Theorem ovres 7575

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5712	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2	1	fvresd 6910	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 7414	. 2 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-ov 7414	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ⟨cop 4633   × cxp 5673   ↾ cres 5677  ‘cfv 6542  (class class class)co 7411

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pr 5426

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-xp 5681  df-res 5687  df-iota 6494  df-fv 6550  df-ov 7414

This theorem is referenced by:  ovresd  7576  oprres  7577  oprssov  7578  ofmresval  7688  cantnfval2  9666  mulnzcnopr  11864  prdsdsval3  17435  mgmsscl  18570  frmdplusg  18771  frmdadd  18772  grpissubg  19062  gaid  19204  gass  19206  gasubg  19207  mplsubrglem  21782  mamures  22112  mdetrlin  22324  mdetrsca  22325  pmatcollpw3lem  22505  tsmsxplem1  23877  tsmsxplem2  23878  xmetres2  24087  ressprdsds  24097  blres  24157  xmetresbl  24163  mscl  24187  xmscl  24188  xmsge0  24189  xmseq0  24190  nmfval0  24319  nmval2  24321  isngp3  24327  ngpds  24333  ngpocelbl  24441  xrsdsre  24546  divcnOLD  24604  divcn  24606  cncfmet  24649  cfilresi  25043  cfilres  25044  dvdsmulf1o  26934  sspgval  30249  sspsval  30251  sspmlem  30252  hhssabloilem  30781  hhssabloi  30782  hhssnv  30784  hhssmetdval  30797  raddcn  33207  xrge0pluscn  33218  cvmlift2lem9  34600  icoreval  36537  icoreelrnab  36538  equivbnd2  36963  ismtyres  36979  iccbnd  37011  exidreslem  37048  divrngcl  37128  isdrngo2  37129  ofoafo  42408  ofoacl  42409  naddcnfcl  42417  rnghmresel  46950  rnghmsscmap2  46959  rnghmsscmap  46960  rnghmsubcsetclem2  46962  rngcifuestrc  46983  rhmresel  46996  rhmsscmap2  47005  rhmsscmap  47006  rhmsubcsetclem2  47008  rhmsscrnghm  47012  rhmsubcrngclem2  47014  rhmsubclem4  47075