Theorem prmoval 16995

Description: Value of the primorial function for nonnegative integers. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmoval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prmoval

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7364	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
2	1	prodeq1d 15876	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
3		df-prmo 16994	. 2 ⊢ #p = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4		prodex 15861	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6935	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ifcif 4454  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  1c1 11030  ℕ₀cn0 12428  ...cfz 13452  ∏cprod 15859  ℙcprime 16631  #_pcprmo 16993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pr 5362

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-iota 6441  df-fun 6487  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-seq 13955  df-prod 15860  df-prmo 16994

This theorem is referenced by:  prmocl  16996  prmo0  16998  prmo1  16999  prmop1  17000  prmdvdsprmo  17004  prmolefac  17008  prmodvdslcmf  17009  prmgapprmo  17024