Theorem ldualvadd 37704

Description: Vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvadd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvadd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvadd.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvadd.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ldualvadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))

Proof of Theorem ldualvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualvadd.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		ldualvadd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		ldualvadd.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualvadd.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
6		ldualvadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
7		eqid 2731	. . . 4 ⊢ ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ldualfvadd 37703	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)))
9	8	oveqd 7401	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))𝐻))
10		ldualvadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11		ldualvadd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
12	10, 11	ofmresval 7660	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))
13	9, 12	eqtrd 2771	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   × cxp 5658   ↾ cres 5662  ‘cfv 6523  (class class class)co 7384   ∘_f cof 7642  +_gcplusg 17169  Scalarcsca 17172  LFnlclfn 37632  LDualcld 37698

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-rep 5269  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pow 5347  ax-pr 5411  ax-un 7699  ax-cnex 11138  ax-resscn 11139  ax-1cn 11140  ax-icn 11141  ax-addcl 11142  ax-addrcl 11143  ax-mulcl 11144  ax-mulrcl 11145  ax-mulcom 11146  ax-addass 11147  ax-mulass 11148  ax-distr 11149  ax-i2m1 11150  ax-1ne0 11151  ax-1rid 11152  ax-rnegex 11153  ax-rrecex 11154  ax-cnre 11155  ax-pre-lttri 11156  ax-pre-lttrn 11157  ax-pre-ltadd 11158  ax-pre-mulgt0 11159

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3372  df-rab 3426  df-v 3468  df-sbc 3765  df-csb 3881  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-pss 3954  df-nul 4310  df-if 4514  df-pw 4589  df-sn 4614  df-pr 4616  df-tp 4618  df-op 4620  df-uni 4893  df-iun 4983  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-tr 5250  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5615  df-we 5617  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-ord 6347  df-on 6348  df-lim 6349  df-suc 6350  df-iota 6475  df-fun 6525  df-fn 6526  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-riota 7340  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-of 7644  df-om 7830  df-1st 7948  df-2nd 7949  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-1o 8439  df-er 8677  df-en 8913  df-dom 8914  df-sdom 8915  df-fin 8916  df-pnf 11222  df-mnf 11223  df-xr 11224  df-ltxr 11225  df-le 11226  df-sub 11418  df-neg 11419  df-nn 12185  df-2 12247  df-3 12248  df-4 12249  df-5 12250  df-6 12251  df-n0 12445  df-z 12531  df-uz 12795  df-fz 13457  df-struct 17052  df-slot 17087  df-ndx 17099  df-base 17117  df-plusg 17182  df-sca 17185  df-vsca 17186  df-ldual 37699

This theorem is referenced by:  ldualvaddcl  37705  ldualvaddval  37706  ldualvaddcom  37715  ldualvsdi1  37718  ldualvsdi2  37719  ldualgrplem  37720  ldual0v  37725