MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  muladd11 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem muladd11 11332
Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)
Assertion
Ref Expression
muladd11 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) ยท (1 + ๐ต)) = ((1 + ๐ด) + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))))

Proof of Theorem muladd11
StepHypRef Expression
1 ax-1cn 11116 . . . 4 1 โˆˆ โ„‚
2 addcl 11140 . . . 4 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
31, 2mpan 689 . . 3 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚)
4 adddi 11147 . . . 4 (((1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง 1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) ยท (1 + ๐ต)) = (((1 + ๐ด) ยท 1) + ((1 + ๐ด) ยท ๐ต)))
51, 4mp3an2 1450 . . 3 (((1 + ๐ด) โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) ยท (1 + ๐ต)) = (((1 + ๐ด) ยท 1) + ((1 + ๐ด) ยท ๐ต)))
63, 5sylan 581 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) ยท (1 + ๐ต)) = (((1 + ๐ด) ยท 1) + ((1 + ๐ด) ยท ๐ต)))
73mulid1d 11179 . . . 4 (๐ด โˆˆ โ„‚ โ†’ ((1 + ๐ด) ยท 1) = (1 + ๐ด))
87adantr 482 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) ยท 1) = (1 + ๐ด))
9 adddir 11153 . . . . 5 ((1 โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) ยท ๐ต) = ((1 ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต)))
101, 9mp3an1 1449 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) ยท ๐ต) = ((1 ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต)))
11 mulid2 11161 . . . . . 6 (๐ต โˆˆ โ„‚ โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
1211adantl 483 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (1 ยท ๐ต) = ๐ต)
1312oveq1d 7377 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 ยท ๐ต) + (๐ด ยท ๐ต)) = (๐ต + (๐ด ยท ๐ต)))
1410, 13eqtrd 2777 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) ยท ๐ต) = (๐ต + (๐ด ยท ๐ต)))
158, 14oveq12d 7380 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ (((1 + ๐ด) ยท 1) + ((1 + ๐ด) ยท ๐ต)) = ((1 + ๐ด) + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))))
166, 15eqtrd 2777 1 ((๐ด โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โˆˆ โ„‚) โ†’ ((1 + ๐ด) ยท (1 + ๐ต)) = ((1 + ๐ด) + (๐ต + (๐ด ยท ๐ต))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   = wceq 1542   โˆˆ wcel 2107  (class class class)co 7362  โ„‚cc 11056  1c1 11059   + caddc 11061   ยท cmul 11063
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-ext 2708  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-mulcl 11120  ax-mulcom 11122  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-1rid 11128  ax-cnre 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-iota 6453  df-fv 6509  df-ov 7365
This theorem is referenced by:  muladd11r  11375  bernneq  14139
  Copyright terms: Public domain W3C validator