Theorem dchrmul 27131

Description: Group operation on the group of Dirichlet characters. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Apr-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
dchrmhm.g	⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
dchrmhm.z	⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
dchrmhm.b	⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
dchrmul.t	⊢ · = (+g‘𝐺)
dchrmul.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
dchrmul.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
dchrmul	⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 ∘f · 𝑌))

Proof of Theorem dchrmul

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dchrmhm.g	. . . 4 ⊢ 𝐺 = (DChr‘𝑁)
2		dchrmhm.z	. . . 4 ⊢ 𝑍 = (ℤ/nℤ‘𝑁)
3		dchrmhm.b	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (Base‘𝐺)
4		dchrmul.t	. . . 4 ⊢ · = (+g‘𝐺)
5		dchrmul.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝐷)
6	1, 3	dchrrcl 27123	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ 𝐷 → 𝑁 ∈ ℕ)
7	5, 6	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑁 ∈ ℕ)
8	1, 2, 3, 4, 7	dchrplusg 27130	. . 3 ⊢ (𝜑 → · = ( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷)))
9	8	oveqd 7421	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑌))
10		dchrmul.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝐷)
11	5, 10	ofmresval 7682	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑋( ∘f · ↾ (𝐷 × 𝐷))𝑌) = (𝑋 ∘f · 𝑌))
12	9, 11	eqtrd 2766	1 ⊢ (𝜑 → (𝑋 · 𝑌) = (𝑋 ∘f · 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   × cxp 5667   ↾ cres 5671  ‘cfv 6536  (class class class)co 7404   ∘_f cof 7664   · cmul 11114  ℕcn 12213  Basecbs 17150  +_gcplusg 17203  ℤ/nℤczn 21384  DChrcdchr 27115

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7666  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-nn 12214  df-2 12276  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-fz 13488  df-struct 17086  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17151  df-plusg 17216  df-dchr 27116

This theorem is referenced by:  dchrmulcl  27132  dchrmullid  27135  dchrinvcl  27136  dchrabl  27137  dchrinv  27144  sumdchr2  27153  dchr2sum  27156