Theorem dchrmul 25823

Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmul.t	⊢ · = (+g‘𝐺)
dchrmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchrmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 ∘f · 𝑌))

Proof of Theorem dchrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		dchrmul.t	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝐺)
5		dchrmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 3	dchrrcl 25815	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 2, 3, 4, 7	dchrplusg 25822	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))
9	8	oveqd 7172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑌))
10		dchrmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
11	5, 10	ofmresval 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑌) = (𝑋 ∘f · 𝑌))
12	9, 11	eqtrd 2856	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   × cxp 5552   ↾ cres 5556  ‘cfv 6354  (class class class)co 7155   ∘_f cof 7406   · cmul 10541  ℕcn 11637  Basecbs 16482  +_gcplusg 16564  ℤ/nℤczn 20649  DChrcdchr 25807

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-rep 5189  ax-sep 5202  ax-nul 5209  ax-pow 5265  ax-pr 5329  ax-un 7460  ax-cnex 10592  ax-resscn 10593  ax-1cn 10594  ax-icn 10595  ax-addcl 10596  ax-addrcl 10597  ax-mulcl 10598  ax-mulrcl 10599  ax-mulcom 10600  ax-addass 10601  ax-mulass 10602  ax-distr 10603  ax-i2m1 10604  ax-1ne0 10605  ax-1rid 10606  ax-rnegex 10607  ax-rrecex 10608  ax-cnre 10609  ax-pre-lttri 10610  ax-pre-lttrn 10611  ax-pre-ltadd 10612  ax-pre-mulgt0 10613

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4838  df-int 4876  df-iun 4920  df-br 5066  df-opab 5128  df-mpt 5146  df-tr 5172  df-id 5459  df-eprel 5464  df-po 5473  df-so 5474  df-fr 5513  df-we 5515  df-xp 5560  df-rel 5561  df-cnv 5562  df-co 5563  df-dm 5564  df-rn 5565  df-res 5566  df-ima 5567  df-pred 6147  df-ord 6193  df-on 6194  df-lim 6195  df-suc 6196  df-iota 6313  df-fun 6356  df-fn 6357  df-f 6358  df-f1 6359  df-fo 6360  df-f1o 6361  df-fv 6362  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-of 7408  df-om 7580  df-1st 7688  df-2nd 7689  df-wrecs 7946  df-recs 8007  df-rdg 8045  df-1o 8101  df-oadd 8105  df-er 8288  df-en 8509  df-dom 8510  df-sdom 8511  df-fin 8512  df-pnf 10676  df-mnf 10677  df-xr 10678  df-ltxr 10679  df-le 10680  df-sub 10871  df-neg 10872  df-nn 11638  df-2 11699  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-fz 12892  df-struct 16484  df-ndx 16485  df-slot 16486  df-base 16488  df-plusg 16577  df-dchr 25808

This theorem is referenced by:  dchrmulcl  25824  dchrmulid2  25827  dchrinvcl  25828  dchrabl  25829  dchrinv  25836  sumdchr2  25845  dchr2sum  25848