Theorem fnfvof 7639

Description: Function value of a pointwise composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvof	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑅(𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem fnfvof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 766	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
2		simplr 768	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
3		simpr 484	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		inidm 4179	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))
6		eqidd 2737	. . 3 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
7	1, 2, 3, 3, 4, 5, 6	ofval 7633	. 2 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑅(𝐺‘𝑋)))
8	7	anasss 466	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑅(𝐺‘𝑋)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   Fn wfn 6487  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358   ∘_f cof 7620

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pr 5377

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-of 7622

This theorem is referenced by:  suppofssd  8145  ofccat  14892  ghmplusg  19775  lcomfsupp  20853  lmhmplusg  20996  frlmvplusgvalc  21722  frlmvscaval  21723  frlmsslsp  21751  frlmup1  21753  frlmup2  21754  islindf4  21793  evlslem3  22035  evlslem1  22037  evladdval  22058  evlmulval  22059  coe1addfv  22207  evl1addd  22285  evl1subd  22286  evl1muld  22287  mamudi  22347  mamudir  22348  mdetrlin  22546  nmotri  24683  mdegaddle  26035  ply1rem  26127  fta1glem2  26130  fta1blem  26132  plyexmo  26277  ulmdvlem1  26365  jensen  26955  dchrmulcl  27216  dchrinv  27228  sumdchr2  27237  dchr2sum  27240  mplvrpmmhm  33711  mplvrpmrhm  33712  esplyind  33731  evlsaddval  42810  evlsmulval  42811  mzpsubst  42986  mzpcong  43210  rngunsnply  43407  ofoafg  43592  ofoafo  43594  ofoaid1  43596  ofoaid2  43597  ofoaass  43598  ofoacom  43599  naddcnff  43600  naddcnffo  43602  naddcnfcom  43604  naddcnfid1  43605  naddcnfass  43607  nthrucw  47126  cjnpoly  47131  lincsum  48671