub 14227	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)))
23	20, 21, 22	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)))
24	1, 6	mulcld 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ)
25	8, 3	mulcld 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ)
26		binom2 14224	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 · 𝐷) ∈ ℂ ∧ (𝐵 · 𝐶) ∈ ℂ) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
27	24, 25, 26	syl2anc 593	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2) = ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)))
28	23, 27	oveq12d 7409	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)) = (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)) + ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))))
29	20	sqcld 14151	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
30		2cnd 12290	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → 2 ∈ ℂ)
31	20, 21	mulcld 11196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) ∈ ℂ)
32	30, 31	mulcld 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷))) ∈ ℂ)
33	29, 32	subcld 11536	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) ∈ ℂ)
34	21	sqcld 14151	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
35	24	sqcld 14151	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷)↑2) ∈ ℂ)
36	24, 25	mulcld 11196	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)) ∈ ℂ)
37	30, 36	mulcld 11196	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))) ∈ ℂ)
38	35, 37	addcld 11195	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) ∈ ℂ)
39	25	sqcld 14151	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) ∈ ℂ)
40	33, 34, 38, 39	add4d 11406	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + ((𝐵 · 𝐷)↑2)) + ((((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))))
41		mul4r 11346	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ∈ ℂ) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))
42	41	an4s 670	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)) = ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))
43	42	oveq2d 7407	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷))) = (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))
44	43	oveq2d 7407	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))))
45	44	oveq1d 7406	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))))
46	29, 37, 35	nppcan3d 11563	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
47	45, 46	eqtrd 2796	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) = (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)))
48	8, 6	sqmuld 14165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐷)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐷↑2)))
49	8, 3	sqmuld 14165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐵 · 𝐶)↑2) = ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))
50	48, 49	oveq12d 7409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2)) = (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2))))
51	47, 50	oveq12d 7409	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
52	1, 3	sqmuld 14165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐶)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐶↑2)))
53	1, 6	sqmuld 14165	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((𝐴 · 𝐷)↑2) = ((𝐴↑2) · (𝐷↑2)))
54	52, 53	oveq12d 7409	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) = (((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))))
55	54	oveq1d 7406	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶)↑2) + ((𝐴 · 𝐷)↑2)) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
56	51, 55	eqtrd 2796	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((((𝐴 · 𝐶)↑2) − (2 · ((𝐴 · 𝐶) · (𝐵 · 𝐷)))) + (((𝐴 · 𝐷)↑2) + (2 · ((𝐴 · 𝐷) · (𝐵 · 𝐶))))) + (((𝐵 · 𝐷)↑2) + ((𝐵 · 𝐶)↑2))) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
57	28, 40, 56	3eqtrd 2800	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)) = ((((𝐴↑2) · (𝐶↑2)) + ((𝐴↑2) · (𝐷↑2))) + (((𝐵↑2) · (𝐷↑2)) + ((𝐵↑2) · (𝐶↑2)))))
58	18, 19, 57	3eqtr4d 2806	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) ∧ (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ∈ ℂ)) → (((𝐴↑2) + (𝐵↑2)) · ((𝐶↑2) + (𝐷↑2))) = ((((𝐴 · 𝐶) − (𝐵 · 𝐷))↑2) + (((𝐴 · 𝐷) + (𝐵 · 𝐶))↑2)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1559   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7391  ℂcc 11065   + caddc 11070   · cmul 11072   − cmin 11408  2c2 12266  ↑cexp 14068

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7713  ax-cnex 11123  ax-resscn 11124  ax-1cn 11125  ax-icn 11126  ax-addcl 11127  ax-addrcl 11128  ax-mulcl 11129  ax-mulrcl 11130  ax-mulcom 11131  ax-addass 11132  ax-mulass 11133  ax-distr 11134  ax-i2m1 11135  ax-1ne0 11136  ax-1rid 11137  ax-rnegex 11138  ax-rrecex 11139  ax-cnre 11140  ax-pre-lttri 11141  ax-pre-lttrn 11142  ax-pre-ltadd 11143  ax-pre-mulgt0 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3061  df-ral 3076  df-rex 3086  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6283  df-ord 6344  df-on 6345  df-lim 6346  df-suc 6347  df-iota 6472  df-fun 6518  df-fn 6519  df-f 6520  df-f1 6521  df-fo 6522  df-f1o 6523  df-fv 6524  df-riota 7348  df-ov 7394  df-oprab 7395  df-mpo 7396  df-om 7842  df-2nd 7966  df-frecs 8256  df-wrecs 8287  df-recs 8336  df-rdg 8375  df-er 8672  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11212  df-mnf 11213  df-xr 11214  df-ltxr 11215  df-le 11216  df-sub 11410  df-neg 11411  df-nn 12205  df-2 12274  df-n0 12476  df-z 12563  df-uz 12834  df-seq 14009  df-exp 14069

This theorem is referenced by: (None)