Theorem ovres 7583

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5696	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2	1	fvresd 6902	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 7420	. 2 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-ov 7420	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2822	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ⟨cop 4593   × cxp 5657   ↾ cres 5661  ‘cfv 6537  (class class class)co 7417

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-pr 5402

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-xp 5665  df-res 5671  df-iota 6493  df-fv 6545  df-ov 7420

This theorem is used by:  ovresd  7584  oprres  7585  oprssov  7587  ofmresval  7698  cantnfval2  9652  mulnzcnf  11888  prdsdsval3  17576  mgmsscl  18741  frmdplusg  18969  frmdadd  18970  grpissubg  19276  gaid  19432  gass  19434  gasubg  19435  rnghmresel  20788  rnghmsscmap2  20797  rnghmsscmap  20798  rnghmsubcsetclem2  20800  rngcifuestrc  20807  rhmresel  20817  rhmsscmap2  20826  rhmsscmap  20827  rhmsubcsetclem2  20829  rhmsscrnghm  20833  rhmsubcrngclem2  20835  rhmsubclem4  20856  mplsubrglem  22224  mamures  22625  mdetrlin  22830  mdetrsca  22831  pmatcollpw3lem  23014  tsmsxplem1  24385  tsmsxplem2  24386  xmetres2  24593  ressprdsds  24603  blres  24663  xmetresbl  24669  mscl  24693  xmscl  24694  xmsge0  24695  xmseq0  24696  nmfval0  24822  nmval2  24824  isngp3  24830  ngpds  24836  ngpocelbl  24936  xrsdsre  25043  divcn  25102  cncfmet  25143  cfilresi  25529  cfilres  25530  mpodvdsmulf1o  27438  dvdsmulf1o  27440  zsoring  28682  sspgval  31218  sspsval  31220  sspmlem  31221  hhssabloilem  31750  hhssabloi  31751  hhssnv  31753  hhssmetdval  31766  raddcn  34447  xrge0pluscn  34458  cvmlift2lem9  35898  icoreval  38115  icoreelrnab  38116  equivbnd2  38550  ismtyres  38566  iccbnd  38598  exidreslem  38635  divrngcl  38715  isdrngo2  38716  ofoafo  44205  ofoacl  44206  naddcnfcl  44214  fuco11b  50271