Theorem prodex 15982

Description: A product is a set. (Contributed by Scott Fenton, 4-Dec-2017.)

Assertion

Ref	Expression
prodex	⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

Proof of Theorem prodex

Dummy variables 𝑓 𝑚 𝑛 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-prod 15981	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 = (℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚))))
2		iotaex 6516	. 2 ⊢ (℩𝑥(∃𝑚 ∈ ℤ (𝐴 ⊆ (ℤ≥‘𝑚) ∧ ∃𝑛 ∈ (ℤ≥‘𝑚)∃𝑦(𝑦 ≠ 0 ∧ seq𝑛( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑦) ∧ seq𝑚( · , (𝑘 ∈ ℤ ↦ if(𝑘 ∈ 𝐴, 𝐵, 1))) ⇝ 𝑥) ∨ ∃𝑚 ∈ ℕ ∃𝑓(𝑓:(1...𝑚)–1-1-onto→𝐴 ∧ 𝑥 = (seq1( · , (𝑛 ∈ ℕ ↦ ⦋(𝑓‘𝑛) / 𝑘⦌𝐵))‘𝑚)))) ∈ V
3	1, 2	eqeltri 2861	1 ⊢ ∏𝑘 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V

This proof depends on syntax axioms:   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960  ∃wrex 3091  Vcvv 3457  ⦋csb 3854   ⊆ wss 3906  ifcif 4489   class class class wbr 5111   ↦ cmpt 5194  ℩cio 6494  –1-1-onto→wf1o 6539  ‘cfv 6540  (class class class)co 7419  0cc0 11115  1c1 11116   · cmul 11120  ℕcn 12248  ℤcz 12606  ℤ_≥cuz 12878  ...cfz 13551  seqcseq 14055   ⇝ cli 15559  ∏cprod 15980

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-ext 2737  ax-nul 5271

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-sb 2100  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-ne 2961  df-v 3459  df-dif 3909  df-un 3911  df-ss 3923  df-nul 4287  df-sn 4592  df-pr 4594  df-uni 4875  df-iota 6496  df-prod 15981

This theorem is used by:  risefacval  16085  fallfacval  16086  prmoval  17115  fprodsubrecnncnvlem  46679  fprodaddrecnncnvlem  46681  etransclem13  47019  ovnlecvr  47330  ovncvrrp  47336  hoidmvval  47349  vonioolem1  47452