Theorem prmoval 17069

Description: Value of the primorial function for nonnegative integers. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmoval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prmoval

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7404	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
2	1	prodeq1d 15950	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
3		df-prmo 17068	. 2 ⊢ #p = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4		prodex 15935	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6975	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ifcif 4480  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  1c1 11074  ℕ₀cn0 12481  ...cfz 13512  ∏cprod 15933  ℙcprime 16705  #_pcprmo 17067

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pr 5390

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-iota 6477  df-fun 6523  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-seq 14015  df-prod 15934  df-prmo 17068

This theorem is referenced by:  prmocl  17070  prmo0  17072  prmo1  17073  prmop1  17074  prmdvdsprmo  17078  prmolefac  17082  prmodvdslcmf  17083  prmgapprmo  17098