Theorem ofmresval 7693

Description: Value of a restriction of the function operation map. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofmresval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ofmresval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ofmresval	⊢ (𝜑 → (𝐹( ∘f 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Proof of Theorem ofmresval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofmresval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		ofmresval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
3		ovres 7575	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹( ∘f 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹( ∘f 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   × cxp 5646   ↾ cres 5650  (class class class)co 7409   ∘_f cof 7675

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2732  ax-sep 5249  ax-pr 5391

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-xp 5654  df-res 5660  df-iota 6484  df-fv 6536  df-ov 7412

This theorem is used by:  psradd  22193  dchrmul  27524  ldualvadd  40100