Theorem prmoval 16998

Description: Value of the primorial function for nonnegative integers. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmoval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prmoval

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7369	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
2	1	prodeq1d 15879	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
3		df-prmo 16997	. 2 ⊢ #p = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4		prodex 15864	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6942	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4467  ‘cfv 6493  (class class class)co 7361  1c1 11033  ℕ₀cn0 12431  ...cfz 13455  ∏cprod 15862  ℙcprime 16634  #_pcprmo 16996

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pr 5371

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-iota 6449  df-fun 6495  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-seq 13958  df-prod 15863  df-prmo 16997

This theorem is referenced by:  prmocl  16999  prmo0  17001  prmo1  17002  prmop1  17003  prmdvdsprmo  17007  prmolefac  17011  prmodvdslcmf  17012  prmgapprmo  17027