Theorem ovres 7574

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5696	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2	1	fvresd 6899	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 7411	. 2 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-ov 7411	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2829	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ⟨cop 4597   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ‘cfv 6534  (class class class)co 7408

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-sb 2098  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4490  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4874  df-br 5111  df-opab 5175  df-xp 5665  df-res 5671  df-iota 6490  df-fv 6542  df-ov 7411

This theorem is referenced by:  ovresd  7575  oprres  7576  oprssov  7577  ofmresval  7688  cantnfval2  9634  mulnzcnf  11856  prdsdsval3  17534  mgmsscl  18699  frmdplusg  18909  frmdadd  18910  grpissubg  19209  gaid  19365  gass  19367  gasubg  19368  rnghmresel  20701  rnghmsscmap2  20710  rnghmsscmap  20711  rnghmsubcsetclem2  20713  rngcifuestrc  20720  rhmresel  20730  rhmsscmap2  20739  rhmsscmap  20740  rhmsubcsetclem2  20742  rhmsscrnghm  20746  rhmsubcrngclem2  20748  rhmsubclem4  20769  mplsubrglem  22118  mamures  22519  mdetrlin  22724  mdetrsca  22725  pmatcollpw3lem  22905  tsmsxplem1  24275  tsmsxplem2  24276  xmetres2  24483  ressprdsds  24493  blres  24553  xmetresbl  24559  mscl  24583  xmscl  24584  xmsge0  24585  xmseq0  24586  nmfval0  24712  nmval2  24714  isngp3  24720  ngpds  24726  ngpocelbl  24826  xrsdsre  24933  divcn  24992  cncfmet  25033  cfilresi  25419  cfilres  25420  mpodvdsmulf1o  27320  dvdsmulf1o  27322  zsoring  28564  sspgval  31018  sspsval  31020  sspmlem  31021  hhssabloilem  31550  hhssabloi  31551  hhssnv  31553  hhssmetdval  31566  raddcn  34260  xrge0pluscn  34271  cvmlift2lem9  35698  icoreval  37882  icoreelrnab  37883  equivbnd2  38326  ismtyres  38342  iccbnd  38374  exidreslem  38411  divrngcl  38491  isdrngo2  38492  ofoafo  43970  ofoacl  43971  naddcnfcl  43979  fuco11b  49995