Theorem ovres 7535

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2	1	fvresd 6860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 7372	. 2 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-ov 7372	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2789	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ⟨cop 4591   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5382

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2066  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-xp 5637  df-res 5643  df-iota 6452  df-fv 6507  df-ov 7372

This theorem is referenced by:  ovresd  7536  oprres  7537  oprssov  7538  ofmresval  7649  cantnfval2  9598  mulnzcnf  11800  prdsdsval3  17424  mgmsscl  18548  frmdplusg  18757  frmdadd  18758  grpissubg  19054  gaid  19207  gass  19209  gasubg  19210  rnghmresel  20505  rnghmsscmap2  20514  rnghmsscmap  20515  rnghmsubcsetclem2  20517  rngcifuestrc  20524  rhmresel  20534  rhmsscmap2  20543  rhmsscmap  20544  rhmsubcsetclem2  20546  rhmsscrnghm  20550  rhmsubcrngclem2  20552  rhmsubclem4  20573  mplsubrglem  21889  mamures  22260  mdetrlin  22465  mdetrsca  22466  pmatcollpw3lem  22646  tsmsxplem1  24016  tsmsxplem2  24017  xmetres2  24225  ressprdsds  24235  blres  24295  xmetresbl  24301  mscl  24325  xmscl  24326  xmsge0  24327  xmseq0  24328  nmfval0  24454  nmval2  24456  isngp3  24462  ngpds  24468  ngpocelbl  24568  xrsdsre  24675  divcnOLD  24733  divcn  24735  cncfmet  24778  cfilresi  25171  cfilres  25172  mpodvdsmulf1o  27080  dvdsmulf1o  27082  sspgval  30631  sspsval  30633  sspmlem  30634  hhssabloilem  31163  hhssabloi  31164  hhssnv  31166  hhssmetdval  31179  raddcn  33892  xrge0pluscn  33903  cvmlift2lem9  35271  icoreval  37314  icoreelrnab  37315  equivbnd2  37759  ismtyres  37775  iccbnd  37807  exidreslem  37844  divrngcl  37924  isdrngo2  37925  ofoafo  43318  ofoacl  43319  naddcnfcl  43327  fuco11b  49299