Theorem muladd11 11404

Description: A simple product of sums expansion. (Contributed by NM, 21-Feb-2005.)

Assertion

Ref	Expression
muladd11	⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))

Proof of Theorem muladd11

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1cn 11182	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℂ
2		addcl 11206	. . . 4 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ) → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → (1 + 𝐴) ∈ ℂ)
4		adddi 11213	. . . 4 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 1 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
5	1, 4	mp3an2 1478	. . 3 ⊢ (((1 + 𝐴) ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
6	3, 5	sylan 592	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)))
7	3	mulridd 11250	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℂ → ((1 + 𝐴) · 1) = (1 + 𝐴))
8	7	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 1) = (1 + 𝐴))
9		adddir 11221	. . . . 5 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
10	1, 9	mp3an1 1477	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)))
11		mullid 11231	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℂ → (1 · 𝐵) = 𝐵)
12	11	adantl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (1 · 𝐵) = 𝐵)
13	12	oveq1d 7428	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 · 𝐵) + (𝐴 · 𝐵)) = (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))
14	10, 13	eqtrd 2795	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · 𝐵) = (𝐵 + (𝐴 · 𝐵)))
15	8, 14	oveq12d 7431	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → (((1 + 𝐴) · 1) + ((1 + 𝐴) · 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))
16	6, 15	eqtrd 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ∈ ℂ) → ((1 + 𝐴) · (1 + 𝐵)) = ((1 + 𝐴) + (𝐵 + (𝐴 · 𝐵))))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7413  ℂcc 11122  1c1 11125   + caddc 11127   · cmul 11129

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-mulcl 11186  ax-mulcom 11188  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-1rid 11194  ax-cnre 11197

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-iota 6489  df-fv 6541  df-ov 7416

This theorem is used by:  muladd11r  11447  bernneq  14293