Theorem dchrmul 25832

Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmul.t	⊢ · = (+g‘𝐺)
dchrmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchrmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 ∘f · 𝑌))

Proof of Theorem dchrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		dchrmul.t	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝐺)
5		dchrmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 3	dchrrcl 25824	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 2, 3, 4, 7	dchrplusg 25831	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))
9	8	oveqd 7152	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑌))
10		dchrmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
11	5, 10	ofmresval 7402	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑌) = (𝑋 ∘f · 𝑌))
12	9, 11	eqtrd 2833	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   × cxp 5517   ↾ cres 5521  ‘cfv 6324  (class class class)co 7135   ∘_f cof 7387   · cmul 10531  ℕcn 11625  Basecbs 16475  +_gcplusg 16557  ℤ/nℤczn 20196  DChrcdchr 25816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-of 7389  df-om 7561  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-1o 8085  df-oadd 8089  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-fin 8496  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12886  df-struct 16477  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-plusg 16570  df-dchr 25817

This theorem is referenced by:  dchrmulcl  25833  dchrmulid2  25836  dchrinvcl  25837  dchrabl  25838  dchrinv  25845  sumdchr2  25854  dchr2sum  25857