Theorem ofmresval 7713

Description: Value of a restriction of the function operation map. (Contributed by NM, 20-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ofmresval.f	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
ofmresval.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)

Assertion

Ref	Expression
ofmresval	⊢ (𝜑 → (𝐹( ∘f 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Proof of Theorem ofmresval

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ofmresval.f	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝐴)
2		ofmresval.g	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐵)
3		ovres 7599	. 2 ⊢ ((𝐹 ∈ 𝐴 ∧ 𝐺 ∈ 𝐵) → (𝐹( ∘f 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐹( ∘f 𝑅 ↾ (𝐴 × 𝐵))𝐺) = (𝐹 ∘f 𝑅𝐺))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   × cxp 5687   ↾ cres 5691  (class class class)co 7431   ∘_f cof 7695

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-sb 2063  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-xp 5695  df-res 5701  df-iota 6516  df-fv 6571  df-ov 7434

This theorem is referenced by:  psradd  21975  dchrmul  27307  ldualvadd  39111