Theorem ovres 7533

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5668	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2	1	fvresd 6860	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 7370	. 2 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-ov 7370	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2796	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟨cop 4573   × cxp 5629   ↾ cres 5633  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-pr 5375

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-sb 2069  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-xp 5637  df-res 5643  df-iota 6454  df-fv 6506  df-ov 7370

This theorem is referenced by:  ovresd  7534  oprres  7535  oprssov  7536  ofmresval  7647  cantnfval2  9590  mulnzcnf  11796  prdsdsval3  17448  mgmsscl  18613  frmdplusg  18822  frmdadd  18823  grpissubg  19122  gaid  19274  gass  19276  gasubg  19277  rnghmresel  20597  rnghmsscmap2  20606  rnghmsscmap  20607  rnghmsubcsetclem2  20609  rngcifuestrc  20616  rhmresel  20626  rhmsscmap2  20635  rhmsscmap  20636  rhmsubcsetclem2  20638  rhmsscrnghm  20642  rhmsubcrngclem2  20644  rhmsubclem4  20665  mplsubrglem  21982  mamures  22362  mdetrlin  22567  mdetrsca  22568  pmatcollpw3lem  22748  tsmsxplem1  24118  tsmsxplem2  24119  xmetres2  24326  ressprdsds  24336  blres  24396  xmetresbl  24402  mscl  24426  xmscl  24427  xmsge0  24428  xmseq0  24429  nmfval0  24555  nmval2  24557  isngp3  24563  ngpds  24569  ngpocelbl  24669  xrsdsre  24776  divcn  24835  cncfmet  24876  cfilresi  25262  cfilres  25263  mpodvdsmulf1o  27157  dvdsmulf1o  27159  zsoring  28401  sspgval  30800  sspsval  30802  sspmlem  30803  hhssabloilem  31332  hhssabloi  31333  hhssnv  31335  hhssmetdval  31348  raddcn  34073  xrge0pluscn  34084  cvmlift2lem9  35493  icoreval  37669  icoreelrnab  37670  equivbnd2  38113  ismtyres  38129  iccbnd  38161  exidreslem  38198  divrngcl  38278  isdrngo2  38279  ofoafo  43784  ofoacl  43785  naddcnfcl  43793  fuco11b  49812