Theorem muladd11 11075

Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
muladd11	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))

Proof of Theorem muladd11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 10860	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		addcl 10884	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 686	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
4		adddi 10891	. . . 4 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
5	1, 4	mp3an2 1447	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
6	3, 5	sylan 579	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
7	3	mulid1d 10923	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) · 1) = (1 + 𝐴))
8	7	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 1) = (1 + 𝐴))
9		adddir 10897	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
10	1, 9	mp3an1 1446	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
11		mulid2 10905	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
12	11	adantl 481	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
13	12	oveq1d 7270	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))
14	10, 13	eqtrd 2778	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))
15	8, 14	oveq12d 7273	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))
16	6, 15	eqtrd 2778	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  (class class class)co 7255  ℂcc 10800  1c1 10803   + caddc 10805   · cmul 10807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2709  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-mulcl 10864  ax-mulcom 10866  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-1rid 10872  ax-cnre 10875

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-sb 2069  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-iota 6376  df-fv 6426  df-ov 7258

This theorem is referenced by:  muladd11r  11118  bernneq  13872