Theorem fnfvof 7672

Description: Function value of a pointwise composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvof	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑅(𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem fnfvof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
2		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		inidm 4192	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5		eqidd 2731	. . 3 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))
6		eqidd 2731	. . 3 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
7	1, 2, 3, 3, 4, 5, 6	ofval 7666	. 2 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑅(𝐺‘𝑋)))
8	7	anasss 466	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑅(𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   Fn wfn 6508  ‘cfv 6513  (class class class)co 7389   ∘_f cof 7653

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5263  ax-pr 5389

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3756  df-csb 3865  df-dif 3919  df-un 3921  df-in 3923  df-ss 3933  df-nul 4299  df-if 4491  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6515  df-fn 6516  df-f 6517  df-f1 6518  df-fo 6519  df-f1o 6520  df-fv 6521  df-ov 7392  df-oprab 7393  df-mpo 7394  df-of 7655

This theorem is referenced by:  suppofssd  8184  ofccat  14941  ghmplusg  19782  lcomfsupp  20814  lmhmplusg  20957  frlmvplusgvalc  21682  frlmvscaval  21683  frlmsslsp  21711  frlmup1  21713  frlmup2  21714  islindf4  21753  evlslem3  21993  evlslem1  21995  coe1addfv  22157  evl1addd  22234  evl1subd  22235  evl1muld  22236  mamudi  22296  mamudir  22297  mdetrlin  22495  nmotri  24633  mdegaddle  25985  ply1rem  26077  fta1glem2  26080  fta1blem  26082  plyexmo  26227  ulmdvlem1  26315  jensen  26905  dchrmulcl  27166  dchrinv  27178  sumdchr2  27187  dchr2sum  27190  evlsaddval  42549  evlsmulval  42550  evladdval  42556  evlmulval  42557  mzpsubst  42729  mzpcong  42954  rngunsnply  43151  ofoafg  43336  ofoafo  43338  ofoaid1  43340  ofoaid2  43341  ofoaass  43342  ofoacom  43343  naddcnff  43344  naddcnffo  43346  naddcnfcom  43348  naddcnfid1  43349  naddcnfass  43351  lincsum  48408