Theorem muladd11 11405

Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
muladd11	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))

Proof of Theorem muladd11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11187	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		addcl 11211	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
4		adddi 11218	. . . 4 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
5	1, 4	mp3an2 1451	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
6	3, 5	sylan 580	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
7	3	mulridd 11252	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) · 1) = (1 + 𝐴))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 1) = (1 + 𝐴))
9		adddir 11226	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
10	1, 9	mp3an1 1450	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
11		mullid 11234	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
13	12	oveq1d 7420	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))
14	10, 13	eqtrd 2770	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))
15	8, 14	oveq12d 7423	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))
16	6, 15	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7405  ℂcc 11127  1c1 11130   + caddc 11132   · cmul 11134

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-mulcl 11191  ax-mulcom 11193  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-1rid 11199  ax-cnre 11202

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-iota 6484  df-fv 6539  df-ov 7408

This theorem is referenced by:  muladd11r  11448  bernneq  14247