Theorem ldualvadd 39129

Description: Vector addition in the dual of a vector space. (Contributed by NM, 21-Oct-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
ldualvadd.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
ldualvadd.r	⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
ldualvadd.a	⊢ + = (+g‘𝑅)
ldualvadd.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
ldualvadd.p	⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
ldualvadd.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
ldualvadd.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
ldualvadd.h	⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)

Assertion

Ref	Expression
ldualvadd	⊢ (𝜑 → (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))

Proof of Theorem ldualvadd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ldualvadd.f	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑊)
2		ldualvadd.r	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (Scalar‘𝑊)
3		ldualvadd.a	. . . 4 ⊢ + = (+g‘𝑅)
4		ldualvadd.d	. . . 4 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑊)
5		ldualvadd.p	. . . 4 ⊢ ✚ = (+g‘𝐷)
6		ldualvadd.w	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ 𝑋)
7		eqid 2730	. . . 4 ⊢ ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)) = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))
8	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7	ldualfvadd 39128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ✚ = ( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹)))
9	8	oveqd 7407	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))𝐻))
10		ldualvadd.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
11		ldualvadd.h	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐻 ∈ 𝐹)
12	10, 11	ofmresval 7672	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐺( ∘f + ↾ (𝐹 × 𝐹))𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))
13	9, 12	eqtrd 2765	1 ⊢ (𝜑 → (𝐺 ✚ 𝐻) = (𝐺 ∘f + 𝐻))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   × cxp 5639   ↾ cres 5643  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390   ∘_f cof 7654  +_gcplusg 17227  Scalarcsca 17230  LFnlclfn 39057  LDualcld 39123

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-tp 4597  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-of 7656  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-3 12257  df-4 12258  df-5 12259  df-6 12260  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ldual 39124

This theorem is referenced by:  ldualvaddcl  39130  ldualvaddval  39131  ldualvaddcom  39140  ldualvsdi1  39143  ldualvsdi2  39144  ldualgrplem  39145  ldual0v  39150