Theorem prmoval 16938

Description: Value of the primorial function for nonnegative integers. (Contributed by AV, 28-Aug-2020.)

Assertion

Ref	Expression
prmoval	⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))

Distinct variable group:   𝑘,𝑁

Proof of Theorem prmoval

Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq2 7392	. . 3 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → (1...𝑛) = (1...𝑁))
2	1	prodeq1d 15837	. 2 ⊢ (𝑛 = 𝑁 → ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
3		df-prmo 16937	. 2 ⊢ #p = (𝑛 ∈ ℕ0 ↦ ∏𝑘 ∈ (1...𝑛)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))
4		prodex 15823	. 2 ⊢ ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1) ∈ V
5	2, 3, 4	fvmpt 6975	1 ⊢ (𝑁 ∈ ℕ0 → (#p‘𝑁) = ∏𝑘 ∈ (1...𝑁)if(𝑘 ∈ ℙ, 𝑘, 1))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4513  ‘cfv 6523  (class class class)co 7384  1c1 11083  ℕ₀cn0 12444  ...cfz 13456  ∏cprod 15821  ℙcprime 16580  #_pcprmo 16936

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2702  ax-sep 5283  ax-nul 5290  ax-pr 5411

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3426  df-v 3468  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3952  df-nul 4310  df-if 4514  df-sn 4614  df-pr 4616  df-op 4620  df-uni 4893  df-br 5133  df-opab 5195  df-mpt 5216  df-id 5558  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6280  df-iota 6475  df-fun 6525  df-f 6527  df-f1 6528  df-fo 6529  df-f1o 6530  df-fv 6531  df-ov 7387  df-oprab 7388  df-mpo 7389  df-frecs 8239  df-wrecs 8270  df-recs 8344  df-rdg 8383  df-seq 13939  df-prod 15822  df-prmo 16937

This theorem is referenced by:  prmocl  16939  prmo0  16941  prmo1  16942  prmop1  16943  prmdvdsprmo  16947  prmolefac  16951  prmodvdslcmf  16952  prmgapprmo  16967