Theorem prmoval 17067

Description: Value of the primorial function for nonnegative integers. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmoval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prmoval

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7439	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
2	1	prodeq1d 15953	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
3		df-prmo 17066	. 2 ⊢ #p = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4		prodex 15938	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 7016	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ifcif 4531  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  1c1 11154  ℕ₀cn0 12524  ...cfz 13544  ∏cprod 15936  ℙcprime 16705  #_pcprmo 17065

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pr 5438

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-iota 6516  df-fun 6565  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-seq 14040  df-prod 15937  df-prmo 17066

This theorem is referenced by:  prmocl  17068  prmo0  17070  prmo1  17071  prmop1  17072  prmdvdsprmo  17076  prmolefac  17080  prmodvdslcmf  17081  prmgapprmo  17096