Theorem ovres 7587

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5715	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2	1	fvresd 6916	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 7422	. 2 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-ov 7422	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2790	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ⟨cop 4636   × cxp 5676   ↾ cres 5680  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pr 5429

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-sb 2060  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rab 3419  df-v 3463  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-xp 5684  df-res 5690  df-iota 6501  df-fv 6557  df-ov 7422

This theorem is referenced by:  ovresd  7588  oprres  7589  oprssov  7590  ofmresval  7701  cantnfval2  9694  mulnzcnf  11892  prdsdsval3  17470  mgmsscl  18608  frmdplusg  18814  frmdadd  18815  grpissubg  19109  gaid  19262  gass  19264  gasubg  19265  rnghmresel  20565  rnghmsscmap2  20574  rnghmsscmap  20575  rnghmsubcsetclem2  20577  rngcifuestrc  20584  rhmresel  20594  rhmsscmap2  20603  rhmsscmap  20604  rhmsubcsetclem2  20606  rhmsscrnghm  20610  rhmsubcrngclem2  20612  rhmsubclem4  20633  mplsubrglem  21966  mamures  22341  mdetrlin  22548  mdetrsca  22549  pmatcollpw3lem  22729  tsmsxplem1  24101  tsmsxplem2  24102  xmetres2  24311  ressprdsds  24321  blres  24381  xmetresbl  24387  mscl  24411  xmscl  24412  xmsge0  24413  xmseq0  24414  nmfval0  24543  nmval2  24545  isngp3  24551  ngpds  24557  ngpocelbl  24665  xrsdsre  24770  divcnOLD  24828  divcn  24830  cncfmet  24873  cfilresi  25267  cfilres  25268  mpodvdsmulf1o  27171  dvdsmulf1o  27173  sspgval  30611  sspsval  30613  sspmlem  30614  hhssabloilem  31143  hhssabloi  31144  hhssnv  31146  hhssmetdval  31159  raddcn  33661  xrge0pluscn  33672  cvmlift2lem9  35052  icoreval  36963  icoreelrnab  36964  equivbnd2  37396  ismtyres  37412  iccbnd  37444  exidreslem  37481  divrngcl  37561  isdrngo2  37562  ofoafo  42927  ofoacl  42928  naddcnfcl  42936