Theorem ovres 7571

Description: The value of a restricted operation. (Contributed by FL, 10-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ovres	⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Proof of Theorem ovres

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxpi 5691	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷))
2	1	fvresd 6895	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩))
3		df-ov 7406	. 2 ⊢ (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = ((𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
4		df-ov 7406	. 2 ⊢ (𝐴𝐹𝐵) = (𝐹‘⟨𝐴, 𝐵⟩)
5	2, 3, 4	3eqtr4g 2795	1 ⊢ ((𝐴 ∈ 𝐶 ∧ 𝐵 ∈ 𝐷) → (𝐴(𝐹 ↾ (𝐶 × 𝐷))𝐵) = (𝐴𝐹𝐵))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ⟨cop 4607   × cxp 5652   ↾ cres 5656  ‘cfv 6530  (class class class)co 7403

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pr 5402

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-sb 2065  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-xp 5660  df-res 5666  df-iota 6483  df-fv 6538  df-ov 7406

This theorem is referenced by:  ovresd  7572  oprres  7573  oprssov  7574  ofmresval  7685  cantnfval2  9681  mulnzcnf  11881  prdsdsval3  17497  mgmsscl  18621  frmdplusg  18830  frmdadd  18831  grpissubg  19127  gaid  19280  gass  19282  gasubg  19283  rnghmresel  20578  rnghmsscmap2  20587  rnghmsscmap  20588  rnghmsubcsetclem2  20590  rngcifuestrc  20597  rhmresel  20607  rhmsscmap2  20616  rhmsscmap  20617  rhmsubcsetclem2  20619  rhmsscrnghm  20623  rhmsubcrngclem2  20625  rhmsubclem4  20646  mplsubrglem  21962  mamures  22333  mdetrlin  22538  mdetrsca  22539  pmatcollpw3lem  22719  tsmsxplem1  24089  tsmsxplem2  24090  xmetres2  24298  ressprdsds  24308  blres  24368  xmetresbl  24374  mscl  24398  xmscl  24399  xmsge0  24400  xmseq0  24401  nmfval0  24527  nmval2  24529  isngp3  24535  ngpds  24541  ngpocelbl  24641  xrsdsre  24748  divcnOLD  24806  divcn  24808  cncfmet  24851  cfilresi  25245  cfilres  25246  mpodvdsmulf1o  27154  dvdsmulf1o  27156  sspgval  30656  sspsval  30658  sspmlem  30659  hhssabloilem  31188  hhssabloi  31189  hhssnv  31191  hhssmetdval  31204  raddcn  33906  xrge0pluscn  33917  cvmlift2lem9  35279  icoreval  37317  icoreelrnab  37318  equivbnd2  37762  ismtyres  37778  iccbnd  37810  exidreslem  37847  divrngcl  37927  isdrngo2  37928  ofoafo  43327  ofoacl  43328  naddcnfcl  43336  fuco11b  49196