Theorem fnfvof 7699

Description: Function value of a pointwise composition. (Contributed by Stefan O'Rear, 5-Oct-2014.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 5-Jun-2015.)

Assertion

Ref	Expression
fnfvof	⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑅(𝐺‘𝑋)))

Proof of Theorem fnfvof

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpll 779	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐹 Fn 𝐴)
2		simplr 781	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐺 Fn 𝐴)
3		simpr 490	. . 3 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) → 𝐴 ∈ 𝑉)
4		inidm 4175	. . 3 ⊢ (𝐴 ∩ 𝐴) = 𝐴
5		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑋) = (𝐹‘𝑋))
6		eqidd 2763	. . 3 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → (𝐺‘𝑋) = (𝐺‘𝑋))
7	1, 2, 3, 3, 4, 5, 6	ofval 7693	. 2 ⊢ ((((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ 𝐴 ∈ 𝑉) ∧ 𝑋 ∈ 𝐴) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑅(𝐺‘𝑋)))
8	7	anasss 472	1 ⊢ (((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝐺 Fn 𝐴) ∧ (𝐴 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ∈ 𝐴)) → ((𝐹 ∘f 𝑅𝐺)‘𝑋) = ((𝐹‘𝑋)𝑅(𝐺‘𝑋)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   Fn wfn 6532  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417   ∘_f cof 7680

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-rep 5236  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-of 7682

This theorem is used by:  suppofssd  8205  ofccat  15046  ghmplusg  19979  lcomfsupp  21092  lmhmplusg  21234  frlmvplusgvalc  21986  frlmvscaval  21987  frlmsslsp  22015  frlmup1  22017  frlmup2  22018  islindf4  22057  evlslem3  22302  evlslem1  22304  evladdval  22325  evlmulval  22326  evlsaddval  22351  evlsmulval  22352  coe1addfv  22497  evl1addd  22572  evl1subd  22573  evl1muld  22574  mamudi  22631  mamudir  22632  mdetrlin  22830  nmotri  24971  mdegaddle  26306  ply1rem  26398  fta1glem2  26401  fta1blem  26403  plyexmo  26552  ulmdvlem1  26643  jensen  27233  dchrmulcl  27493  dchrinv  27505  sumdchr2  27514  dchr2sum  27517  selvply1rhmlem4  34041  mplvrpmmhm  34064  mplvrpmrhm  34065  esplyind  34093  mzpsubst  43601  mzpcong  43821  rngunsnply  44018  ofoafg  44203  ofoafo  44205  ofoaid1  44207  ofoaid2  44208  ofoaass  44209  ofoacom  44210  naddcnff  44211  naddcnffo  44213  naddcnfcom  44215  naddcnfid1  44216  naddcnfass  44218  sqrtnnaa  47739  sqrtnzqaa  47740  cjnpoly  47765  lincsum  49367